N el siglo XX, la probabilidad y la estadística fueron dos de las ramas de las matemáticas con mayor desarrollo y aplicaciones. Sus métodos se utilizan en la




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Cifras significativas



El concepto de exactitud está relacionado con la medición e implica un uso técnico. Las medidas expresadas con cifras decimales son muy comunes en la ciencia, ya que permiten aproximarse a la medida exacta que se desea conocer. Por ejemplo, al medir el largo de una mesa con una regla, se registra una magnitud de 93.76 cm (véase la figura 1.4); este número se aproxima a la medida real.
Las cifras 9,3 y 7 son exactas porque no hay incertidumbre al respecto. Se manifiestan por la medición directa. La otra cifra podría ser 5 o 7, el mismo 6, pues este dígito sólo representa una aproximación a la medida real. Sin embargo, todas estas cifras se consideran significativas. Estudia los siguientes ejemplos.fig1_4


Figura 1.4 Cifras exactas y aproximadas al medir el largo de una mesa directamente




Ejemplo 1.7


En un laboratorio de química se mide el contenido de hidroxilo de sodio, NaOH, en una solución acuosa. Una vez realizada la medición, se escribe el resultado: 209.3485 gr. En este caso las cifras 2, 0, 9, 3, 4 y 8 son exactas. El 5 es incierto, al igual que en el caso anterior es una aproximación a la medida real. Nuevamente, el instrumento de medición permite establecer esta medida no a causa de que sea inexacto, sino a que posee gran precisión, hasta 0.0001 g.

Ejemplo 1.8


Se registraron cuatro tiempos que tardó un velocista en recorrer 100 metros; una de las lecturas que se obtuvieron fue 10.0 segundos, donde el 0 de los 10 segundos es exacto. En cambio, si se tuviera 9.807 segundos, el 7 no necesariamente es exacto, pero sí es significativo. Por tanto, es aproximado.

Ejemplo 1.9


Este caso permitirá mostrar la importancia de los ceros para entender lo referente a las cifras significativas. En un laboratorio se mide el peso de una disolución de adrenalina con un carbonato y se obtiene 0.0003400 g. En este caso las cifras significativas son el 3, el 4 y los dos ceros a la derecha del 4. Los ceros a la izquierda del 3 no son significativos porque no añaden cantidad alguna a la medición.
Observa que la cantidad 10 mililitros de agua pesada puede expresarse como 0.010 litros. Es obvio que el cero entre el punto decimal y el 1 no representa cantidad alguna. Los ceros como últimas cifras de una lectura física son importantes en la significación de la medida.

Cifras significativas de una medición: Son todas las cifras exactas y la última a la derecha de una cantidad que se considera aproximada.

No obstante, las lecturas o registros aproximados que se hacen en las mediciones tienen una variación de error relativo, que se puede calcular y determinar.

Error relativo

Un trozo de papel se pesa en una balanza cuya precisión es de 0.01 g. – esto es, una centésima de gramo, no más -, por lo que el peso del papel es de 8.54 0.01 g, donde 0.01 g indica con cuanta precisión se realiza la medida, lo cual, relacionado con el último digito del peso anunciado, o sea el 4, indica que se tiene una incertidumbre de al menos una unidad. Así, el 8 y el 5 son cifras exactas y significativas, en tanto que el 4, aunque incierto, es significativo. De esta forma la notación anterior indica que existe un error relativo en la medición, en el cual se calcula en porcentaje como sigue, usando la fórmula


Así pues, tomando los datos del ejemplo:


    • Error absoluto: 0.01 g

    • Medida: 8.54 g

    • Error relativo: x


Se tiene que el error relativo de la medida anterior es

Actividades de aprendizaje


En equipos de cuatro integrantes, lean el enunciado del siguiente ejercicio y resuelvan los cuestionamientos que se les plantean. Posteriormente intercambien y revisen sus respuestas con los demás compañeros del grupo.
1 Estaturas de Alumnas y cifras significativas
Se tiene interés en conocer las estaturas de las 48 alumnas de los grupos de 1º A y 1º B de la carrera de técnico laboratorista clínico en el CBTis 168. Para ello se utiliza un instrumento que permite medir con exactitud hasta milímetros. Las mujeres no usan zapatos cuando se les mide. Se obtienen los resultados anotados en la siguiente tabla. Las estaturas se obtienen en centímetros.
Tabla 1.2 Estaturas en centímetros de las alumnas de los grupos 1º A y 1º B. Datos ordenados del menor al mayor por columnas.


