Fundacion centro colombiano de estudios profesionales




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FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. e:\evaluaciones nuevas\cecepf\fcecep logo 2.jpg

AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL

PERIODO ACADEMICO: I-2012

PROBABILIDAD

NOMBRE:


GRADO




COD:




FECHA







  1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.

Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre determinación o de libre ocurrencia.

Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.

La probabilidad de un evento A se define:

P(A) =

  1. ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente.

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un fenómeno.

Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral será:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

  1. EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.

Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los posibles resultados en que puede caer el dado serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será:

A = { 2, 4, 6 }

La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos eventos:

  1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos.

  2. A B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.

  3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.

  1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los conjuntos sea vacía. A B = φ ( No pueden suceder simultáneamente )

Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número impar. C = {2, 3, 5}

A B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los eventos son mutuamente exclusivos.

Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.

P(A) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

P(B) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

P(A) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

P(S) = = = 1 o equivalente a un 100%

P(C) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos anteriores A, B y C:

A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}

A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }

B C = { 3, 5 }

CC = { 1, 4, 6 }

Las probabilidades de los nuevos eventos serán:

P(AUB) = = = 1 o equivalente a un 100%

P(AUC) = = = 0.83 o equivalente a un 83%

P(BC) = = = 0.33 o equivalente a un 33%

P(Cc) = = = 0.5 o equivalente a un 50%

  1. AXIOMAS DE PROBABILIDAD.

Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(Cc) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes axiomas:

P1 Para todo evento A, se cumple que 0 P(A) 1

P2 P(S) = 1

P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que P(AUB) = P(A) + P(B) .

Para el ejemplo No 1, observamos que:

  1. 0 P(A) 1. Observamos que el valor de cada una de las probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.

  2. P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.

  3. P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5 P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0

  1. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.

Estos teoremas se deducen de los axiomas:

T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P() = 0

T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(Ac) = 1 - P(A)

T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B)

T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(AB)

T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(AB)

EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.

La grafica del conjunto será: U

A B

0

1 3

6 2

4 5

8 7

9

Calculado:

A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }

A B = { 1, 2, 4 }

Ac = { 3, 5, 7, 9 }

Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }

A – B = { 0, 6, 8 }

B – A = { 3, 5 }

Los cardinales de cada uno de los conjuntos:

#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(AB) = 3, #(Ac) = 4, #(Bc) = 5

#(A-B) = 3 #(B-A) = 2.

Calculando las probabilidades.

P(A) = = = = 0.6 equivalente en porcentaje 60%

P(B) = = = = 0.5 equivalente en porcentaje 50%

P(AUB) = = = = 0.8 equivalente en porcentaje 80%

P(AB) = = = 0.30 equivalente en porcentaje 30%

P(A-B) = = = 0.30 equivalente en porcentaje 30%

P(B-A) = = = 0.20 equivalente en porcentaje 20%

P(AC) = = = 0.40 equivalente en porcentaje 40%

P() = = = 0.50 equivalente en porcentaje 50%

Si aplicamos los teoremas obtenemos:

T2. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40

T2. P(BC) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50

T4. P(A-B) = P(A) - P(AB) = 0.60 - 0.30 = 0.30

T5. P(B-A) = P(B) - P(BA) = 0.50 - 0.30 = 0.20

T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(AB) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80

T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(AB) = 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.80

  1. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.

Sea un espacio muestral finito tal que S = { a1, a2, a3, ……. an }la probabilidad del espacio muestral será la suma de las probabilidades parciales e igual a 1.

P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1

EJEMPLO No 3. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos los números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.

El espacio muestral sería así:

  1. Que no salga ningún sello. 0S

CCCC

  1. Que salga un sello y tres caras. 1S

SCCC, CSCC, CCSC, CCCS.

  1. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.

SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.

  1. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3S

SSSC, CSSS, SCSS, SSCS.

  1. Que salgan cuatro sellos y o caras. 4S

SSSS.

El conjunto S = { 0, 1, 2, 3, 4 } de los posibles resultados de caer las monedas.

Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.

Si calculamos las siguientes probabilidades.

  1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.

P(0) = = 0.0625

  1. La probabilidad de que salga un sello.

P(1) = = 0.25

  1. La probabilidad de que salgan dos sellos.

P(2) = = = 0.375

  1. Probabilidad de que salgan 3 sellos.

P(3) = = = 0.25

  1. Probabilidad de que salgan 4 sellos.

P(4) = = 0.0625

P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0)

= + + + + = 1

  1. La probabilidad de que por lo menos salga un sello.

Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }

P(C) = P(1S) + P(2S) + P(3S) + P(4S)

= + + + =

  1. Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.

Los resultados de D = { 4S, 4C }

P(D) = P(4C) + P(4S)

= + = =

EJEMPLO No 4. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera. Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar que Q. Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno de los caballos.

Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.

Q = p

S = 2Q = 2p

P = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4p

A = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8p

Como el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe ser uno, entonces.

P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1

8p + 4p + 2p + p = 1

15p = 1

P =
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