N el siglo XX, la probabilidad y la estadística fueron dos de las ramas de las matemáticas con mayor desarrollo y aplicaciones. Sus métodos se utilizan en la




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Actividades de aprendizaje



En equipos de cuatro integrantes, lean y analicen los siguientes ejemplos y contesten lo que se pide. Aclara tus dudas con tu profesor(a).
1 Definición de una población


  1. Definan la población estudiada en el ejemplo 1.22 con un menor grado de generalidad, identificando las nuevas características o factores implicados.

  2. Den una nueva definición de la población anterior pero ahora con mayor grado de generalidad.


2 Diámetro de válvulas
La empresa Margolius desde el año 1980 produce válvulas de cobre circulares para el drenaje de calentadores de agua. Produce alrededor de 100 mil válvulas al año. Esas válvulas se producen en una línea automática que procesa tubos de cobre doblándolos y enroscándolos. Las especificaciones indican que el diámetro debe ser de 2.54 cm  0.02 cm. Las válvulas que no cumplen con la especificación se desperdician. Para verificar la calidad de las válvulas, se toman 10 válvulas cada media hora, se mide el diámetro y se observa la rosca. En un día de producción se toman 140 datos de la variable “diámetro de la válvula” en cm, como se muestran en la siguiente tabla.
Diámetro de válvulas para drenaje. Catorce muestras de tamaño 10 (12 de mayo de 2007)

Datos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2.567

2.566

2.566

2.544

2.574

2.574

2.513

2.552

5.549

2.567

2.542

2.540

2.559

2.532

2.503

2.541

2.541

2.552

2.531

2.531

2.499

2.565

2.543

2.552

2.520

2.531

2.544

2.527

2.549

2.540

2.540

2.561

2.552

2.552

2.540

2.541

2.513

2.525

2.536

2.550

2.507

2.554

2.520

2.553

2.553

2.522

2.555

2.555

2.537

2.579

2.524

2.538

2.536

2.516

2.556

2.545

2.548

2.538

2.538

2.546

2.534

2.534

2.576

2.587

2.530

2.538

2.554

2.570

2.530

2.529

2.529

2.561

2.561

2.547

2.548

2.548

2.535

2.548

2.569

2.520

2.529

2.580

2.551

2.567

2.527

2.523

2.523

2.532

2.527

2.527

2.507

2.525

2.537

2.526

2.555

2.523

2.558

2.505

2.545

2.513

2.513

2.562

2.513

2.513

2.550

2.556

2.576

2.548

2.552

2.571

2.516

2.557

2.593

2.557

2.557

2.536

2.530

2.530

2.583

2.539

2.550

2.535

2.536

2.546

2.550

2.485

2.557

2.531

2.531

2.554

2.561

2.561

2.567

2.509

2.552

2.538

2.564

2.533

2.541

2.549




  1. ¿Cuántas mediciones se hicieron en el día?

  2. El total de observaciones hechas ese día, ¿es una población? ¿Por qué?

  3. ¿Podría medirse en un momento dado toda la población? ¿Por qué?

  4. Definan la población bajo estudio en dos versiones: la versión dada en el enunciado y una versión con menor grado de generalidad.

  5. ¿De qué tamaño puede considerarse la población? ¿Finita o infinita? ¿Por qué?

  6. ¿Cuáles dimensiones del diámetro de la válvula hacen que ésta se desperdicie?

  7. ¿Qué porcentaje de las válvulas resultó defectuosa en la porción de mediciones tomada para el estudio?


3 Maestros albañiles
Una compañía constructora paga por destajo el pegado de ladrillos. La constructora contra 12 maestros que pegan ladrillo para construir una biblioteca. Al final de la obra, que duró 20 días, calculan las ganancias en pesos por maestro. Analicen la siguiente tabla para estimar el precio de la obra total.
Ganancias en pesos de los 12 maestros albañiles

Maestro Albañil

Art

Ben

Car

Dav

Ern

Fer

Gil

Hum

Ign

Jos

Kri

Lui

8500

7900

9900

8700

7900

8300

10700

9200

8600

8500

8200

9900




  1. ¿Cuál es la variable que se observa?

  2. ¿En qué escala se mide esa variable?

  3. ¿Cuál es la población que se estudia? Defínanla.

  4. ¿De qué tamaño es la población? ¿Es finita o infinita’ ¿Por qué?

  5. ¿Cuánto ganaron en total los maestros albañiles?

