Resumen En este trabajo se presentan las matrices evolutivas y se muestra como tres de las grandes áreas de la I. A.: Reconocimiento de Imágenes y en general de Formas,




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3.-) Matriz Evolutiva y Sistemas Expertos.
Otro campo donde se pueden aplicar las matrices evolutivas es en el área de los sistemas expertos, por ejemplo, si partimos de un sistema experto de diagnostico[14] formado por reglas de la forma
S1 S2 S3 … Sn => Di : Ti
donde Sj son los síntomas, Di los diagnósticos y Ti los tratamientos (o sea que un conjunto de síntomas generan un diagnostico y un tratamiento).
El sistema experto puede representarse como una matriz, donde cada columna corresponde a un síntoma y cada renglón a una regla del experto.





S1

S2

S3

...

Sn

r1

1

0

0

...

0

r2

0

1

1

...

0

...

...

...

...

...

...

rm

1

0

1

...

1


De tal manera que si aparece un 1 en el renglón i y la columna j, quiere decir que la regla i necesita el síntoma j para cumplirse.
Aquí es importante comentar que, una de las característica que permite la representación de las reglas de inferencia mediante una matriz es que no importa el orden en el que se presenten los síntomas, o sea que, la cadena lingüística es conmutativa bajo la concatenación lo cual no ocurre por ejemplo con las oraciones del Español las cuales no se pueden representar en general mediante la matriz, porque no se permite la conmutabilidad.
Ahora bien los valores de la matriz pueden ser cualesquiera, por lo que a cada síntoma se le puede dar un valor diferente dependiendo del grado de importancia, o de la probabilidad o de la frecuencia de ese síntoma en particular, con lo que se tiene una matriz borrosa de la forma:





S1

S2

S3

...

Sn

r1

a11

a12

a13

...

a1n

r2

a21

a22

a23

...

a2n

...

...

...

...

...

...

rm

am1

am2

am3

...

amn


donde aij es el peso que tiene el síntoma j en la regla i. Entonces si llega un problema que tiene por ejemplo los síntomas 1, 3, 7,..., n, con pesos 0.5, 1.3, 0.7,..., 2.5, solo se requiere representar el problema como el vector: (0.5 0 1.3 0 0 0 0.7 .... 2.5) y operar el vector con la matriz.
La forma mas fácil de operar el vector con la matriz consiste en tomar el vector y multiplicarlo por la matriz con lo que se tiene un vector resultante y solo se requiere buscar el elemento i máximo para detectar a que regla corresponde el conjunto de síntomas.
Por ejemplo, si se tiene la siguiente matriz:





S1

S2

S3

S4

S5

S6

r1

3.2

0

4.0

6.5

0

0

r2

2.0

1.3

0

0

1.5

0

r3

0

3.0

0

0

4.2

2.0


y llega un problema con los síntomas (1.0 0 1.5 0 0 0.7), entonces se multiplica la matriz por el vector quedando el resultado:


r1

9.2

r2

2.0

r3

1.4


de donde se propone la r1 como el resultado del sistema.
Una de las ventajas de representar al sistema experto mediante una matriz es que ahora se puede ver y atacar con múltiples herramientas incluyendo entre otras la lógica difusa, redes neurales, teoría de la medida y sistemas evolutivos. En particular podemos aplicar las técnicas de matrices evolutivas y partir de que la matriz está originalmente vacía y llena de ceros, cuando llegan los primeros síntomas y no encuentra nada almacena el vector en el primer renglón y asigna el diagnostico (le puede pedir el diagnostico al experto humano).
Por ejemplo, si llegan los síntomas (1.2 0 0 2.3 0 0.7) el sistema busca en la matriz el diagnostico, pero como esta vacía no los encuentra, entonces pregunta por el diagnostico y genera una matriz con un renglón.





S1

S2

S3

S4

S5

S6




r1

1.2

0

0

2.3

0

0.7

D1


Si llegan ahora los síntomas (0.7 0 0 0 3.2 0), como la colisión con el vector almacenado es baja, pregunta por el diagnostico, si el nuevo diagnostico es diferente crea un nuevo renglón, quedando la matriz:





S1

S2

S3

S4

S5

S6




r1

1.2

0

0

2.3

0

0.7

D1

r2

0.7

0

0

0

3.2

0

D2


Si llega una cadena de síntomas con alta colisión, como por ejemplo:
(1.0 0 0 0.8 0 1.2)
el sistema emite el diagnostico D1 y acumula el nuevo síntoma sobre la matriz anterior en el renglón 1:






S1


S2


S3


S4


S5


S6




# de acumulados

r1

2.2

0

0

3.1

0

1.9

D1

2

r2

0.7

0

0

0

3.2

0

D2

1


Al tener el vector acumulado se están reforzando los síntomas y en forma natural aumentan los pesos.
El sistema siempre suma. Si llega una cadena de síntomas con alta colisión los suma al renglón diagnosticado. Si llega una nueva cadena crea un nuevo renglón. Si llega una cadena y el experto indica que corresponde a un diagnostico presente, la nueva cadena se acumula a este diagnostico.
Si se toma el vector acumulado y cada síntoma lo dividimos entre el número de acumulados tenemos una regla promedio, por lo que, lo que estamos encontrando es la regla promedio asociada a un diagnostico y mediante el mecanismo evolutivo esta regla se está depurando y afinando cotidianamente, o sea que, en forma natural y permanente se están encontrando y afinando las reglas del sistema.

