La evolución de la pedagogíA




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Habitualmente se responde de una manera un tanto simple al hablar de “aptitud” para las matemáticas. Pero si lo que acabamos de suponer en cuanto a las relaciones de esta forma de conocimiento con las estructuras operatorias fundamentales del pensamiento es exacto, la “aptitud” se confunde con la inteligencia misma, lo que no se considera el caso, o se relaciona no con las matemáticas como tales sino con la forma como se las enseña. Efectivamente, las estructuras operatorias de la inteligencia, aun siendo de naturaleza lógico-matemática, no son conscientes en tanto que estructuras en el espíritu de los niños: son estructuras de acciones u operaciones que ciertamente dirigen el razonamiento del sujeto, pero no constituyen un objeto de reflexión para él (lo mismo que se puede cantar sin estar obligado a construir una teoría del solfeo e incluso sin saber leer música). Por el contrario, la enseñanza de las matemáticas invita a los sujetos a una reflexión sobre las estructuras, pero lo hace por medio de un lenguaje técnico que implica un simbolismo muy particular y exige un grado más o menos alto de abstracción. La sedicente “aptitud para las matemáticas puede muy bien llevar a la comprensión de este lenguaje, en oposición a las estructuras que describe, o a la rapidez de abstracción en tanto que ella está ligada a un simbolismo tal y no en tanto que reflexión sobre estructuras por otra parte naturales. Además, puesto que en una disciplina deductivo todo se relaciona, el fracaso o la incomprensión sobre tal o cual eslabón entraña una dificultad creciente en la continuación de los encadenamientos, de tal forma que el alumno inadaptado en un punto no comprende ya la continuación y acaba por dudar cada vez más de si mismo: complejos efectivos, a menudo reforzados por el entorno, acaban por bloquear una iniciación que pudo ser completamente diferente.

En una palabra, el problema central de la enseñanza de las matemáticas consiste en ajustar recíprocamente las estructuras operatorias espontáneas propias de la inteligencia con el programa o los métodos relativos a los campos matemáticos enseñados. Este problema se ha modificado profundamente en las últimas décadas a causa de las transformaciones de las mismas matemáticas; mediante un proceso en apariencia paradójico pero psicológicamente natural y muy explicable, las estructuras más abstractas y más generales de las matemáticas contemporáneas se incorporan a las estructuras operatorias naturales de la inteligencia y del pensamiento mucho mejor de lo que lo hacían las estructuras particulares que constituían el armazón de las matemáticas clásicas y de la enseñanza.

En efecto, se sabe que después de los trabajos de la escuela Bourbaki (prolongación de una larga serie de esfuerzos orientados en el mismo sentido) las matemáticas hoy no aparecen ya como un conjunto de capítulos más o menos separados, sino como una vasta jerarquía de estructuras que se engendran unas a otras a partir de algunas estructuras madres” que se combinan entre ellas o se diferencian de distintas maneras. Estas estructuras elementales son tres: las estructuras algebraicas, caracterizadas por una reversibilidad en forma de inversión (T-T-1=O) y cuyo prototipo es el “grupo”, las estructuras de orden, cuya reversibilidad es una reciprocidad característica de los sistemas de relaciones y cuyo prototipo es la “red” y las estructuras topológicas que conducen a nociones de continuidad y vecindad (correspondencias biunívocas y bicontinuas, etc.).

Estas tres estructuras elementales corresponden bastante mejor a las estructuras operatorias fundamentales del pensamiento. Desde las “operaciones concretas”, de las que ya se ha tratado, se encuentran estructuras algebraicas en las agrupaciones lógicas de clases, estructuras de orden en las agrupaciones de relaciones, y estructuras topológicas en la geometría espontánea del niño (que es topológico mucho antes de alcanzar las formas proyectivas o la métrica euclídea, conforme al orden teórico y contrariamente al orden histórico de construcción de las nociones). Desde las operaciones “preposicionales” se encuentran estructuras operatorias de “grupos” y de “redes”, etc.

