¿Cómo deben ser las matrices rectangulares m y n para que puedan efectuar­se las multiplicaciones M. N y N. M? Razonarlo




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Unidad 1: Matrices.


¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuar­se las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.

Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q).
Para poder multiplicar M·N , el numero de columnas de M debe ser igual al número de filas de N, es decir n = p.
De igual forma, para poder multiplicar N·M, el numero de columnas de N debe ser igual al de filas de M, es decir q = m
Por tanto, para poder multiplicar la M·N y la N·M a la vez, deberá verificarse que el orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamen­te.

Comprobar con las matrices indicadas que:

a) (B+C) ·A= B·A + C·A ; b) (5·A) ·B = 5 · (A · B)

; ;
a)

b)

Comprobar que la matriz verifica la relación A2 + I = O

donde: y . Obtener una matriz B, distinta de ± A, que también verifique la relación B2 + I = O.

a) Para comprobar A2 + I = O  calculamos A2
Si le sumamos la matriz I nos queda que:

b) Si B2 + I = O  B2 = O - I = - I

operando el producto e igualando matrices queda:
y = 0  x2 = -1 imposible

x2 + yz = -1  y (x + t) = 0

xy + yt = 0 x + t = 0

zx + tz = 0

zy + t2 = -1 z = 0  t2 = -1 imposible

  • z (x + t) = 0

x + t = 0
x2 + yz = -1

Solo nos queda que x + t = 0  x = - t junto con

t2 + yz = -1

x = - t

De estas dos últimas solo cojo una pues son iguales si x = - t y nos queda

x2 + yz = -1

que nos dan infinitas matrices B
Como pide una matriz B Si x = 1 ; t = - 1 y 12 + yz = - 1  yz = -2
Si y = 1  z = -2

Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.

Poner un ejemplo con
Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4)
Si multiplicamos A·B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de columnas de A, es decir que p = 4

Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila.
Si multiplicamos B·A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B·A tenga una sola fila, será necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1
En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3)
Si tomamos B = (1 0 0) y multiplicamos B.A nos queda:


Dada la matriz calcula las matrices A2, A3, A4 y A5.

Obtén razonadamente la matriz An para n > 5 .




A4 = A3 · A = O · A = O
A5 = A4 · A = O · A = O
Como consecuencia An = O · A = O
Dada la matriz a) Hallar a y b para que A2 = A

b) Dada la matriz y Hallar P para que

A · P = P · A

a)
a2 = a  a2 – a = 0; a(a – 1) = 0

a2 + ab = a

b2 = b
02 + 0·b = 0 b = 0 No vale A es 0

Si a = 0 b2 – b = 0 ; b· (b - 1) = 0

b2 = b b = 1

 b = 0  12 + 1·0 = 1 Sí

Si a = 1 b2 = b ; b2 – b = 0 ; b· (b - 1) = 0

 b = 1  12 + 1·1 ¹ 1 No
Solo valen
b) 
2c = 0  c = 0
b + 2d = 2a + b ; 2d = 2a ; a = d b

Dada la matriz encontrar una matriz cuadrada X de orden 2 tal que: A + X = A·X + X·A.

Sea

Si A+ X = A·X + X·A => 
    b = c
1 + b = 2a  b = 2a 1
La matriz
X = 2 y = 2 z = -1

Dada a) Hallar M = P2 2P + 3I

b) Hallar todas las matrices simétricas de segundo orden, que verifiquen que A2 = I, siendo I la matriz unidad.
a)

b) A2 = I ;

Si c = 0  , , ,
Si a = - b  b2 + c2 = 1 ;

Dada una matriz P , a) ¿existe una matriz Q tal que el producto P·Q, o bien el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?. b) Calcular la matriz

M = P2 3P- 2 I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y P =
a) Pnxm · Qpxq = A1x q

Siempre que m = p y n = 1

P1x m · Qmxq = A1x q
b) M = P2 – 3P – 2I = P·P – 3P – 2I =
=


Dadas las matrices , y escriba las tres ecuaciones del sistema A·X = B y resuélvelo encontrando todas sus soluciones.

x + 2y + 3z = 7 x + 2y + 3z = 7

y + 2z = 3  y + 2z = 3 sistema compatible indeterminado

- y – 2z = - 3 e3+e2 0z = 0

y = 3 – 2z

x + 2·(3 – 2z) + 3z = 7  x + 6 – 4z + 3z = 7  x = 1 + z
x = 1 + λ

Las infinitas soluciones y = 3 - 2λ

z = λ

Dadas las matrices Se pide:

  1. calcular la matriz (A – I )2.

