Partiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo capm y apt. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital




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Sea la casilla con dimensión horizontal de 2 y la de dimensión vertical de 3. El termino es X3X2Cov(R3,R2), donde X3 y X2 son los porcentajes de la cartera invertidos en el tercer y segundo activo respectivamente. También resulta que Cov(R3,R2) = Cov(R2,R3). Dado que la dimensión vertical es igual que la horizontal los términos de la diagonal son los porcentajes invertidos elevados al cuadrado por la varianza del titulo. Los términos que se encuentran fuera de la diagonal contienen las covarianzas.

El numero de términos se expresa en la siguiente tabla:

Nº de terminos de Varianza y Covarianza según Nº de acciones

Nº Acciones

Nº Terminos

Nº Terminos de Var.

Nº Terminos de Covar.

1,00

1,00

1,00

0,00

2,00

4,00

2,00

2,00

3,00

9,00

3,00

6,00

10,00

100,00

10,00

90,00

100,00

10.000

100,00

9.900

 

 

 

 

N

N2

N

N2 - N

Un hecho importante a tener en cuenta:

La varianza de la Rentabilidad de una Cartera con muchos títulos depende mas de las covarianzas entre los títulos individuales que de las varianzas entre los mismos.



10) Ejemplo:

Sean las siguientes hipótesis:

1.- Todos los títulos tienen las misma varianza = var.

2.- Todas las covarianzas son las mismas = Cov.

3.- En la cartera todos los títulos se ponderan por igual. Dado que existen N activos, el promedio ponderado de cada activo de la cartera es de 1/N, es decir Xi= 1/N para el titulo i.

Varianza de la Cartera = Nº de términos de la diagonal x Cada termino de la Diagonal + Nº de términos fuera de la diagonal x Cada termino fuera de la diagonal.

Es decir:

Varianza de la Cartera = N x (1/N2) var + N(N-1) x (1/N2)cov =

(1/N)var + ( N2 - N)/N2 = (1/N) + ( 1 - 1/N)cov

que en términos de tabla resulta:

Accion

1

2

3

 

N

1,00

(1/N2)var

(1/N2)cov

(1/N2)cov

 

(1/N2)cov

2,00

(1/N2)cov

(1/N2)var

(1/N2)cov

 

(1/N2)cov

3,00

(1/N2)cov

(1/N2)cov

(1/N2)var

 

(1/N2)cov

 

 

 

 

 

 

N

(1/N2)cov

(1/N2)cov

(1/N2)cov

 

(1/N2)var

Teniendo en cuenta la formula que expresa la varianza de la cartera, resulta que cuando el Nº de títulos tiende a infinito, la varianza de la cartera será igual a la covarianza.

Esto es un resultado importante y muy interesante, ya que a efectos del riesgo las varianzas de la cartera desaparecen a medida que aumenta el numero de títulos, y sin embargo permanecen las covarianzas. 

Esto supone que mediante la diversificación eliminamos parte del riesgo de la cartera, pero no eliminamos la parte que corresponde a la covarianza.

La varianza de una cartera que solamente contiene un titulo es la varianza del titulo. La varianza de la cartera decrece conforme aumentan el numero de títulos, pero nuca podrá llegar a ser cero, ya que permanece la covarianza.

Gráficamente:



Tenemos que var > cov, por lo que la varianza de la rentabilidad de un titulo se puede descomponer de la siguiente forma:

Riesgo total de un titulo = Riesgo de la Cartera + Riesgo no Diversificable, es decir:

var = cov + (var -cov)

Reflexión:

¿Realmente con cuantos titulos cree es posible una elevada disminución del riesgo?