Inspirándose en las tendencias bourbakistas, la matemática moderna hace más hincapié en la teoría de los conjuntos y en los isomorfismos estructurados que en los compartimientos tradicionales; de aquí que se haya dibujado un movimiento que tiende a introducir en la enseñanza lo más pronto posible estas nociones. Tal tendencia está plenamente justificada porque precisamente las operaciones de reunión e inserción de conjuntos, la posición en correspondencia fuente de los isomorfismos, etc., son operaciones que la inteligencia construye y utiliza espontáneamente desde los 11-12 años (llegando en este nivel a la compleja estructura de los conjuntos de partes”, fuente de la combinatoria y de las “redes”).

La inteligencia elabora y utiliza estas estructuras sin tomar consciencia en una forma reflexiva, no como M. Jurdain, que escribía en prosa sin saberlo, sino, mejor aún, como cualquier adulto no especialista en lógica manipula aplicaciones, distinciones, etc., sin tener la menor idea de la forma en que la lógica simbólica o algebraica llega a poner esas operaciones en fórmulas abstractas y algebraicas. A pesar del progreso de principio realizado por el retorno a las raíces naturales de las estructuras operatorias, subsiste enteramente el problema pedagógico de encontrar los métodos más adecuados para pasar de estas estructuras naturales pero no reflexivas a la reflexión sobre tales estructuras y a su teorización.

Aquí reaparece el conflicto de que hablábamos al comienzo de este apartado entre la manipulación operatoria de las estructuras y el lenguaje simbólico, que pueda permitir expresarías. Las estructuras más generales de las matemáticas modernas son al mismo tiempo las más abstractas, mientras que las mismas estructuras sólo están representadas en el espíritu de los niños en forma de manipulaciones concretas, materiales o verbales. Por otra parte, el matemático no acostumbrado a la psicología puede temer en todo ejercicio concreto un obstáculo para la abstracción, mientras que el psicólogo está habituado a distinguir cuidadosamente la abstracción a partir de los objetos (origen de la experiencia física, extraño a la matemática) y la abstracción a partir de las acciones, origen de la deducción y de la abstracción matemáticas. No hay que creer, efectivamente, que una educación sana de la abstracción suponga un empleo prematuro del lenguaje y el simbolismo técnicos únicamente, ya que la abstracción matemática es de naturaleza operatoria y procede genéticamente por etapas continuas a partir de las operaciones más concretas. Tampoco hay que confundir lo concreto con la experiencia física, que extrae sus conocimientos de los objetos y no de las acciones mismas del sujeto, ni con las presentaciones intuitivas en el sentido de figurativas, ya que estas operaciones nacen de las acciones y no de configuraciones perceptivas o imaginadas.

Estos distintos malentendidos posibles muestran que si la introducción de las matemáticas modernas en los niveles más precoces constituye en principio un gran progreso desde el punto de vista psicopedagógico, las realizaciones pueden ser, según los casos, excelentes o discutibles de acuerdo con los procedimientos empleados. Debido a esto, la Conferencia internacional de Instrucción pública (Oficina Internacional de Educación y UNESCO), en su sesión de 1956, insertó en su Recomendación no. 43 (La enseñanza de las matemáticas en las escuelas secundarias) los artículos siguientes:

20. Interesa: a) conducir al alumno a formar las nociones y descubrir por sí mismo las relaciones y las propiedades matemáticas más que imponerle un pensamiento adulto ya hecho; b) asegurar la adquisición de las nociones y de los procesos operatorios antes de introducir el formalismo; c) no confiar al automatismo más que las operaciones asimiladas.

21. Es indispensable: a) hacer adquirir al alumno, en primer lugar, la experiencia de los entes y relaciones matemáticos e iniciarle después en el razonamiento deductivo; b) extender progresivamente la construcción deductiva de las matemáticas; c) enseñar a plantear los problemas, a buscar los datos, a aprovecharlos y a apreciar los resultados; d) dar preferencia a la investigación heurística de los problemas antes que a la exposición doctrinal de los teoremas...