  2. haciendo uso del apartado anterior, determinar A4



a)


b) A4 = A2·A2
Calcularemos A2 partiendo de (A – I )2
(A – I )2 = (A – I ) · (A – I) = A2 - A · I – I · A + I2 = A2 – 2A + I
Como (A – I )2 = 0 ® A2 – 2A+ I = 0 à A2 = 2A– I
A4 = ( 2A– I ) · ( 2A– I ) = 4A2 – 2.A·I – 2·I·A + I2 ;
A4 = 4A2 – 4A + I = 4A · (A – I) + I


Determinar los valores x, y, z para que se verifique la igualdad:

=



Multiplicamos las dos primeras matrices y queda que

Igualando los cuatro términos de ambas matrices

llegamos a un sistema de ecuaciones. y = 2
x + 2z = 0 x = - 2z

Para y = 2

x2 + z2 = 5 4z2 + z2 = 5 ; 5z2 = 5 ; z2 = 1

z = 1 x = 2

x = - 2 y = 2 z = 1

x = 2 y = 2 z = - 1
x - 2z = 0 x = 2z

Para y = - 2

x2 + z2 = 5 4z2 + z2 = 5; 5z2 = 5; z2 = 1
z = 1 x = 2
x = 2 y = - 2 z = 1
x = - 2 y = - 2 z = - 1

estas son las 4 posibles soluciones que

verifican la igualdad matricial.

Encontrar los valores x, y , u y v que verifican:


2 – 3u = -4  3u = 6  u = 2
6 – 3v = 0  3v = 6  v = 2


Hallar: Dadas las matrices y a) Las dimensiones de X para que X·A = B. b) Una solución de la ecuación. ¿Es única la solución?
a) Para poder multiplicar Xnxm· A2x2 = B2x3 / m = 2 y n = 3
b) 
b = -3 ; a = 2 – b ; a = 2 + 3 ; a = 5
d = -5 ; c = 4 – d ; c = 4 + 5 ; c = 9
f = -7 ; e = 6 – f ; e = 6 + 7 ; e = 13
y es única

Hallar los productos A B y B A para las matrices y


Hallar todas las matrices X de la forma tales que

 b·(b-1) = 0 è b = 0, 1
Si a = 1 y b = 0 è 0 = 1 + 0 No vale

Si a = 1 y b = 1 è 0 = 1 + 1 No vale

Si a = -1 y b = 0 è 0 = -1 + 0 No vale

Si a = -1 y b = 1 è 0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1 è c = 0


Hallar +Y siendo X e Y matrices que verifican:

Primero resolvemos el sistema en x e y

; ;

Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:


  
  

Resolver el sistema matricial:



Sea A la matriz de una sola fila y sea B la matriz de una

sola columna . ¿Se pueden multiplicar A · B y B · A ?

A1x3 y B3x1 luego es multiplicable

B3x1 y A1x3 luego son multiplicables
A.B ¹ B.A

Sea A la matriz Hallar An , siendo n un número natural arbitrario.