 

EL MODELO DE MARKOWITZ (Continuación)



1) Solicitud y concesión de prestamos sin riesgo

Anteriormente se ha representado la frontera eficiente (cartera eficiente) para 100 títulos. El inversor puede convinar una cartera con riesgo (títulos) con otra que no tenga riesgo, como puede ser Letras del Tesoro. Nos encontraríamos con la siguiente tabla:

 

Rent. Esper. Telefónica

Rent. Activo sin Riesgo

Rentabilidad

14%

10%

Desv. Standard

0.20

0

Un inversor desea invertir 1.000 pesetas, de los cuales invertirá 350 en Acciones de Telefónica y 650 en Letras del Tesoro. La rentabilidad esperada de la inversión será igual 0.35 x 0.14 + 0.65 x 0.10 = 0.114

La rentabilidad esperada es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada del activo con riesgo (Telefónica) y del activo sin riesgo (Letras del Tesoro).

La varianza de la cartera del activo sin riesgo y activo con riesgo será:

Varianza : X2Tel Tel+ 2 XTel XB Letra + X2LetraLetra  (Dos Títulos)

El activo sin riesgo por definición la rentabilidad es conocida, por lo que su varianza es cero. La covarianza del activo sin riesgo con telefónica es también cero, por lo que resulta:

Varianza de la Cartera = X2Tel Tel = 0.352 x 0.202 = 0.0049

La desviación Standard = 0.35 x 0.20 = 0.07

La representación gráfica de la relación entre rentabilidad esperada y el riesgo de una cartera de un activo con riesgo y otro sin riesgo es la siguiente:





2) Solicitud de Préstamo

Se solicita un préstamo de 200 pesetas a la tasa sin riesgo (10%). La totalidad de los recursos son 1.200 pst. 

La rentabilidad esperada seria:

1.20 x 0.14 + (-0.2) x 0.10 = 14.8%

Se invierte el 120 de la inversión original solicitando el préstamo. La rentabilidad es del 14.8% que es superior al 14% que es la rentabilidad sin solicitar préstamo. Es evidente que la rentabilidad aumenta ya que la tasa sin riesgo es del 10% y la rentabilidad esperada inicialmente es del 14%.

La desviación standard de la cartera será 1.20 x 0.2 = 0.24, que es superior a la inicial ya que el préstamo aumenta la variabilidad.

Si la tasa del préstamo es superior a la rentabilidad esperada, el resultado final seria un desplazamiento de la rentabilidad (linea de puntos).



3) La Cartera Optima

En el caso anterior, se consideraba un activo con riesgo (Telefónica) y un activo sin riesgo (Letras del Tesoro). Realmente un inversionista puede combina una inversión en el activo sin riesgo con una cartera de títulos arriesgados, tal como se representa en el gráfico siguiente:



Los títulos arriesgados se representan en la cartera Q, que tiene la siguiente composición: 30% en Telefónica, 45% en Repsol y 25% en Iberdrola. 

Los inversores combinan Q con inversión en activo sin riesgo, alcanzando puntos a lo largo de la recta Rf a Q. Es la linea I. 

En el punto 1 representa una cartera de 70% en Activo sin Riesgo y 30% en acciones representadas por Q. Un inversor con 100 pesetas, invertirá 70 en Activo sin Riesgo y 30 en las acciones representadas por Q, es decir, invertirá 9 pesetas en Telefónica (30% x 30), 13.5 en Repsol (45% x 30) y 7.50 (25% x 30). En el punto 2 también se representa una cartera del activo sin riesgo y Q, con una inversión mayoritaria (65%) en Q.

En el punto 3 se ha solicitado prestamos para invertir en Q. Por ejemplo, se ha solicitado a un banco 40 pesetas para invertir 140 pesetas en Q, es decir, 42 pesetas en Telefónica (30% x 140), 63 en Repsol (45% x 140) y 35 en Bº Santander (25% x 140).

Cualquier inversor puede alcanzar cualquier punto de la linea I, pero ningún punto es el optimo.

Sea la linea II que une Rf con A. A representa una cartera de títulos arriesgados. La linea representa las carteras que se crean mediante combinaciones del activo sin riesgo y los títulos de A. Los puntos conseguidos mas alla de A se logran mediante la solicitud de prestamos a la tasa sin riesgo, para comprar mas de A que lo que compramos con nuestros fondos originales. 

