Solución Los datos son:; por lo tanto




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títuloSolución Los datos son:; por lo tanto
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Ing. Hernán Trujillo Avila Estimación de la media de una población



1.2 ESTIMACIÓN DE INTERVALOS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN

Ejemplo1. La vida media de duración para una muestra de 100 ampolletas de cierta marca es de 4000 horas. Si se supone que la duración de las ampolletas tiene una distribución normal con desviación estándar (poblacional) de 200 horas, estime la duración media de las ampolletas de esa marca con un intervalo de 95% de confianza.

Solución

Los datos son: ; por lo tanto

Límite inferior:

Límite superior:

Comentario

Un intervalo de 95% de confianza, significa que de 100 muestras que se tomen de la población y se construyan los respectivos 100 intervalos, se tendrá que, en 95% de ellos el verdadero valor del parámetro se encuentra efectivamente en ese intervalo.

1.2.1.Uso de Software
Utilizaremos MINITAB para resolver el ejemplo anterior

Ejemplo 1
MINITAB

Usamos StatBasic Statistics-1-Sample z






Damos OK.

Se obtiene:

N Mean SE Mean 95% CI

100 4000.00 20.00 (3960.80, 4039.20)


Ejercicios para Resolver en clase

1.2 Estimación de Intervalos ( Para la Media de Una Población).
1. En un esfuerzo por mejorar su horario de citas, un psicólogo estima el tiempo promedio que dedica a cada paciente. Una muestra aleatoria de 49 pacientes seleccionada en un periodo de tres semanas, proporcionó una media de 30 minutos y una desviación estándar de7.
a. Establezca un intervalo de confianza 98 °/o para el tiempo promedio verdadero que el psicólogo dedica a cada paciente:

b.¿Cuál es el error máximo probable relacionado con la estimación del inciso a.

2. El departamento de policía y tránsito llevó a cabo un estudio sobre la velocidad a que conducen los automovilistas en una autopista durante las primeras horas de la mañana (2a.m. a 4 a.m.) en un tramo de ésta. Durante el tiempo de estudio, en el radar se detectó que 100 automóviles tuvieron un promedio de velocidad de 70 millas por hora con una desviación estándar de 15 millas por hora.

a. Estime la media verdadera (estimación de punto) de la población.

b. Describa la población.
c. Establezca un intervalo de confianza de 98% para la media de la población.

d.¿Cuál es el error máximo asociado al intervalo calculado en el inciso a?.

3. Una muestra aleatoria de 100 cuentas de cheques de una sucursal bancaria, presentó un saldo promedio diario de $ 140.00 y una desviación estándar de $30.00

a. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la media verdadera
b. Establezca un intervalo de confianza de 99% para la media verdadera.

c. ¿Qué se puede comentar con respecto al 95% de confianza acerca del tamaño
máximo de error en la estimación del inciso a?


4. Vuelva a resolver el ejercicio 3, pero ahora utilizando un tamaño muestral de 25, una media de $ 140.00 y una desviación estándar de $ 30.00, para un intervalo
de confianza del 95%. Suponga que se está muestreando a partir de una población normal y explique por qué es necesario hacer este supuesto.
5.Una compañía emplea 200 agentes de ventas. En una muestra aleatoria de 25 cuentas de gastos de representación en una semana de diciembre, los auditores encontraron un gasto promedio de $ 220.00, con una desviación estándar de $ 20.00.
a.¿Cuál es la estimación de punto para la cantidad promedio?

b. ¿Cuál es la estimación de punto para el total de los 200 agentes de ventas?.
c. Establezca un intervalo de confianza de 99% para la cantidad promedio.
6. A 100 alumnos de una preparatoria se les pidió que llevaran un registro de gastos de alimentación durante una semana. En la preparatoria hay 500 estudiantes. El resultado fue un gasto promedio de $ 40.00 y una desviación estándar de $ 10.00.
a. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la media verdadera.

b. ¿Cuán importante es una muestra aleatoria en este ejemplo?

7. Utilice Minitab para compara los resultados obtenidos anteriormente

Solución al Ejercicio:

TAREA 1.2

ESTIMACION DE LA MEDIA DE UNA POBLACION



  1. Calcule los siguientes intervalos de confianza de 95% para cada uno de los siguientes valores:







Media de la muestra



Tamaño de la muestra

a)

16

2

16

b)

37.5

3

36

c)

2.1

0.5

25

d)

0.6

0.1

100

R.16±0.98

  1. Una muestra aleatoria de 85 lideres de grupo, supervisores y personal similar en Amana reviso que, en promedio, una persona ha pasado 6.5 años en Amana antes de obtener la promoción. La desviación estándar de la muestra es de 1.7 años. Construye un intervalo de confianza de 95%.

