Partiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo capm y apt. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital




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títuloPartiremos, inicialmente de la Teoría de Markowitz donde introduciremos el concepto de Riesgo. Avanzaremos con el modelo de Sharpe, donde introduciremos la Beta, y finalizaremos con el modelo capm y apt. También comentaremos los Mercados Eficientes, Value at Risk y el Coste de Capital
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Dado que suponemos betas positivas, las lineas tienen pendiente positiva. So F = 0 , la linea pasa por el origen.

A continuación se va a analizar cuando las acciones siguen un modelo de un factor. Supongamos que X, es la proporción del titulo i en la cartera. Es decir, si un individuo tiene una cartera de 100 pesetas quiere invertir 20 en Telefónica, decimos que XTEL = 20%. Para N títulos resultara:

X1 + X2+X3 +...................XN = 1

la rentabilidad de la cartera será:

Rp= X1R1 + X2R2 +X3R3 +..................+ XNRN

Sustituyendo cada R, en la ecuación (1) resulta:

RP = X1(

La rentabilidad de la cartera se determina mediante tres conjuntos de parámetros:

Rentabilidad esperada del titulo individual,

La beta de cada titulo multiplicada por el factor F

El riesgo no sistemático de cada titulo individual i

Expresando la ecuación anterior en función de estos tres conjuntos de parámetros:

Promedio ponderado de las rentabilidades esperadas:

Rp = X1

Promedio ponderado de las Betas x F:

+ +

Promedio ponderado de los riesgos no sistemáticos:

+

La primera expresión es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada de cada titulo, los términos entre paréntesis de la segunda expresión representan el promedio ponderado de la beta de cada titulo. La tercera expresión representa el promedio ponderado de los riesgos no sistemáticos de los títulos individuales. La incertidumbre esta recogida a través del factor F.

Es decir, mientras sabemos que el valor esperado de F es cero, se desconoce cual será su valor durante un periodo de tiempo determinado. La incertidumbre se refleja en la tercera expresión mediante cada riesgo no sistemático, i



5) Carteras y Diversificación

En una cartera diversificada desaparece la tercera expresión ya que cada titulo tiene su riesgo sistemático, en el que la sorpresa de una accion no se relaciona con la otra. 

Invirtiendo una cantidad reducida en cada titulo, el promedio ponderado de los riesgos no sistemáticos se aproximara mucho a cero cuando la cartera esta compuesta por muchos títulos. La segunda expresión no desaparece porque el factor F no resulta afectado cuando se agregan títulos a la cartera. En la primera expresión ya que no existe incertidumbre, por muchos títulos que se añadan a la cartera nunca desaparecerá.

La clave de la desaparición de la tercera expresión es la existencia de muchos riesgos no sistemáticos. Dado que estos riesgos son independientes entre si, el efecto de la diversificación se agudiza conforme se suman activos a la cartera. La cartera es cada vez menos arriesgada y la rentabilidad mas segura.

El riesgo sistemático, F, afecta a todos los títulos ya que se encuentra fuera del paréntesis.



6) Ejemplo:

Sean los siguientes supuestos:

1.- Todos los títulos tienen la misma rentabilidad esperada del 10%. Esto supone que la primera expresión deberá ser igual a 10%, ya que la ecuación es un promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los títulos individuales.

2.- Todos los títulos tienen una beta de 1. la suma de los términos entre paréntesis de la segunda expresión es 1, ya que dichos términos son un promedio ponderado de las betas individuales. La expresión final será de 1XF= F

3.- Sea el inversor Sr Bolsa que decide tener una cartera igualmente ponderada. Es decir, la proporción de cada titulo de su cartera es de 1/N.

La rentabilidad de la cartera del Sr. Bolsa será:

Rp = 10% + F +

A medida que n tiende a infinito, la expresión correspondiente es cero. por lo que la rentabilidad de la cartera del Sr. Bolsa será:

Rp = 10% + F

Las conclusiones son las siguientes:

El riesgo sistemático comprendido por la variación del factor F no se reduce por la diversificación. El riesgo sistemático se reduce por la diversificación, desapareciendo cuando el numero de títulos es muy grande.



7) Beta y Rentabilidades Esperadas

El riesgo en las carteras grandes y bien diversificadas es el riesgo sistemático, ya que el no sistemático esta diversificado, por lo que cuando un inversionista bien diversificado considera cambiar su tendencia de una accion determinada, puede pasar por alto el riesgo no sistemático del titulo. Si los accionistas dejan a un lado el riesgo no sistemático, solo se puede relacionar el riesgo sistemático de una accion con su rentabilidad esperada.

Esta situación se pone de manifiesto es la figura siguiente:



Los puntos P, C, A y L se encuentran sobre la linea que emana de la tasa sin riesgo del 10%. Estos puntos se pueden crear mediante las combinaciones de la tasa sin riesgo y cualquiera de los otros tres activos. Por ejemplo, ya que A tiene una beta de 2 y P de 1, una cartera que consta de una inversión del 50% en el activo A y 50% a tasa sin riesgo tiene la misma beta que el activo P. La tasa sin riesgo es del 10% y la rentabilidad esperada del titulo A es del 35%, lo que implica que la rentabilidad de la combinación es del 22.5% (10 + 35)/2 y es idéntica a la rentabilidad esperada del titulo P. Un inversor añadiría una cantidad reducida del titulo P porque P tiene la misma beta y la misma rentabilidad esperada que una combinación del activo del activo sin riesgo y el titulo A. , ya que en una cartera grande el riesgo no sistemático es cero.

