Partiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo capm y apt. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital




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títuloPartiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo capm y apt. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital
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El significado es el siguiente:

Si las dos rentabilidades de los activos se relacionan positivamente entre si, tendrán una covarianza positiva, pero si la relación que existe entre ambas es negativa, la covarianza será negativa.

Al ser en este caso la covarianza negativa = -0.004875 implica que es probable que la rentabilidad de una accion sea mayor que su promedio cuando la rentabilidad de la otra accion es menor que su promedio y viceversa. La magnitud numérica es en principio difícil de interpretar, pero se soluciona el problema mediante la Correlación.

Si la correlación es positiva, se dice que las rentabilidades se relacionan positivamente, y si es negativa, se relacionan negativamente, si es cero no se relacionan. Fluctúan por lo tanto entre +1 y -1.



4) Rentabilidad Esperada de una Cartera

XA RA + X B R

Donde XA y X B son los porcentajes de inversión en los activos A y B respectivamente y R y R  son las respectivas rentabilidades esperadas de los títulos A y B. La rentabilidad esperada de la cartera es el promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los activos individuales de una cartera.

Un inversor con 100 pesetas invierte 60 en la empresa Super y 40 en la Slow. La Rentabilidad esperada será:

0.6 x 17.5% + 0.4 x 5.5% = 12.7%



5) Varianza y Desviación Standard de una Cartera

Varianza : X2A A+ 2 XA XB AB + X2BB  (Dos Títulos)

En la varianza de la cartera de dos títulos se tiene en consideración la varianza de cada títulos y la covarianza de los Títulos (A con B, y B con A que son iguales)

La varianza mide la variabilidad de la rentabilidad de un titulo y la covarianza mide la relación entre dos títulos.

Una covarianza positiva entre los títulos aumenta la varianza de la cartera, mientras que una covarianza negativa disminuye la varianza de la cartera.

Para el caso de las empresas consideradas anteriormente, y teniendo en cuenta que se invierte 60 pst. en Super y un 40 en Slow, resulta:

Varianza = 0.36 x 0.066875 + 2 x (0.6 x 0.4 x (-0.004875)) + 0.16 x 0.013225. = 0.023851.

Desviación Standard : = = 0.1544 = 15.44%.

Una rentabilidad de -2.74% (12.7 - 15.44%) es una desviación standard menor que el promedio, y una rentabilidad del 28.14% (12.7 + 15.44) es una desviación estandard por encima del promedio. Si la rentabilidad de una cartera esta distribuida normalmente, una rentabilidad de entre -2.74 y + 28.14 % ocurre aproximadamente en un 68% de las veces.



6) Efecto de la Diversificación

El promedio ponderado de la desviación standard, para una cartera de dos títulos con las características expuestas anteriormente, es la siguiente:

0.6 x 0.2586 + 0.4 x 0.115 = 0.2012

Este resultado supone que la desviación standard de la cartera es menor que el promedio ponderado de las desviaciones standard de los títulos individuales. El motivo de esta diferencia es debido a la diversificación, ya que para las empresas Super y Slow tienen cierta correlación negativa que es: = -0.1639, es decir, es muy probable que la rentabilidad de Super sea ligeramente menor que su media si la rentabilidad de Slow es mayor que su media y al revés.

La varianza de la cartera será:

X2Super + 2XSuper XSlow Slow, Super   Slow  Super  + X2Slow

Varianza = 0.36 x 0.066875 + 2 x 0.6 x 0.4 x (-0.1639) x 0.2586 x 0.115 + 0.16 x 0.013225. = 0.023851

Si Slow Super = 1, (Valor máximo de la Correlación), la Varianza será:

0.36 x 0.066875 + 2 x 0.6 x 0.4 x 1 x 0.2586 x 0.115 + 0.16 x 0.013225. = 0.040466.

Siendo la Desviación Standard = = 20.12

El efecto de la correlación hace disminuir la varianza cuando dicha correlación es negativa, mientras que la aumenta cuando dicha correlación es positiva.



7) Cartera Eficiente para dos Títulos:

La representación gráfica de la Rentabilidad y Desviación Standard de dos títulos es la siguiente:



El circulo del gráfico representa una cartera con un 60% invertido en Super y un 40% en Slow. Ha de tenerse en cuenta, que es una posibilidad de la multitud de carteras que se pueden formar con los dos títulos.

En la curva del gráfico siguiente se ilustran el conjunto de carteras que se pueden formar:



La cartera 1 esta compuesta por 90% de Slow y 10% de Super.