22. Es necesario: a) estudiar los errores de los alumnos y ver en ellos un medio de conocer su pensamiento matemático; b) impulsar a la práctica del control personal y a la autocorrección; c) dar el sentido de la aproximación... ; d) dar prioridad a la reflexión y al razonamiento ... , etc.

La importancia, así subrayada, de la investigación personal del alumno es válida para todos los niveles. Un educador belga, Cuisenaire, ha introducido desde las primeras iniciaciones al cálculo un material concreto, en forma de regletas que llevan conjuntos de diversas unidades, conocido con el nombre de “números en colores”. La base es exactamente la que habían utilizado Audemars y Lafendel en la Maison des Petits de Ginebra, pero con una innovación que consiste en distinguir por sus respectivos colores las reglas de longitudes 1, 2, 3, etc. Tanto esta introducción de los colores como el principio mismo de la correspondencia de unidades espaciales y números pueden dar lugar a interpretaciones y aplicaciones considerablemente diferentes, a pesar de los esfuerzos de C. Gattegno para introducir una especie de inspección internacional (de la que cada uno puede pensar lo que quiera) del “método Cuisenalre”, pues de hecho no existe un método Cuisenaire unificado, sino una pluralidad de métodos que se escalonan de mejor a peor (y eso dicho sin disminuir en nada los méritos de Cuisenaire). Excelente cuando da lugar a manipulaciones activas y descubrimientos, realizados por el niño mismo en la línea de desarrollo operatorio espontáneo, puede dar lugar a la tentación de demostraciones hechas ante el niño únicamente por el adulto, lo que ciertamente facilita la comprensión con respecto a métodos más verbales o más estáticos, pero tiene el riesgo (y este riesgo aumenta con la presencia de los colores) de dar primacía a las configuraciones sobre las operaciones y, por tanto, a los aspectos figurativos del pensamiento (percepción, imitación e imágenes) sobre los aspectos operativos (aciones y operaciones). El riesgo se hace realidad, con todos los peligros que esto comporta, si la atención se carga primeramente sobre las relaciones de colores (precisamente por ello la Maison des Petits había renunciado a este auxiliar ambivalente), y si se cree ser fiel a las líneas directrices de la escuela activa cuando no se hace más que enseñar de manera intuitiva.

Actualmente se realizan una serie de investigaciones en Canadá, Gran Bretaña, Suiza, etc., sobre las ventajas e incovenientes de los distintos métodos utilizados bajo el nombre de Cuisenaire: uno de los procedimientos de análisis empleados consiste en comparar grupos de niños educados según los métodos habituales o con los números en colores, evaluando los niveles alcanzados por medio de nuestras diversas experiencias operatorias. A este respecto, parece que se asiste a un progreso parcial de desarrollo en el caso en que el método de los números en colores se utiliza de modo activo y operatorio y, desde luego, cuando los maestros denominan suficientemente los elementos de matemáticas modernas y de la psicología de las operaciones intelectuales.

Están en curso ensayos sistemáticos a niveles más elevados y hasta en el bachillerato (pero a partir de los orígenes mismos del cálculo y sin emplear los números en colores), principalmente en Neuchátel, bajo la dirección del matemático y pedagogo L. Pauli, para utilizar a título de ejercicios educativos los dispositivos experimentales que nosotros habíamos empleado con una finalidad psicológica, con el objetivo explícito de proporcionar una enseñanza de las estructuras de la matemática moderna partiendo de estructuras operatorias espontáneas. Un esfuerzo del mismo tipo, notable por su imaginación para inventar nuevos dispositivos estructurales, ha sido realizado por Dienes en Australia y en los numerosos países en que, ha vivido.