La linea II es tangente al conjunto eficiente de títulos arriesgados y cualquier punto que se alcance de esta linea II tiene la misma desviación standard y mayor rentabilidad que el punto correspondiente de la linea I.



4) Linea de Mercado

A la linea II se le conoce como Linea del mercado de Capitales, y es el conjunto eficiente de todos los activos, tanto arriesgados como sin riesgo. Un inversor con alto grado de aversión al riesgo podrá seleccionar un punto entre Rf y A. Un inversor adverso al riesgo se podrá situar en A. El punto 5 corresponde a una persona que solicita dinero prestado para incrementar su inversión en A.

Con la solicitud y el otorgamiento de prestamos a la tasa sin riesgo. la cartera de activos arriesgados que un inversor tiene siempre será el punto A. No eligirá ningún otro punto del conjunto eficiente (XAY) ni tampoco el de la región variable (Interior del conjunto cerrado). Si fuera muy adverso al riesgo invertiría en A y en activo sin riesgo. Si fuera poco adverso al riesgo solicitaría un préstamo a la tasa del activo sin riesgo para invertir mas fondos en A. 

Este principio se denomina Principio de Separación, ya que el inversor toma dos decisiones por separado:

1.- Después de calcular la rentabilidad esperada y las varianzas de los títulos individuales, y las covarianzas entre los pares de títulos, el inversor calcula el conjunto eficiente de activos arriesgados, representado por la curva XAY y determina el punto A, por la tangente entre la tasa sin riesgo y el conjunto eficiente de activos arriesgados (XAY). El punto A representa la cartera de activos arriesgados que tendrá el inversionista.

2.- Posteriormente, el inversor tiene que determinar la forma de combinar el punto A, con en activo sin riesgo. Podría invertir parte en A y parte en activo sin riesgo, con lo que se situaría en algún punto de Rf a A. De modo alternativo, podría solicitar un préstamo a la tasa sin riesgo e invertir todo en la cartera A. Esto supondría un punto sobre la linea II, mas alla de A.



5) Cartera de equilibrio de Mercado

Puede imaginarse un mundo en el que todos los inversores tienen las mismas estimaciones de las rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas, ya que disponen de la misma información. Este supuesto se denomina como expectativas homogéneas.

Si esto fuese de esta forma, todos los inversores obtendrían el mismo conjunto eficiente de activos arriesgados, ya que trabajarían con la misma información. Este conjunto eficiente de activos arriesgados se representaría mediante la curva XAY. Todos los inversores consideran el punto A como la cartera de activos arriesgados que deben tener porque a todos se les aplicara la misma tasa sin riesgo.

Los inversores con alto grado de aversión al riesgo combinaran A con inversión en activo sin riesgo. Los poco adversos al riego tomaran un préstamo para invertir en la cartera A, por lo que se situaran, por ejemplo, en el punto 5.

Si todos los inversores eligen la misma cartera de activos arriesgados, se tratara de una cartera con todos los títulos del mercado, y se le llamara Cartera de Mercado.

La medida del riesgo de una cartera numerosa es conocida con el nombre de beta de la cartera, y que trasladada a un titulo resultara la beta de dicho titulo, cuya formula es la siguiente:



donde (RM) es la varianza del mercado

Intuitivamente, la beta mide la sensibilidad de un cambio de la rentabilidad de un titulo individual al cambio de la rentabilidad de la cartera del mercado. La Beta promedio de todos los títulos de la cartera de mercado toma el valor de 1:





6) Aproximación a la Beta

Sea la siguiente situación:

Estado

Tipo Economia

Rent. Mercado

Rent. BBV

I

Alza

15,00

25,00

II

Alza

15,00

15,00

III

Ala Baja

-5,00

-5,00

IV

A la Baja

-5,00

-15,00

Suponiendo que los cuatro estados son igualmente probables:

Economia

Rent. Mercado

Rent. Esperada BBV

Alza

15%

20% = 25% x 1/2 + 15%x 1/2

A la Baja

-5%

-10% = -5% x 1/2 + (-15%) x 1/2

La rentabilidad del mercado en una economía al alza es del 20% (15- (-5)) mas alta que en una economía a la baja. Así mismo, la rentabilidad esperada del BBV en una economía al alza es del 30% (20 -(-10)) mas alta que en una economía a la baja. De esta forma BBV, tiene un coeficiente de sensibilidad de 1.5 (30%/20%).