  6. ¿Quién puede decirse que es el albañil más eficiente? ¿Por qué?


En estas actividades has tenido que considerar la definición y elementos de una población o un universo en algunos contextos. Ahora bien, imagina que el investigador de la empresa Margolius (Actividad 2) decidiera medir cada una de las 100 000 válvulas que se producen al año para verificar la calidad. ¿Qué sucedería? ¿Qué fue lo que hizo el investigador?

En la siguiente sección se estudia ese caso.
Muestra


La muestra y los datos numéricos que de ella se obtienen son los elementos fundamentales en la estadística inferencial. De la muestra se obtienen conclusiones acerca de la población. En el caso de la empresa Margolius de la actividad 2 anterior, el investigador tomó una parte de las mediciones posibles de la población porque le sería imposible medirlas todas. Se dice que tomó una muestra. Esto es, los investigadores generalmente no miden a toda la población porque es imposible o muy costoso.
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Muestra: Es una porción de medidas o conteos tomados de una población.

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En una situación estadística, generalmente se sigue la pista del comportamiento de la variabilidad de las mediciones de una o varias características de interés en una población utilizando unos pocos datos contenidos en una muestra. Por diversas razones, sean éstas de economía, por necesidades de tiempo o porque la población es infinita, no se miden o cuentan las características de interés de todos los individuos u objetos de una población. En lugar de esto, se toman algunos elementos de ella y se conforma una muestra.
Ya que las mediciones en una muestra provienen de individuos u objetos, a éstos se les designa como elementos de muestreo.
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Elemento de la muestra o elemento de muestreo: Es una unidad en la muestra de la que se obtienen una o varias mediciones.

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Como de la muestra se obtienen los datos que nos llevan a las conclusiones acerca del comportamiento de una población, es muy importante obtener una muestra representativa para que las conclusiones sean confiables.
En una investigación son muchos los factores que pueden afectar una conclusión; entre ellos están los instrumentos de medida, las cifras significativas usadas, las variables o componentes no incluidas en la definición de una población, las causas no controladas, el tipo de datos usados y la forma en que se toma la muestra, entre otros. Así que debe cuidarse cada uno de estos factores para producir, con una probabilidad considerable, una muestra que se confíe que puede representar a la población. Una manera de lograrlo es tomar la muestra y cada una de las mediciones o conteos de individuos u objetos seleccionados al azar, o sea, elegidos sin predilección y, por ejemplo, con igual probabilidad.
Para lograr una selección al azar o aleatoria, se utilizan tablas de números aleatorios o bien mecanismos de azar, como papeletas numeradas con los elementos de una población que se toman a la suerte o utilizando computadoras. Sin este procedimiento no se puede suponer que una muestra sea aleatoria.
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Muestra aleatoria: Es aquella en la cual cada medición o conteo tiene igual probabilidad de ser tomada dentro de la población.

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Ejemplifiquemos lo anterior con el siguiente caso.

Ejemplo 1.23


Se pretende conocer la proporción de personas adultas mayores de 30 años que viven en la ciudad de Chihuahua, las cuales muestren síntomas de hipertensión arterial pero declaren que no lo saben si la tienen (aproximadamente unas 400 mil), a fin de acercarse a la magnitud probable de las enfermedades asociadas. Se obtuvieron primero los datos de una muestra piloto al azar de 100 personas, a las que se les midió la tensión diastólica. Una tensión mayor de 90 mm Hg indica que es probable la presencia de hipertensión. Los resultados aparecen en la tabla 1.10.
Tabla 1.10 Tensión diastólica en mm Hg de 100 adultos mayores de 30 años residentes de la ciudad de Chihuahua, Méxcio.

86.48

87.83

88.94

88.77

86.72

90.36

87.01

88.21

88.78

87.55

89.39

86.96

86.27

86.71

92.11

89.74

91.28

87.92

87.87

89.84

88.91

88.52

84.43

85.82

90.37

88.22

89.44

87.55

94.00

89.00

91.30

92.73

88.15

87.64

88.57

85.58

88.84

93.30

88.68

88.90

84.66

88.78

87.46

88.23

85.93

85.96

87.56

89.96

88.64

89.91

90.16

91.19

88.32

89.95

90.05

90.35

86.21

89.28

88.65

89.97

87.74

92.41

88.26

89.04

85.69

88.62

86.08

90.02

89.18

89.23

89.53

91.99

88.34

88.61

87.82

90.18

91.76

84.97

90.49

90.75

91.82

91.55

86.80

92.10

83.78

84.89

88.39

87.37

91.25

89.80

87.17

86.20

90.19

86.65

88.62

93.22

88.83

89.15

87.80

85.72




    1. La pregunta de los investigadores será probablemente: ¿Qué proporción de personas en la ciudad de Chihuahua, supuestamente sin hipertensión arterial, la tiene? O bien: ¿Qué porcentaje de personas que no saben que tienen hipertensión, la tienen?