R.6.5±0.36


  1. Un estudio de 50 estaciones de gasolina de autoservicio en el área de Cincinnati Ohio, reveló que el precio medio del combustible sin plomo fue de 1.179 dólares por galón(3.875 litros), con una desviación estándar de $ 0.03 por galón. Determine un intervalo de confianza de 99%, para el precio medio de galón de gasolina de la población.

R.1.179±0.0109
4. Rocas inusuales en “Las siete islas” situadas en la parte baja del río San Lorenzo en Cánada han estado atrayendo a los geólogos a ésta área durante más de un siglo. Hace poco se completó un importante reconocimiento geológico de “Las siete islas” con el propósito de crear un modelo tridimensional de la gravedad del área ( Canadian Journal of Earth Sciences, vol.27,1990). Una de las claves para elaborar un modelo objetivo es obtener una estimación exacta de la densidad de las rocas. Con base en muestras de diversas variedades de rocas, se obtuvo la siguiente información sobre densidad de las rocas (en gramos por centímetro cúbico):

Tipo de roca

Tamaño de la muestra

Densidad media

Desviación estándar

Gabbro tardío

36

3.04

.13

Gabbro masivo

148

2.83

.11

Cumberlandita

135

3.05

.31

Fuente:Loncarevic,B.D.,Feninger,T y Lefebvre,D.”The Sep-Illes layered mafic intrusionGeophisical expression”,


  1. Para cada tipo de roca, estime la densidad media con un intervalo de confianza de 90 por ciento.

  2. Interprete los intervalos del inciso a.



5. En Enviromental Science & Technology (diciembre de 1985) se informó de una evaluación de la química y el reciclaje de metales traza en un lago ácido de los Adirondack. Se tomaron 24 muestras de agua del Lago Darts, Nueva York, y se analizaron para determinar la concentración de particulados tanto de plomo como de aluminio.


  1. Las mediciones de concentración de plomo tuvieron una media de 9.9 nmol/l. Calcule un intervalo de confianza de 99% para la verdadera concentración media de plomo en las muestras de agua tomadas del Lago Darts.

  2. Las mediciones de concentración de aluminio tuvieron una media de 6.7 nmol/l y una desviación estándar e 10.8 nmol/l. Calcule un intervalo de confianza de 99% para la verdadera concentración media de aluminio en las muestras de agua tomadas del Lago Darts

  3. ¿ Qué supuestos son necesarios para que los intervalos de los incisos a y b sean válidos?


6. Según un estudio , “ la mayoría de las personas que mueren a causa del fuego y el humo en edificios divididos en compartimientos resistentes a los incendios –el tipo que se utiliza para hoteles, moteles, apartamentos e instalaciones de salubridad – mueren al intentar evacuar” ( Risk Management, febrero de 1986). Los datos que siguen representan los números de víctimas que intentaron evacuar, para una muestra de 14 incendios recientes en edificios resistentes al fuego. Divididos en compartimientos, informados en el estudio.


Incendio

Murieron en intento de evacuación

Las Vegas Hilton ( Las Vegas)

5

Inn on the park ( Toronto)

5

Westchase Hilton(Houston)

8

Holiday Inn (Cambridge, Ohio)

10

Conrad Hilton (Chicago)

4

Providence College (Providence)

8

Baptist Towers (Atlanta)

7

Howard Johnson ( New Orleans)

5

Cornell University (Ithaca, new York)

9

Wesport Central Apartments ( Kansas City, Miss)

4

Orrington Hotel (Evanston,Illinois)

0

Hartford Hospital ( Hartford, Connecticut)

16

Milford Plaza ( New York)

0

MGM Grand ( Las Vegas)

36

Fuente: Macdonald ,J.N.,”Is evacuation a fatal flaw in fire fighting philosophy?”,Risk Management, vol 33, num 2, febrero de 1986, pag.37


  1. Encuentre la media y la desviación estándar para esta muestra

  2. Utilice esta información para construir un intervalo de confianza de 98% para el verdadero número de víctimas por incendio que mueren al tratar de evacuar edificios resistentes al fuego divididos en compartimentos.

  3. Interprete el intervalo construido en el inciso b.


7. El Journal of the American Medical Association ( 21 Abril de 1993) informó de los resultados de una encuesta de entrevistas sobre salud a nivel nacional en Estados Unidos diseñada para determinar la frecuencia del hábito de fumar entre adultos de ese país. Más de 40,000 adultos respondieron a preguntas como: “¿Ha fumado por lo menos 100 cigarrillos en su vida? ” y “ ¿ Fuma cigarrillos ahora?”. A los fumadores actuales (más de 11,000 adultos en la encuesta) también se les preguntó: “ En promedio ¿Cuántos cigarrillos fuma al día? “ .Los resultados arrojaron una media de 20.0 cigarrillos por día con un intervalo de confianza de 95% de ( 19.7, 20.3).
a. Interprete el intervalo de confianza de 95%





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