En el siguiente gráfico se ilustran las rentabilidades del Mercado y del BBV:



La linea que une los puntos de rentabilidad esperada del mercado y del BBV, se le denomina Linea Característica del BBV. La inclinación es de 1.5 y es el coeficiente de sensibilidad, la Beta, del BBV.

El significado es que en las alzas el BBV subirá 1.5 veces mas que el mercado, y en las bajas, bajara también 1.5 veces mas que el mercado.

Reflexión:

¿Que restricciones más importantes encuentra en el modelo?

 1) Formulación del Modelo

Sean las siguientes definiciones:

Mercado: Conjunto de todos los valores que cotizan en Bolsa.

Rentabilidad / Riesgo del valor s:

rs = rm +

Siendo:

rs = Rentabilidad valor s

rm = Rentabilidad del Mercado (Indice General Bolsa Madrid)

= Coeficiente Variabilidad del valor s

= Residuo



2) La Rentabilidad y Riesgo

La Rentabilidad se puede descomponer:

Rentabilidad Sistemática: rm. Depende rentabilidad del mercado

Rentabilidad no Sistemática: que depende del propio valor s

Rentabilidad media Sistemática = m

Rentabilidad media no Sistemática = , ya que = 0 por hipótesis del modelo.

La misma descomposición se puede hacer del Riesgo.

Riesgo Sistemático =

Riesgo no Sistemático = , ya que la desviación típica de  = 0.

La descomposición del Riesgo Total del valor s, se hace en términos de Varianza =

= +

Gráficamente:



El coeficiente de correlación, junto con el de variabilidad, ayuda a la descomposición del riesgo, ya que:

=

Esta expresión dice que el cuadrado del coeficiente de correlación mide la parte de la varianza del valor explicada por la varianza de la rentabilidad del mercado.



3) Formulación para n Valores

Una cartera de n valores supone que la rentabilidad de dicha cartera sigue muy de cerca la rentabilidad del mercado, de aquí que cuanto mayor sea el numero de valores, el coeficiente de correlación , aumenta. En segundo lugar, el riesgo sistemático de la cartera, que depende del mercado, será el resultado de multiplicar el riesgo de mercado por la  de la cartera:

Riesgo Sistemático de la Cartera =

donde:   =

siendo xs la proporción del precio de mercado de la cartera correspondiente al valor s. Lo que significa que el riesgo sistemático de una cartera es la media ponderada del riesgo sistemático de los valores que componen la cartera

Conclusión: 

En toda cartera, una parte del riesgo (medido por 2) es reflejo del riesgo total del mercado (riesgo sistemático). El resto es riesgo propio (riesgo no sistemático). A medida que aumenta la diversificación, aumenta  y aumenta la parte del riesgo explicado por el mercado. En una cartera perfectamente diversificada (2) todo el riesgo será riesgo de mercado.



Aumentando la diversificación puede reducirse el riesgo de la cartera, pero no eliminarse totalmente, ya que el riesgo sistemático no es diversificable.

Rentabilidad y Riesgo del titulo X

Rentabilidad mensual media:

m = 0.0113

x = 0.00216

Rentabilidad mensual anualizada:

Indice General = 0.0113 x 12 = 13.57%

Valor x = 0.0216 x 12 = 25.87%

Volatilidad mensual:

m = 0.0689

x = 0.0857

Volatilidad mensual anualizada:

Indice General: 0.0689 x = 23.89%

Valor x: 0.0857 x = 29.68%

Recta de Regresión (Valores anualizados):

= 11.82   x = 1.03573

2 = 0.6940

= 0.0476 x = 16.47%

Riesgo específico y sistemático (valores anualizados)

= +

29.6822 = 1.035322 x 23.8822 + 16.4722 = 24.7322 + 16.4722

883 = 612 + 271

  = 0.69 = 2

El riesgo total del valor x, en términos de varianza es del 69%, siendo el riesgo específico del 31%.