Se observa fácilmente que el a11 =1 siempre, el a21 = 0 y el a22 = 1 .El único que cambia es el a12 pero sigue una ley de recurrencia ya que su valor coincide con el exponente de la A.
Si damos n =5 
Comprobamos que
Como lo verifica para n= 5, lo verificara para cualquier n

Sea A una matriz cuadrada. Si A2 + 2A+ I = 0, donde I es la matriz unidad, comprobar que A es invertible.
Una matriz es invertible siempre y cuando |A| ¹ 0
El problema surge de que tenemos que partir de la ecuación matricial A2 + 2A + I = 0
A2 + 2AI + I = 0 ; A· (A +2I ) + I =0 A· ( A + 2I ) = - I ;
A · (-1) · (A + 2I ) = (-1) · (-I ) A · (- A – 2I ) = I multiplicando a la izda por A-1

A-1 · A · (- A - 2I ) = A-1 · I ; I · (- A – 2I ) = A-1

Ú Ú

I A-1
A-1 = - A - 2I La inversa de A se obtiene restándole a la matriz - A, la matriz 2I

Sea la matriz Hallar la ley de formación para las potencias sucesivas de A, calcular An y demostrarlo por inducción.


Comprobación para n = 4
Sea la matriz Hallar a y b para que A2 = I.
 
Si b = 0 à a2 + 2.02 = 1 ; a2 = 1 ; a = ±1
Si b = -2a à a2 + 2 (4a2) = 1 ; a2 + 8a2 = 1 ; 9a2 = 1 ; a2 = 1/9 ; a = ± 1/3

Soluciones: ;

Sea la matriz fila : a) Hallar Xt. b) Hallar A = Xt.X c)Comprobar que la matriz A no tiene inversa.

a)
b)
c) A no tiene inversa porque |A| = 0 , ya que tiene las 3 filas proporcionales.


Sea . Encuentra una matriz cuadrada triangular B tal que

B · Bt = A. ¿Es única la matriz B?.

Sea una matriz triangular de dimensión 2x2

Su traspuestas será : Como B · Bt = A 
 c = ± 2
Si c = 2 ; b = 2 / c = 2 / 2  b = 1 ; a2 + 12 = 10  a2 = 9 a = ± 3

Si c = - 2 ; b = 2 / -2  b = -1 ; a2 + (-1)2 = 10  a2 = 9 a = ± 3
Hay 4 soluciones diferentes


Sea una matriz cuadrada A de orden n tal que A2 = A, sea I la matriz unidad de orden n y sea B = 2A – I, calcular B2 .
B2 = B · B = (2·A – I) · (2.A – I) = 4 ·A2 – 2·A·I – 2·I·A + I2
B2 = 4·A – 2·A – 2·A + I = I

Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n. Si se veri­fica que 1

A· B = A· C. ¿Se puede concluir que será B = C? Si no es así, mostrarlo con un ejemplo sencillo.

No se puede asegurar que B = C en cuanto que la matriz A no posea matriz inversa, y esto sucederá cuando el determinante de A sea cero.
Sea y en donde el
Si multiplicamos
Si multiplicamos
Como podemos observar el mientras que B ¹ C


Sean A y B las matrices y
Hallar (A + B) 2 y A2 + 2AB + B2. ¿Se obtiene el mismo resultado?



;
Como se puede observar: Se comprueba que:

(A + B) 2 ¹ A2 + 2AB + B2 (A + B) 2 = A2 + A·B + B·A + B2

Sean las matrices ;

Hallar a) 3 · A - 2 · B ; b) A - 2 · (A + B) ; c) A – 9 · B ; d) 9 · A – B

a)
b)

c)

d) =


Sean las matrices ;

Hallar: a) A B , b) B A , c) A² d) B² , e) (AB) ² , f) A² B² . ¿Se obtiene el mismo resultado en e) y en f) ?
a)

b)

c)
d)
e)

f)

No se obtiene el mismo resultado, debido a la no conmutatividad de matrices

Se considera la matriz donde a, b y c son tres números reales arbitrarios. Encuentra An para todo numero natural n.




An = O para todo numero natural n


Se consideran las matrices

Calcular B3 , Calcular A4 haciendo A = B + I




b) A4 = (B + I)4 = B4 + 4.B3.I + 6.B2.I2 + 4.B.I3 + I4 =
=


Se sabe que la matriz A = Verifica la igualdad

A² = A + I, siendo I la matriz identidad. Calcular A-1 y A4 .