4.-) Una Representación N-Dimensional.
Si analizamos un poco mas a las matrices evolutivas vemos que cada imagen, regla o cadena de síntomas promedio se representa mediante un conjunto de n síntomas o variables, si estas variables son independientes entre si entonces cada objeto (imagen, regla o cadena de síntomas promedio) representado por las n variables se puede visualizar como un punto en un espacio de n dimensiones.
O sea que cada vector de la matriz evolutiva representa un punto en un espacio multidimensional y todas las reglas forman una nube de puntos. De donde, por ejemplo, el proceso de encontrar el diagnostico asociado a un vector de síntomas equivale a encontrar el punto que tiene distancia mínima con este vector.
Ahora bien, conforme aumenta la cantidad de variables que representan a los objetos la posibilidad de que colisionen (asocien el mismo punto a objetos diferentes) disminuye.
Para mostrar lo anterior supondremos que se tienen varios objetos y cada objeto se representa con un valor de una variable o como un punto en una dimensión, en su momento varios objetos podrían tomar el mismo valor y caer en el mismo lugar.
Por ejemplo, si se quiere representar a los alumnos de un grupo por sus calificaciones y éstas toman puros valores enteros y tienen una distribución uniforme entre 0 y 10 entonces la calificación puede tomar 11 posibles valores.
Si |[a, b]| es el número de valores posibles entonces la distancia entre a y b se denota como  y nos indica el rango de valores, o sea que  = (b - a) + 1. En el ejemplo anterior  = (10 - 0) + 1 = 11.
A la relación entre el número de valores posibles |[0, 10]| y el número de objetos (alumnos), se le conoce como densidad o  y en genera se define como  =  /  (donde el número de objetos se denota por ).
La densidad entre otras cosas indica que tan factible es que dos objetos colisionen o sea que tomen el mismo valor. Por ejemplo si  =11 y se tiene 1 persona entonces  = 1 / 11, pero si se tienen 2 personas  = 2 / 11. Si se tienen 10 personas entonces  = 10 / 11 y es muy posible que dos personas tomen el mismo valor, en fin, si se tienen 20 personas, es seguro que varias personas tomen el mismo valor.
Por lo que si se quiere distinguir entre varios objetos midiendo una variable con distribución uniforme se necesita que  sea menor que uno, o sea que el número de objetos sea menor que el número de valores posibles que toma la variable.
Para el ejemplo de las personas la calificación no es una buena variable ya que en general en un grupo se tienen mas de 10 alumnos y además la distribución no es uniforme. Otra variable mejor podría ser la altura en centímetros (nuevamente supondremos el caso ideal de distribución uniforme y que la probabilidad de tomar cualquier valor es la misma)
Si el rango de altura es [151, 170] cm. entonces  = (170 - 151) + 1 = 20, si se tienen pocos alumnos funciona pero al final tampoco es un buen criterio para discriminar entre alumnos.
Ahora bien, si se tienen dos variables no correlacionadas y se utilizan combinadas el espacio se multiplica, o sea que si se categoriza a un conjunto de objetos mediante 2 variables independientes y si 1 es el número de puntos en x, y 2 es el número de puntos en y entonces 1* 2 es el número de puntos en el espacio de valores (conocido también como espacio de caos).
Por ejemplo, en el caso de los alumnos, si .calificación = 11 y .tamaño = 20 entonces .espacio=.calificación*.tamaño=11*20=220. Con lo que el espacio crece y las colisiones se reducen.
Si se tienen 3 o 4 o mas variables rápidamente se llega a espacios con una gran cantidad de posibles valores, por lo que si se tienen objetos caracterizados por 1000 variables la posibilidad de que 2 objetos diferentes tomen el mismo valor es muy pequeña.
Si dejamos de suponer una distribución uniforme y suponemos una distribución normal, se tiene que el comportamiento del espacio probabilistico para una variable es de forma normal.
Si tenemos dos variables x, y se tiene un espacio donde se interceptan dos curvas normales. El espacio con centro en ( x.media, y.media) y que tiene como radios la varianza de x y la varianza de y se conoce como elipse de Chevichev.
Conforme aumenta la cantidad de variables se termina teniendo una hiperelipse de Chevichev de n dimensiones con la característica de que todos los puntos de la hiperelipse se pueden ver como casos particulares de un mismo objeto representado por el punto medio (d1,d2,d3,...,dn) de la elipse. O sea que todos los puntos “cercanos” a (d1, d2, d3,..., dn) se pueden considerar como ejemplos del mismo objeto o como objetos similares.
De donde una técnica para reconocer un objeto o fenómeno o patrón de algún tipo consiste en encontrar su representación “promedio” en un espacio de n dimensiones y todos los objetos cercanos (que caen dentro de la elipse de Chevichev) se pueden considerar como objetos similares.
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