Ante un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspon-dientes a la materia. El examen se realiza extrayendo al azar 2 temas y dejando que el alumno escoja 1 de los Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados




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Ante un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspon-dientes a la materia. El examen se realiza extrayendo  al  azar 2 temas y dejando que el alumno escoja 1 de los 2. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.


1º tema       2º tema



Probabilidad de saberse los 2 temas:   A y A  Son sucesos dependientes

Probabilidad de saberse el 1º tema pero no el 2º: A y B Son sucesos dependientes.     



Probabilidad de no saberse el 1º tema pero si el 2º: B y A son sucesos dependientes.



La probabilidad total de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los         temas estudiados es:   P(A∩A) + P(A∩B) + P(B∩A)= 0’35 + 0’25 + 0’25 = 0’85

¿ Cuál es la probabilidad de obtener 4 reyes al extraer cinco cartas de una baraja de cuarenta cartas ?
El experimento no cambia si en lugar de coger las cartas de una vez, se extrajesen de una en una , sin reemplazamiento. Si se extraen las cartas de una en una, después de cada extracción podemos considerar que empezamos otro experimento distinto, aunque siga consistiendo en extraer una carta.

Pero cada vez habrá una carta menos. Y si en la primera hemos sacado un rey en la se-gunda hay una carta menos y un rey menos. Esto da pie a tratar el problema de la proba-bilidad condicionada
La probabilidad de que salga Rey en la primera es : P(R1 )4 / 40
La probabilidad de que salga Rey en la primera y en la segunda extracciones es :

P(R1 R2) = P(R1) · P ( R2 / R1)
Esta probabilidad P ( R2 / R1) es la probabilidad de que , habiendo aparecido Rey en la primera extracción aparezca también en la segunda : probabilidad de R2 condicionada a R1 que podemos aprovechar para expresarla :



Y así hasta la cuarta extracción. La probabilidad de tener 4 Reyes en cuatro extracciones es :

P(R1 R2 R3 R4) =
Ahora habrá que tener en cuenta que cualquier péntupla RRCRR cumple el problema
¿Cuántas hay ? Tantas como número de cuaternas RRRR multiplicado por 5 que es el número de posiciones que puede ocupar la carta 5ª ,no rey.
P( extraer 5 cartas y sacar a reyes) =


Dos expertos, E1 y E2, realizan peritaciones para una cierta compañía de seguros. La probabilidad de que una peritación haya sido realizada por E1 es 0.55 y por E2 es 0.45. Si una peritación ha sido realizada por E1, la probabilidad de que dé lugar al pago de una indemnización es de 0.98 y si ha sido realizada por E2, la probabilidad de que de lugar al pago de una indemnización es de 0.90. Un siniestro ha supuesto a la compañía el pago de una indemnización. Hallar la probabilidad de que la peritación haya sido realizada por E2.

Se tienen las siguientes probabilidades: P (E1) = 0,55 , P (E2) = 0,45.
P (indemnización si la inspección la hace E1) = P (Ind/E1) = 0,98

P (indemnización si la inspección la hace E2) = P (Ind/E2) = 0,90
Podemos confeccionar el diagrama de árbol:


Por la probabilidad total,
P (Ind)= P (E1) · P (Ind/E1) + P (E2) · P (Ind/E2) = 0,55· 0,98 + 0,45 · 0,90 = 0,944
Por Bayes:


El caballero De Meré planteó a Pascal, entre otros, el siguiente proble-ma : al jugar a la suma de puntos de dos dados observó que apostando a suma 6 solía perder y jugando a sumar 7 puntos solía ganar. Todo ello pa-ra un número grande de partidas. Y no se lo explicaba porque el numero 6 admite las sumas : 5+1 , 4+2 y 3+3 que son tres casos, y el número 7 admite también tres posibles sumas : 6+1 , 5+2 y 4+3 . Terminaba su cón-sulta mostrando su extrañeza al ser 3 los casos favorables en ambas apuestas. Se pide: 1º ) Hallar la probabilidad de sumar 6 puntos y la de sumar 7 al lanzar dos dados correctos. 2º ) Evaluar en términos de diferencia la "finura" del caballero De Merè al apreciar el distinto valor de esas dos probabilidades

Espacio muestral E1 x E2 producto cartesiano de E1 y E2 (de los pares de números obtenidos al lanzar dos dados)
[1, 1 ] [1, 2 ] [1, 3 ] [1, 4 ] [1, 5 ] [1, 6 ]

[2, 1 ] [2, 2 ] [2, 3 ] [2, 4 ] [2, 5 ] [2, 6 ]

[3, 1 ] [3, 2 ] [3, 3 ] [3, 4 ] [3, 5 ] [3, 6 ]

[4, 1 ] [4, 2 ] [4, 3 ] [4, 4 ] [4, 5 ] [4, 6 ]

[5, 1 ] [5, 2 ] [5, 3 ] [5, 4 ] [5, 5 ] [5, 6 ]

[6, 1 ] [6, 2 ] [6, 3 ] [6, 4 ] [6, 5 ] [6, 6 ]
El espacio muestral final es { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } que se obtiene sumando las puntuaciones de los dos dados.