Partiendo de A² = A + I  A·A = A + I  multiplicamos a la derecha por A-1 los dos miembros

A.A.A-1 = (A + I) · A-1 ; A · I = A · A-1 + I· A-1

I I
A = I + A-1  A-1 = A - I

A-1 =

A4 = A2 · A2 = (A + I)· (A + I) = (A + I)· A + (A + I) · I=
A ·A + I · A + A · I + I · I = A2 + A + A + I = A + I + 2A + I = 3A + 2I =




¿Tiene la propiedad conmutativa la multiplicación de matri­ces cuadradas?. ¿Y la de matrices rectangulares?. Mostrar ejem­plos sencillos.

El producto de dos matrices no cumple siempre la propiedad conmutativa.
Si las matrices M y N no son cuadradas, para que se puedan mul­tiplicar M·N y N·M deberán ser de dimensiones (m,n) y (n,m) y entonces

M·N será de dimensiones (m,m)

N·M será de dimensiones (n,n)
Por tanto la pregunta solo tiene sentido cuando m = n, es decir para matrices cuadradas del mismo orden.
Ahora bien, si tomamos dos matrices cualesquiera de orden 2, podemos ver que no conmutan.



UNIDAD 2 : Determinantes. Matriz Inversa.

Calcula el siguiente determinante, haciendo previamente ceros en la segunda columna:
f2 + 6f1

=

f3 – 3f1

f4 + 9f1


= (-1) A12 =


f2 + 10f1

=

f3 + 3f1
= (-1)·(-1) · = c1 – c2 = =


= 18483 - 21573 = - 3090


Aplico la regla de Chio y en el determinante 2x2 aplico Sarrus

Calcula, en función de a,b y c el valor de:

14 · (b – a) · (c – a) · (c – b)

  1. (2)


(1) Si una línea de un determinante se divide por un numero k, el nuevo determinante viene multiplicado por dicho numero k

(2) Es un determinante de Van der Monde.
Calcula los valores de x para que sea 2 el rango de la matriz


Para que el rg A = 2
 - 1 + 3x - 3 + x = 0  4x = 4  x = 1
Para x = 1, el menor de orden 3 es nulo  No existe menor principal de orden 3 
rg A = 2
Calcular, en función de n, el valor del determinante




Como puede observarse el determinante vale 0 para cualquier

valor de n.
Calcular el determinante


(1) (2)
(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra paralela, el nuevo determinante no varia.

(2) El determinante de una matriz triangular vale el producto de los elementos de su diagonal principal.

Procedimiento a): Trabajaremos con las filas realizando combinaciones lineales.
f2 – f1  f2 ; f3 – f1  f3 ; f4 – f1  f4 =
= c2 + c1  c2 = =
= (-1) (-1) c2 + c1  c2 = =
= = 3a + 1 + a = 4a + 1.
Procedimiento b):
= c1 + c2 + c3 + c4  c1 =
= c1 : (4a + 1) =
(4a + 1) f2 – f1  f1 ; f3 – f1  f1 ;
f4 – f1  f1 = (4a + 1) = (4a + 1) · 1 = 4a + 1.

Calcular los determinantes:

= 0

(1) (2)
= 0

(1) (2)
(1) Un determinante no varia si se cambia una línea por una combinación lineal de ella con otra paralela.
(2) Si en un determinante hay dos líneas paralelas proporcionales, su determinante vale 0


Calcular para que valores de k la siguiente matriz es invertible. En esos casos escribir sus matrices inversas.

A tendrá matriz inversa cuando el determinante de la matriz no sea cero.
= 9k – 12 – 3 + 18 = 9k + 3
Si A = 0 è 9k + 3 = 0 è 9k = - 3 è k = - 1 / 3
Para todos los valores de k distintos de – 1 / 3 existirá A-1







=

  1. (2)



(1) Un determinante no varía si se cambia una línea por una combinación lineal de ella con otra paralela.