150.91

154.32

156.59

157.97

159.19

159.71

160.38

161.69

152.60

154.44

156.75

158.14

159.32

159.76

160.72

162.24

153.50

155.44

156.75

158.53

159.43

159.82

161.28

162.81

153.66

155.45

157.62

158.90

159.45

159.84

161.44

162.83

154.06

155.67

157.67

158.95

159.66

159.91

161.51

162.92

154.30

156.55

157.73

159.09

159.67

160.21

161.52

167.62



a ¿Cuál es la variable que se observa?
b ¿Cuántas cifras significativas tiene cada medida? ¿Por qué? Explica.
c Si se suman todas las medidas, ¿cuántas cifras significativas tendrá el resultado? ¿Por qué?

Notación sistematizada


Al trabajar con mediciones, debe saberse que existen reglas de escritura para los números que representan medidas de magnitudes. Dichas magnitudes tienen tanto una representación simbólica convencional y sistematizada así como implicaciones en el cálculo o medición indirecta.
El adjetivo convencional quiere decir que la representación es aceptada generalmente por quienes usan esos números. Por lo que la escritura aceptada de las medidas se puede resumir en varias reglas.


Reglas para determinar y escribir las cifras significativas de una medición




  1. Todas las cifras diferentes de cero son significativas: 93.78, 544.125

  2. Los ceros entre cifras diferentes de cero son significativos: 205.3485, 0.10005.

  3. Un número entero que termina en ceros implica que no se sabe si el cero o los ceros son significativos (10, 13700), a menos que se especifique (10.0, 54.20).

  4. Los ceros en una cantidad menor que 1, entre un punto decimal y una cifra diferente de cero, no son significativos: 0.0003400, 0.098

  5. Los ceros a la derecha de una cifra diferente de cero que esté después del punto decimal son significativos: 0.0003400.


La notación exponencial permite evitar ambigüedades respecto a los ceros en que termina una medida. Considera los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.10


La masa del Sol se estima en 2.0 x 10 30 kg. Sólo hay dos cifras significativas: 2 y 0.

Ejemplo 1.11


La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es 12.0763 x 10 5 km. Existen seis cifras significativas en esta cantidad: 1, 2, 0, 7, 6 y 3.

Ejemplo 1.12


La velocidad en carrera de un ácaro del trébol es de 8.5 x 10 –1 cm/s. Las cifras significativas son el 8 y el 5.

Operaciones con medidas aproximadas


Dado que se obtienen medidas no sólo para compararlas directamente (ordenarlas) si no para efectuar operaciones con ellas al hacer mediciones indirectas, es necesario seguir normas.

Adición y sustracción de medidas aproximadas


El resultado de una adición o de una sustracción de medidas aproximadas tendrá tantas cifras decimales como la medida que menos tenga, por lo que frecuentemente habrá que redondear. Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.13


12 + 6.4 = 18 (el signo = se le “aproximadamente igual a”).

Ejemplo 1.14


12 + 6.7 = 19
En los dos casos anteriores se anotan los resultados sin decimales porque 12 no tiene decimales.

Ejemplo 1.15


18.095 + 12.3 = 30.395, pero se redondea a 30.4 porque 12.3 sólo tiene una cifra decimal.

Ejemplo 1.16


100.003 – 0.050 = 99.953, aunque 100.003 tenga seis cifras significativas y 0.050 dos.

Ejemplo 1.17


30.145 - 12.16 = 17.985, que se redondea a 17.99.

Multiplicación y división


Al multiplicar o dividir dos medidas aproximadas, el resultado tendrá tantas cifras significativas como haya en aquella medida que tenga menos. Analiza los siguientes ejemplos y responde las preguntas que se te plantean.

Ejemplo 1.18


5.4 x 6.5 = 35. ¿Por qué?

Ejemplo 1.19


12.16 m x 4.1 m x 0.50 m = 24.928 m3, pero se redondea a 25 m3. ¿Por qué?

Ejemplo 1.20


= 1191.66666... Pero se escribe 1.1 x 10 3. Porque 0.012 tiene sólo dos cifras significativas.

Ejemplo 1.21


= 0.0409. ¿Por qué?

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