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12
Los sucesos elementales "suma de puntos " no tienen la misma probabilidad
p(6) , pues hay 5 pares favorables que suman 6 dentro de los 36 casos posibles

p(7 ) para sumar 7 hay 6 favorables dentro de los 36 casos posibles
"Finura" del jugador caballero De Meré : en el fragor del juego fue suficientemente frío y analítico como para ir tomando nota mental de los resultados y apreciar la exigua dferencia :




En cierta ciudad el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar. Calcular: a) Si tiene cabellos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? . b) Si tiene los ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?


P (C) = 0 ´ 4 P (O) = 0 ´ 25 P (C ∩ O) = 0 ´ 15
P(C ∩ O) 0 ´ 15

  1. P (O/C) = ───────── = ───── = 0 ´ 375

P (C) 0 ´ 4
P (CC ∩ O) P (O) - P (O ∩ C) 0 ´ 25 - 0 ´ 15

b) P (CC /O) = ──────── = ──────────── = ───────── = 0 ´4

P (O) P (O) 0 ´ 25
c) P (OC ∩ CC ) = P (O U C)C = 1 – P (O U C) = 1 – [ P (O) + P (C) - P(O ∩ C) ]

= 1 – ( 0 ´ 25 + 0 ´ 4 - 0 ´ 15 ) = 0 ´ 5

En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran mezclados y a la venta 100 yogures de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur este caducado es 0,01 para la marca A; 0,02 para la marca B y 0,05 para la marca C. Un com-probador elige un yogur al azar.

a) Calcular la probabilidad de que un yogur este caducado.

b) Sabiendo que el yogur esta caducado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?. (PAU Septiembre 2007)

a) P(A) = 0,5; P(B) = 0,3; P(C) = 0,2; P(Cad/A) = 0,01; P(Cad/B) = 0,02 y

P(Cad/C) = 0,03
Construimos un diagrama de árbol:


Por el teorema de la probabilidad total:
P(Cad) = P(A) · P(Cad/A) + P(B) · P(Cad/B) + P(C) · P(Cad/C) = 0,5 · 0,01 + 0,3 · 0,02 +
0,2 · 0,03 = 0,017

b) Por el teorema de Bayes:


En una carrera ciclista participan cuatro corredores españoles y tres franceses. Hallar la probabilidad de que : 1º ) Los cuatro primeros sean españoles; 2º ) Los dos primeros sean españoles y el tercero francés
Por la probabilidad compuesta y la probabilidad condicionada
Aplicamos la fórmula que nos da la probabilidad de que se den los sucesos A1 y A2 mediante el producto de la probabilidad de p(A1) y la probabilidad de A2 condicionada a que antes se haya dado A1 . La fórmula es P(A1 A2) = P(A1)· P ( A2 / A1 )
Representaremos por Ei el suceso de que un corredor español llega en el puesto i -ésimo
Si pasamos a tres y luego a cuatro sucesos


P(E1) = 4 / 7, P ( E2 / E1 ) = 3 / 6 , P(E3 / E1 E2 ) = 2 / 5, P( E4 / E1 E2 E3 ) = 1 / 4
Con lo que P(E1 E2 E3 E4 )4 / 7 · 3 / 6 · 2 / 5 · 1 / 4 = 1 / 35
Análogamente, si F3 significa que el tercer corredor es francés , tendremos que
P(E1 E2 F3 ) = P(E1 E2 ) · P ( F3 / (E1 E2 ) = 4 / 7 · 3 / 6 · 3 / 5 = 6 / 35


En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos depor-tes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol .¿Cuál es la probabi-lidad de que, escogido al azar un alumno de la clase : a) juegue solo al fútbol. b) juegue solo al baloncesto. c) practique uno solo de los deportes. d) no juegue ni al fútbol no al baloncesto.
P (FB) = 0’6 P (FB) = 0’1 P () = 0’6
a) P (solo F) = P() = P (F) – P (FB) = [1 – P ()] – P (FB) = (1– 0’6) – 0’1 =
0’4 – 0’1 = 0’3


b) P (solo B) = P() = P (B) – P (FB) = P(B) – [ - P (FB) + P(B) + P (F) ] =
P (FB) - P (F) = 0’6 – 0’4 = 0’2


c) P (solo F o solo B) = P (FB) – P (FB) = 0’6 – 0’1 = 0’5


d) P (ni F ni B) = P( ) = 1 – P (FB) = 1 – 0’6 = 0’4



En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habitantes censados vote al partido A es 0´4; la probabilidad de que vote al partido B es 0´35 y la probabilidad de que vote al partido C es 0´25. Por otro lado, las proba-bilidades de que un votante de cada partido lea diariamente algún perió-dico son, respectivamente, 0´4; 0´4; y 0´6. Se elige una persona de la ciu-dad al azar: a) Calcúlese la probabilidad de que lea algún periódico.

b) Si la persona elegida lee algún periódico, ¿Cuál es la probabilidad de que sea votante del partido B?


(a) P (L) = P(A) . P () + P (B) . P () + P (C) . P ()
P (L) = 0´4. 0´4 + 0´35 . 0´4 + 0´25 + 0.6 = 0´16 + 0´14 + 0´15 = 0´45

(b) Aplicando Bayes P ( ) = = = = 0´31
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