(2) En un determinante con dos líneas paralelas iguales , vale 0





(1) (2)
(1) Si en un determinante existe una línea descompuesta en dos sumandos, se podrá descomponer en suma de dos determinantes, en donde las líneas no descompuestas se mantendrán iguales y la línea con dos sumando se descompondrá cada sumando en un determinante.

(2) Si en un determinante existen dos líneas paralelas iguales, el determinante vale cero.
De otra forma:


(3) (2)
(3) Si en un determinante intercambiamos una línea por una combinación lineal de ella misma con otra paralela, el nuevo determinante no varía.

a) Halla para que valores del parámetro b existe A-1 . b) Calcula A-1 para b = 2.


a) Para que exista A-1 el
Buscamos los valores de b para que valga 0


- b2 + 4b - 3 = 0  b2 - 4b + 3 = 0 


b ≠ 1, 3 el existe A-1
Para b = 2 = - 4 + 8 – 3 = 1




Contesta a las siguientes cuestiones:

a) Enuncia dos propiedades de los determinantes.

b) Calcula el siguiente determinante:

= =

  1. (2)


=

(1)
= (x + 3) · (x – 1)3
(1) Si cambiamos una línea por una combinación lineal de ella con otras paralelas, el nuevo determinante no varía.

(2) Si dividimos una línea por un numero o función, el nuevo determinante vendrá multiplicado por dicho numero.


a) Hallar A-1 . b) Comprobar que

se verifica A2 – 3·A – 4·I = O . c) Hallar A-1 a partir de la igualdad anterior

a) = 2 – 6 = - 4 = ;
b) =

.


c) A·A – 3·I·A - 4·I = O è (A – 3·I) ·A - 4·I = O è (A – 3·I) · A = 4·I
(A – 3·I) · A · A-1 = 4·I · A-1 è A – 3·I = 4 · A-1 è

, averiguar para que valores del parámetro ß la matriz no tiene inversa. Calcular su inversa cuando

ß = 2.
Para que la matriz A pueda invertirse, debe ser ½A½ ¹ 0.
= - ß2 + 4ß - 3 Si hago que = 0 resolviendo la ecuación de segundo grado en ß tenemos que ß = 1 y ß = 3
Cuando ß = 1 o cuando ß = 3 la matriz A no posee inversa.
Calculemos la inversa de A, para ß = 2.
- 4 + 8 - 3 = 1

Para comprobarlo A.A-1 = I

Halla el valor no nulo de c para el cual la matriz A2 es diagonal . con este valor de c hallar A-1 .

 2c + c2 = 0  c · (2 + c) = 0


1 + 8 + 8 - 4 – 4 - 4 = 4


Dada la matriz invertible A = hallar :

  1. At · A b) A · At c) A · A-1 d) A-1 · A e) At · A-1 f) A-1 · At

Calculo At =
Calculo A-1:
|A| = = 4+ 0 – 12 – 0 – 3 + 10 = –1
Ad = (Ad) t =
A-1= (Ad) t= =


  1. At · A = · =



  1. A · At = · =



  1. A · A-1 = · = = I



  1. A-1 · A = · = = I



  1. At · A-1 = · =



  1. A-1 · At = · =


Demostrar que es nulo, sin desarrollar, el siguiente deter­minante


= =
= = 0

El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16. Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) –A ; c) -6A ; d) At ; e)At · A ; f) A · At
3x3 = 16
= 125 · 16 = 2000


  1. = - 16



c) = - 216 · 16 = 3456
d)
e) = 16 · 16 = 256

f) = 16 · 16 = 256

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar el determinante de las matrices 5A ; -A ; At y A · At .
| A |nxn = K.

| 5A |nxn = 5 n · | A | = 5n · K
| - A | = (-1)n · | A | = (-1)n · K
| At | = | A | = K
|A · At| = | A | · | At | = K · K = K2
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa? ¿Cuánto vale en ese caso ?

para que A posea inversa es decir

=


Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para deducir:


=

= 1 • (-1)5

·

= - (1 - a)· (1 - a) · A11
= - (1 - a) · (1 - a) · (- a2 – 2a +3) = (1 - a)2 · (a2 + 2a - 3) = (1 -a)2 · (a - 1) · (a + 3) =
= (- (a - 1) )2 · (a - 1) · (a + 3) = (a - 1)3 • (a + 3)

Escribir la matriz inversa de . Comprobar el resul­tado multiplicándolo por la matriz dada.