Gráficamente:



La recta de regresión estimada forma con el eje horizontal un ángulo de 46º, cuya tangente, igual a 1.0357, corresponde a la del valor x. La Rentabilidad anual media del Indice General es de 13.57% y la del valor x del 25.87%.



4) Regresión Valor x / Indice General

+

rx = 11.82 + 1.0357 x m +

rx = 11.82 + 1.0357 x 13.57 = 25.87



Sea la siguiente tabla de la Bolsa de Madrid periodo 1985 - 1996:

Regresiones con el Indice General de la Bolsa de Madrid 1985-1996

Rent. Media = rm = 13.57 Riesgo = 23.88%

Indice

a

Beta

Beta x R. Med.

Rent. Med.

Ries.

Total

Riesgo Sistemat.

Ries. Espec.

p2

Bancos

0.54

0.99

13.41

13.95

25.89

23.64

10.65

0.83

Electric.

6.25

0.75

10.17

16.42

24.63

17.91

16.98

0.53

Alimen.

-6.53

1.07

14.52

7.99

30.00

25.55

15.76

0.73

Constr.

-3.96

1.32

17.84

13.88

35.72

31.52

17.07

0.77

Invers.

3.13

0.70

9.47

12.60

26.51

16.72

20.69

0.40

Comun.

2.38

0.84

11.40

13.78

24.82

20.06

14.68

0.65

Metal.

-9.52

1.30

17.64

8.12

38.23

31.04

22.38

0.66

Quim.

-3.41

1.14

15.51

12.10

31.41

27.22

15.60

0.76

Varios

-16.72

1.28

17.35

0.63

35.89

30.57

18.93

0.72

B. Sant.

6.57

0.86

11.66

18.23

29.09

20.54

20.69

0.50

B. Pop.

11.82

1.04

14.05

25.87

29.68

24.84

16.47

0.69

Sevill.

6.62

0.80

10.92

17.54

29.85

19.10

22.93

0.41

Azuc.

8.87

0.88

11.98

20.85

39.93

21.01

34.04

0.28

Dragad.

-3.99

1.36

18.43

14.44

42.96

32.48

28.27

0.57

Uralit.

-15.41

1.87

25.41

10.00

54.08

44.66

30.50

0.68

Telefo.

6.34

0.85

11.51

17.85

26.67

20.30

17.41

0.58

Zardoy.

12.23

0.76

10.34

22.57

32.73

18.15

27.30

0.31

Sarrio

-18.04

1.55

21.04

3.00

51.60

37.01

36.07

0.52

La tabla anterior ha sido construida a partir de los índices mensuales de la Bolsa de Madrid y de las cotizaciones de los distintos títulos durante el periodo 1985 - 1996.

Para cada sector y valor se ha efectuado las mismas operaciones que en el caso del valor x, siendo a rentabilidad específica media; el coeficiente de variabilidad de la rentabilidad del valor respecto del índice general; es decir, su sensibilidad a las variaciones de la rentabilidad; m la rentabilidad sistemática media; es la suma de la rentabilidad especifica y la rentabilidad sistemática o rentabilidad media total; es la volatilidad anualizada que constituye una medida del riesgo total; m es el riesgo sistemático y el riesgo específico o diversificable. Las varianzas si son aditivas, no así las desviaciones estandard. Finalmente 2 expresa el tanto por uno de la varianza que se explica por la varianza del mercado.

La tabla esta construida a partir de la rentabilidad media del mercado (m), da la rentabilidad media de cada sector y de cada accion; pero si rm toma un valor distinto, por encima o por debajo de la media, es de esperar que la rentabilidad del índice o de las acciones variara en el mismo sentido. 