    2. La variable que se mide es “la tensión diastólica en mm Hg”. Mediante la medición de esta variable se quiere conocer la proporción de personas con síntomas de hipertensión.

    3. La variable “tensión diastólica” es cuantitativa y continua; se mediría en una escala de relación. El número de personas que tiene síntomas o la enfermedad, es una variable discreta.

    4. En esta muestra hay 100 mediciones.

    5. Las mediciones no están ordenadas.

    6. La población de la cual provienen las mediciones es aproximadamente de tamaño 400 mil.

    7. La definición de la población de interés puede describirse así: La proporción de personas mayores de 30 años, que viven en la ciudad de Chihuahua y que muestran síntomas de hipertensión arterial. En consecuencia, cuando se entrevista a cada persona, se le debe preguntar si vive en la ciudad y si tiene más de 30 años.

    8. Al tomarse la muestra al azar, se indica que se tomó sin preferencia alguna. En teoría cada individuo y tensión diastólica tuvo la misma probabilidad de ser tomada.

    9. En la muestra, 25 de 100 personas (25%) tienen tensión diastólica mayor a 90 mm Hg. Si padecen hipertensión, supuestamente no lo saben.

    10. En la muestra, 75 de 100 personas (75%) no tienen tensión elevada.

    11. Si la muestra es representativa de la población, cabría esperar que 25% de los adultos en la población (40 000 x 0.25 = 100 000= tuvieran hipertensión.



Ejemplo 1.24


Enseguida se muestra una población de 100 mediciones de peso en kilogramos de jóvenes con edades de 15 a 18 años cumplidos, quienes viven en las calles de la ciudad de México.
Tabla 1.11 Peso en kg de jóvenes de 15 a 18 años en situación de la calle en el DF

Dato

1-10

11-20

21-30

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

1

48.1

50.5

52.2

53.3

54.5

55.2

56.8

57.4

59.0

60.0

2

48.4

50.6

52.6

53.3

54.5

55.4

56.8

57.4

59.1

60.0

3

49.0

50.7

52.6

53.6

54.6

55.7

56.9

57.6

59.1

60.1

4

49.2

50.7

52.7

53.8

54.8

55.7

57.1

58.0

59.2

60.3

5

49.2

50.9

52.7

53.9

55.0

55.8

57.1

58.0

59.2

60.5

6

49.4

51.8

52.8

54.0

55.0

55.8

57.2

58.3

59.2

60.8

7

49.4

51.8

52.9

54.1

55.1

56.0

57.2

58.5

59.5

61.4

8

49.8

52.1

52.9

54.1

55.1

56.4

57.2

58.6

59.5

61.8

9

49.9

52.2

53.2

54.2

55.1

56.4

57.3

58.9

59.6

61.9

10

50.5

52.2

53.3

54.4

55.2

56.7

57.4

59.0

59.9

62.0


Se tomará una muestra aleatoria de tamaño 10, utilizando números aleatorios obtenidos con una calculadora.
En tu calculadora hay una tecla llamada RND. Es una abreviación de la palabra random en inglés, que significa aleatorio. Usando esta tecla, se pueden obtener números al azar entre 0 y 1, con tres o cuatro decimales. Esto es, se producirán diez números al azar, pero se hará que su valor esté entre 1 y 100 (porque la población tiene 100 datos) multiplicando por 100 y redondeando al entero más cercano. Por ejemplo, enseguida se eligen al azar dos valores de la población:


    • RND = : 0.496 x 100 = 49.6; dato: 50.


Se toma entonces el valor del dato 50: 55.2 kilogramos.


    • RND = : 0.426 x 100 = 42.6; dato: 43.


El valor del dato 43 es 54.6 kilogramos.
Si un dato se repite, no se toma, se obtiene otro número aleatorio. Esta es una muestra sin remplazo. Este procedimiento no es tendencioso, depende sólo del azar.

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