Calculemos el = 2 - 3 = - 1 ¹ 0 con lo que se puede calcular la inversa de A.
Calculemos los adjuntos de la matriz A. A11 = 1 ; A12 = - 1 ; A21 = - 3 ; A22 = 2
=
Comprobación: ·

Escribir la matriz inversa de la y comprobar que existe, cualquiera que sea el valor de a.

Para que exista la matriz inversa, el determinante de la matriz deberá ser no nulo.
= 2 - a + a - 3 = - 1
Al ser el determinante ¹ 0 e independiente del valor de a, la matriz inversa existirá siempre para todo valor real de a.

Comprovemos que A.A-1 = A-1.A = I



Halla el rango de la matriz :

existe menor principal de orden 1
= 7 + 6 = 13 ≠ 0 existe menor principal de orden 2
= - 105 ≠ 0 existe menor principal de orden 3
=
= - 35 · (3 – 4) = 35 ≠ 0 existe menor principal de orden 4  rg A = 4

verifique que su traspuesta es igual a su inversa. En esos casos hallar A4 .


At = A-1 è At · A = A-1 · A è At · A = I






1 + a2 = 1 è a2 = 0 è a = 0 Como a·b = 0 y como a·c = 0 è valido para todo b y todo c perteneciente a los nº reales.

½ + b2 = 1 è b2 = ½ è

De las cuatro posibilidades solo son validas

½ + c2 = 1 è c2 = ½ è
los valores de b y c que tengan signos opuestos, para que al sustituir en ½ + b·c = 0, la verifique, es decir
Si a = 0 ; Si a = 0 ;

= I
A3 = A2 · A = I · A = A

Las potencias impares dan A y las potencias pares dan I

A4 = A3· A = A · A = I


Hallar el rango de la siguiente matriz M , según los valores de

α, β y γ:

Para calcular el rango utilizaremos la propiedad de que una combinación de filas paralelas no varía el rango de la nueva matriz.
=
= rag

(1)



(2)

  1. si divido una fila por una número real el rango no varía

  2. dos filas paralelas proporcionales hacen que el rango disminuya en una fila.


Luego rg M < 3
α = β = γ = 1  rg M = 1

 rg M = 2

α = β ≠ γ  rg M = 2
α ≠ β = γ  rg M = 2

Hallar la inversa de la matriz


;

Hallar la matriz A-1 en función de A sabiendo que existe y que se verifica A2 + 7A = I.
A2 + 7·A = I è A · A + 7·I· A = I è (A + 7·I) · A = I
(A + 7·I) · A · A-1 = I · A-1 è A + 7·I = A-1

Hallar la matriz inversa de I - A siendo:

e I =
= B


Hallar la matriz inversa de y comprobar el resultado,

multiplicándola por la matriz dada.

Si llamamos A a la matriz dada, un método para calcular la matriz inversa A-1 es:
= 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2 ¹ 0 luego puedo invertir.
Calculemos los elementos de la matriz adjunta
Por último la
Para comprobar el resultado A.A-1 = I
Hallar los determinantes de las siguientes matrices

b) B =

= = = 1 · A11 = = 0

= (-1)·(-1)· = = 1· A23 = (-1)· =
= - (90 + 14) = - 104

Obtén el valor de los siguientes determinantes, utilizando el método del pivote:


= 1 · ( - 30 – 2 + 0 + 2 + 0 + 10) 20


= 1 · ( 9 + 8 – 0 – 0 + 8 – 12) = 13

Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante


Aaplicam0s las propiedades de los determinantes para no desarrollar por Sarrus.
= =

  1. (1)


· · = 2· a2 · b4 · c2
(2) (3)
1: Si dividimos una línea por un mismo número real distinto de cero, el nuevo determinante queda multiplicado por dicho número.
2: Si sustituimos una línea por ua combinación lineal de ella con otra paralela, el determinante no varia.
3: El determinante de una matriz triangular (ceros por debajo de su diagonal principal) vale el producto de los elementos de la diagonal principal.