Por ejemplo, Sevillana, supongamos que r pase a ser 10%, la rentabilidad de Sevillana tendera a ser 6.62 + 0.80 x 10 = 14.62%. Se dice que tendera ya que es posible que el valor en la realidad adopte otro distinto; la diferencia entre el valor predicho por la ecuación y el valor real es precisamente el residuo que completa la ecuación. De acuerdo con la se observa la "cantidad" de riesgo sistemático que tiene cada índice y cada acción; así, por ejemplo, el sector de la construcción, con = 1.32, es el mayor riesgo sistemático tiene (m).

A partir del riesgo total, , y gracias a 2 nos damos cuenta de la proporción que tiene el riesgo sistemático dentro del riesgo total. Así el sector bancos es el que tiene mayor proporción de riesgo sistemático, y por lo tanto menor riesgo específico, si bien tiene menor riesgo total y sistemático que construcción. Entre las acciones, Zardoya, aunque tenga un fuerte riesgo total, la proporción de riesgo sistemático, en términos de varianza, es solamente del 31%. El mercado solamente remunera el riesgo sistemático, que no es diversificable, por lo que aquellos títulos que tienen mayor riesgo sistemático, suelen tener un mayor coste de capital.

Reflexión:

¿Realmente sirven las Betas para gestionar Carteras?

 

EL MODELO C.A.P.M.

Objetivo del C.A.P.M.:

1.- Determinar la rentabilidad de cada activo en función de su riesgo.

2.- Obtener un indicador adecuado de dicho riesgo.

El riesgo específico se puede eliminar por la diversificación, por lo que el mercado no lo remunera, por lo que solamente remunera el riesgo sistemático.



1) Hipótesis del C.A.P.M.:

 La Rentabilidad esperada de los activos estará relacionada con el riesgo sistemático.

Riesgo Sistemático valor i = i m

La expresa el riesgo sistemático de un valor respecto al riesgo del índice del mercado. Es el coeficiente de variabilidad de la rentabilidad del valor o de la cartera, respecto del riesgo del mercado, por lo que es un indicador del Riesgo Sistemático del valor o de la cartera.

Rentabilidad Activo sin Riesgo (Deuda Publica) = rf

Riesgo del Activo sin Riesgo = f = 0

Rentabilidad del Indice General = rm

Riesgo del Indice General = = 1.

La rentabilidad de un activo, r, tendrá un riesgo determinado, .

Todo inversor que invierte en el mercado asume un riesgo por el que percibe una prima, medida por la diferencia entre la rentabilidad del mercado o del valor y la rentabilidad sin riesgo.



2) Prima de Riesgo:

Del Mercado: rm - rf

Del Valor s: rs - rf

Un inversor espera obtener la prima de riesgo que desee, invirtiendo una parte de sus recursos en el mercado y el resto en renta fija sin riesgo.

Si disponemos de una unidad monetaria e invertimos x en el mercado, la inversión en renta fija sea 1-x. La Beta mixta de esta inversión será:

de la inversión = (x) . Beta Mercado (1) + (1-x). Beta Renta fija (0).

= x, es decir, la beta de la inversión es la parte invertida en el mercado.

Prima de Riesgo de la inversión:

(x).(Prima riesgo esperada en el mercado) + (1-x).(Prima esperada renta fija).

Es decir:

rs - rf = (x).(rm - rf) + (1-x). (0)

por lo que:

rs - rf = x.(rm - rf),

pero como x =

rs - rf = .(rm - rf) que es la formulacion del C.A.P.M.



3) Actuación del Inversor:

Si se coloca:

Todo en renta fija: x = 0, = 0, Prima de Riesgo = 0

Todo en Mercado: x = 1, = 1, Prima de Riesgo = Prima de Mercado.

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Partiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo capm y apt. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital iconEl modelo de análisis aplicado, conocido como “modelo animal multicarácter”,...

Partiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo capm y apt. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital iconHasta los griegos el saber en Biología era de carácter popular, exceptuando...




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