La formación del espíritu experimental y la Iniciación en las ciencias físicas y naturales

La sociedad contemporánea ha sido profundamente transformada (y el tiempo dirá si en su bien o para su destrucción) por los trabajos de los físicos, los químicos y los biólogos. No es menos cierto que la elite de los especialistas y los inventores constituye una fracción ínfima y heterogéneo del cuerpo social, en primer lugar porque sus investigaciones son muy mal comprendidas tanto en el sentido general como en su detalle técnico, y después porque la educación intelectual corriente y la instrucción pública se han encontrado inadaptadas de forma singular con respecto a las nuevas necesidades de formación y reclutamiento tanto en el plano técnico como en el terreno científico.

En efecto, la educación tradicional de algunos grandes países se ha ocupado absolutamente de las humanidades y las matemáticas, como si las dos cualidades dominantes del hombre racional fueran moverse a gusto en la historia y en la deducción formal. En cuanto a la práctica experimental era considerada como actividad menor, apta para las civilizaciones de filosofía empirista (a pesar de todo lo que se ha dicho sobre la inadecuación de tal filosofía a las condiciones auténticas de experimentación propiamente científica). Por otra parte, se creía haber proporcionado una formación experimental suficiente iniciando al alumno en los resultados de experiencias pasadas o dándole el espectáculo de experiencias de demostraciones hechas por el profesor, como si se aprendiese a nadar mirando a los bañistas desde los bancos del muelle. Es verdad que a menudo se han añadido laboratorios a las clases magistrales, pero repetir experiencias ya hechas queda muy alejado aún de una educación del espíritu de invención e incluso de una formación del espíritu de control o de verificación.

En consecuencia, si el objetivo de la educación intelectual es formar inteligencias más que poblar la memoria, y formar investigadores y no solamente eruditos, en este punto hay una carencia manifiesta de la enseñanza tradicional. Es verdad que la física ha nacido casi veinte largos siglos después que las matemáticas, precisamente por razones que explican también por qué una formación experimental es mucho más difícil de organizar que cursos de latín o matemáticas. Sin embargo, y ya se ha entrevisto más arriba, el niño adquiere espontáneamente entre los 11-12 y 14-15 años los instrumentos intelectuales necesarios para la experimentación propiamente dicha. Estos instrumentos son de dos clases. En primer lugar, instrumentos de pensamiento en forma de una combinatoria y de operaciones proposicionales que permiten oponer las implicaciones a las no implicaciones, las disyunciones no exclusivas a las exclusivas, las conjunciones a las incompatibilidades, etc. En segundo lugar, una conducta particular, posible mediante estas operaciones y que consiste en disociar los factores en hipótesis previas y en hacerlos variar experimentalmente uno a uno neutralizando los otros, o en combinarlos de distintas maneras.

A este respecto, dos ejemplos elementales mostrarán la diferencia de las reacciones espontáneas de los niños de 12-15 años y los de 7 a 10-11 años.

1) Después de haber mostrado un líquido coloreado de amarillo se presentan cuatro líquidos A-D incoloros e inodoros y un cuentagotas E y se pide reproducir el mismo color: los sujetos de 7-10 años los combinan de dos en dos y después mezclan todo sin llegar a conseguirlo, mientras que desde los 11-12 años proceden de dos en dos, de tres en tres y de cuatro en cuatro según todas las combinaciones posibles y descubren que el color supone la reunión de tres elementos; que un cuarto elemento es decolorante y que el quinto es neutro. 2) Se presentan cañas más o menos flexibles y se pide descubrir los factores en juego (longitud, delgadez, forma de la sección, materia de la caña) y probar su papel efectivo. Los sujetos de 11-12 años descubren ya más o menos estos factores pero mediante tanteos globales, correspondencias seriales, etc., y para demostrar por ejemplo el papel de la longitud les será necesario comparar una caña larga y delgada con una corta y gruesa “para que se vea mejor la diferencia. Los sujetos de 13-15 años, por el contrario, empiezan por un inventario de las hipótesis posibles y después estudian cada factor haciéndolo variar solo, sin modificar lo restante; por tanto, comprenden que una variación de dos o más factores a la vez no permite llegar a conclusión alguna (salvo para demostrar que para producir tal efecto particular, como en la experiencia 1, es necesario una combinación de dos o tres factores).
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