Probar que = sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)


Si desarrollamos por los elementos de la primera columna
=
= (sen b.cos c - cos b.sen c) + (sen c.cos a - sen a.cos c) +
+ (sen a.cos b - sen b.cos a) = sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)


Probar que:



  1. (2)


(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra paralela, el nuevo determinante no varia.

(2) El determinante de una matriz triangular se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal.


Prueba que
= 1· =
= = - (a – 1) · (- a2 – a + 2) = (a – 1) · (a2 + a – 2 ) =
= (a – 1)2 · (a + 2)

Resolver la ecuación = 0
Apliquemos las propiedades de los determinantes para rebajar el orden y poder calcular su valor. Luego lo igualaremos a 0 para resolver la ecuación.
= =

  1. (2)



= -1 · =
= - (x - 1) =
= - (x - 1) =
= - (x - 1) · 1 =
= - (x - 1) =
= - (x - 1) (-x2 + 2x - 1) (x3 - 3x2 + 3x - 1) = = - (x – 1) · [- (x – 1)2] · (x – 1)3 =
= + (x – 1)6
Para resolver la ecuación (x 1)6 = 0 x = 1
No olvidar explicar las propiedades (1) y (2).

Resolver la ecuación: = 0
= a · (a - 1) · (a + 3) · 2a = 2 a2 ·(a - 1)·(a +3)
2a2 = 0; a = 0

2 a2· (a - 1) · (a + 3) = 0 a - 1 = 0 ; a = 1

a + 3 = 0; a = -3

En un determinante de una matriz triangular, su resultado es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Resolver las ecuaciones: a)

x -1 -1 0 c2 + c1 x -1 + x -1 - x2

a) -x x -1 1 ======= -x 0 -1 1 + x2 =1 · A41 =

1 -1 x 1 c4 – xc1 1 0 x 1 - x

1 -1 0 x 1 0 0 0

-1+x -1 -x2 -1 1+x2

= - 0 -1 1+ x2 = - (-1+x) A11 = (1-x) = (1- x)[ - (1-x) – x (1+x2)]=

0 x 1- x x 1 -x
= (1 - x) · (-1 + x – x – x3) = (1 - x) · (-1- x3)
1 - x = 0 ; x = 1

(1-x) · (-1- x3) = 0

- 1 - x3 = 0 ; x3 = -1 ; x = 3√-1 = -1
x -1 -1 c2 +c1 x x+1 -1 - x2 -1 + x -1 - x2

b) -x x -1 ====== -x 0 -1 + x2 =1 · A13 = 1 =

1 -1 x c3 –xc1 1 0 0 0 -1 + x2
-1 + x= 0 ; x = 1

=(-1 + x) · (-1 + x2 ) ; (- 1 + x) · (-1 + x2) =0

-1+ x2 = 0 ; x2 = 1 ; x =  1

Resolver las ecuaciones: a) b) =0



  1. = 1 · A21 =

  2. (2)


= 1 · (-1) · = (-1) · A12

(1) (2)

= (-1) · (-1) · (-1) · = (-1) · (-7 – 12x + 42) = - 35 + 12x
e igualandolo a cero queda è 12x = 35 è x = 35 / 12

b) = = 1 · A11 = = - x2 - x

(1) (2)

Si igualamos a cero è - x2 – x = 0 è -x · (x + 1) = 0


(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra paralela, el nuevo determinante no varia.

(2) Desarrollamos por los elementos de una línea.


Resolver las ecuaciones:




=

= (2 – x) · (3 – x) · [3 + x – 2 – x] = (2 – x) · (3 – x)


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