Las combinaciones potenciales de los puntos que se hallan sobre la linea del mercado de títulos son infinitas. Se puede duplicar P mediante las combinaciones de la tasa sin riesgo y C o L. Podemos duplicar C (A o L) solicitando prestamos a lasa sin riesgo para invertir en P. De la misma forma se puede usar la cantidad infinita de puntos de la linea del mercado de títulos que no estén clasificados.

Se al punto B. Ningún inversor tendrá ese titulo ya que su rentabilidad esperada se encuentra por debajo de la linea. El inversor preferirá P, una combinación de A y tasa sin riesgo o alguna ora combinación. Por lo tanto, el precio del titulo B es demasiado alto. Su precio caerá en el mercado, forzando a su rentabilidad esperada a volver a la linea en equilibrio.

La linea se construye uniendo la rentabilidad del activo sin riesgo, de beta = 0 y la rentabilidad esperada del activo que es , por lo que:

= Rf + (RF)



8) La Cartera de Mercado y el Factor Unico

En el C.A.P.M. la beta de un titulo mide la sensibilidad de este a los movimientos de la cartera de mercado. En el modelo de un factor el APT, la beta de un titulo mide su sensibilidad al factor. 

A continuación se va a relacionar la cartera del mercado con el factor único.



Una cartera diversificada no tiene riesgo no sistemático, ya que los riesgos de los títulos individuales están diversificados, por lo que la cartera no contiene riesgo no sistemático. Esto supone que la cartera de mercado se correlaciona de manera perfecta con el factor único, de aquí que la cartera es una versión a mayor o menor escala del factor, lo que supone que la cartera de mercado puede considerarse como el factor en si.

La cartera de mercado se sitúa sobre la linea de mercado del titulo y por definición su beta es igual a 1, por lo que la cartera de mercado y el factor se convierte en:

= RF +

Donde es la rentabilidad esperada del mercado. Esta ecuación demuestra que la rentabilidad esperada de cualquier activo se relaciona de manera lineal con la beta del titulo. La ecuación es idéntica a la del C.A.P.M. desarrollada anteriormente.



9) Modelo para la Valoración por Arbitraje

El C.A.P.M. y el A.P.T. son dos modelos alternativos del riesgo y la rentabilidad, que presentan una serie de diferencias pedagógicas y de aplicación.

Diferencias Pedagógicas

El C.A.P.M. supone el estudio de los conjuntos eficientes y tiene gran valor intuitivo. Este argumento no se logra tan fácilmente con el A.P.T.

Sin embargo, el A.P.T. tiene una ventaja, ya que suma factores hasta que el riesgo no sistemático de cualquier titulo no se correlacione con el riesgo no sistemático de todos los demás títulos. El riesgo no sistemático disminuye de forma constante conforme aumenta el numero de títulos de la cartera, pero los riesgos sistemáticos no disminuyen.

Diferencias de Aplicación

Una ventaja del A.P.T. es que puede manejar factores múltiples en tanto que el C.A.P.M. no los tiene en consideración. Esta situación supone que un modelo multifactor se aproxima mejor a la realidad. De acuerdo con esta versión multifactor del A.P.T., se puede expresar la relación entre el riesgo y la rentabilidad como:

= RF + (1 - RF)1 + (2 - RF)2 + ...... + (K - RF)K

1 representa la beta del titulo con respecto del primer factor, 2 representa la beta del titulo en relación al segundo factor y así sucesivamente. Por ejemplo, si el primer factor es el PNB, 1 es la beta del PNB del titulo. El termino1 es la rentabilidad esperada de un titulo (o cartera) cuya beta con respecto al primer factor es 1 y en relación con los demás factores es cero. Dado que el mercado compensa el riesgo, (1 - F) será positivo en el caso normal. Análogamente sucederá lo mismo con 2, 3, etc.

La ecuación indica que la rentabilidad esperada del titulo se relaciona con las betas del factor del mismo. Cada factor representa un riesgo que no se puede diversificar. Cuanto mas alta sea la beta de un titulo con respecto a un factor determinado, mas alto será el riesgo del titulo. En la ecuación, la rentabilidad esperada es la suma de la tasa sin riesgo mas la compensación por cada tipo de riesgo que el titulo representa.

Sea, por ejemplo, los factores siguientes: 

El crecimiento de la producción industrial (IP), el cambio de la inflación esperada (EI), la inflación no prevista (UP), el cambio no previsto anticipado de la prima de riesgo entre las obligaciones con riesgo y las obligaciones sin riesgo (URP), y el cambio no previsto de la diferencia entre la rentabilidad a largo plazo de los obligaciones del estado y las mismas a corto plazo (UBR).

La rentabilidad esperada de cualquier accion s de acuerdo con un estudio efectuado en Estados Unidos será:

s = 0.0041 + 0.0136IP - 0.0001 - 0.0006UP + 0.0072URP - - 0.0052UBR

Supongamos que una accion determinada tuviera las betas siguientes:

IP = 1.1; = 2; UP = 3; URP = 0.1; UBR = 1.6. La rentabilidad mensual esperada de ese titulo seria:

= 0.0041 + 0.0136x1.1 - 0.0001x2 - 0.0006x3 + 0.0072x0.1 - - 0.0052 x 1.6 = 0.095.

Suponiendo que una empresa no tiene deuda y que uno de sus proyectos tiene un riesgo equivalente al de la empresa, podemos usar este valor de 0.0095 (0.95%) como la tasa de descuento mensual del proyecto ( la tasa anual será: (1.0095)2 - 1 = 0.120
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