La cartera 2 esta compuesta al 50% para cada valor.

La cartera 3 esta compuesta al 10% en Slow y 90% Super.

La cartera MV es la cartera de varianza mínima.

Del gráfico anterior se desprenden las siguientes conclusiones:

1.- EL efecto de la diversificación se produce siempre que la correlación entre dos títulos es menor que 1, y en este caso es de 0.1639. La linea recta representa los puntos que se habrían generado si el coeficiente de correlación fuera 1. L cartera I' es una cartera con el 90% de Slow y 10% de Super con coeficiente de correlación 1, sin embargo por el efecto de la diversificación, la cartera 1 tiene la misma rentabilidad, pero menor desviación standard.

2.- El punto MV representa la cartera de varianza mínima.

3.- El inversor se enfrenta a un conjunto de oportunidades y puede situarse en cualquier punto de la curva, mediante la selección de una combinación de los dos títulos. No puede situarse en puntos superiores porque no puede incrementar la rentabilidad de los títulos individuales, reducir la desviación standard de los títulos, ni reducir la correlación de los mismos. Tampoco puede situarse en ningún punto por debajo de la curva porque no puede reducir las rentabilidades, incrementar la desviación standard, ni incrementar la correlación. Dependiendo su aversión al riesgo se situara en un punto u otro de la curva.

4.- La curva gira hacia atrás entre el punto de Slow y MV, lo que supone que la desviación standard decrece, al aumentar la rentabilidad. Esta situación es debida al efecto de la diversificación, ya que los dos títulos tienen correlación negativa entre si.

5.- Ningún inversor desea tener una cartera con rentabilidad esperada menor que la varianza mínima de la cartera. Esto supone que ningún inversor deseará la cartera I, ya que esta cartera tiene una rentabilidad esperada menor, para una desviación standard mayor que la cartera de varianza mínima. Por esta razón los inversores solo consideran la curva de MV a Super como Conjunto Eficiente.

Según sea el coeficiente de correlación, así será la forma de la curva, tal como se expresa en el siguiente gráfico:



Conclusión:

Cuanto menor es la correlación, mayor pronunciamiento de la curva, lo que implica que el efecto de la diversificación se incrementa conforme el coeficiente de correlación decrece.



8) Cartera Eficiente para muchos títulos

Sean 100 títulos que puede comprar el inversor. El conjunto de oportunidades se encuentra situado dentro de la forma sombreada de la figura siguiente:



El punto 1, por ejemplo, representa una cartera de 40 títulos, el 2 de 80, el 3 de 80 pero distribuidos de forma distinta. Las combinaciones pueden ser infinitas, si bien todas entran dentro de la zona restringida. Ningún titulo o combinación de títulos puede encontrarse fuera de esa zona, lo que supone que nadie puede elegir una cartera con rentabilidad esperada mayor que la que aparece en la zona ya que no se pueden alterar las rentabilidades de los títulos individuales, y nadie puede elegir una cartera con desviación estandard menor que la que aparece en la zona, ya que no existe.

El inversor, al igual que con dos títulos, también se situara entre algún punto del extremo superior entre MV y X y que será la Cartera Eficiente. Cualquier punto por debajo de dicha cartera tendrá una rentabilidad esperada menor y la misma desviación standard, que la situada en el conjunto eficiente. Por ejemplo, R es una cartera eficiente y W estará exactamente debajo de ella. En W presenta el riesgo que desea el inversor, pero eligirá R porque la rentabilidad esperada es superior para el riesgo deseado.



9) Varianza y Desviación standard de carteras con muchos títulos

Sea N activos. Se construye una tabla que va de 1 a N en el eje horizontal y 1 a N en vertical. Esto supone una matriz de N x N = N2.

Acc.

1

2

3

.....

N

1,00

X12Var1

X1X2Cov(R1,R2)

X1X3Cov(R1,R3)

 

X1XnCov(R1,Rn)

2,00

X2X1Cov(R2,R1)

X22Var2

X2X3Cov(R2,R3)

 

X2XnCov(R2,Rn)

3,00

X3X1Cov(R3,R1)

X3X2Cov(R3,R2)

X32Var3

 

X3XnCov(R3,Rn)

 

 

 

 

 

 

N

XnX1Cov(Rn,R1)

XnX2Cov(Rn,R2)

XnX3Cov(Rn,R3)

 

Xn2Varn
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