Con parámetros y. En este caso la V a. asociada al experimento aleatorio es Nº de éxitos que ocurren en observaciones, cuya distribución de probabilidad se expresa como: (2) Con y Notación




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títuloCon parámetros y. En este caso la V a. asociada al experimento aleatorio es Nº de éxitos que ocurren en observaciones, cuya distribución de probabilidad se expresa como: (2) Con y Notación
fecha de publicación01.08.2016
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UNMSM - Fac. Medicina- UPG Maestria en Neurociencias

Curso: Bioestadística


DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE PROBABILIDAD
1. INTRODUCCION

Los resultados de los experimentos aleatorios se estudian a partir de la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria (v.a.), existen algunas ya modelas para el caso univariante como la Binomial (variable aleatoria discreta) , Normal y t-Student (ambas variables aleatorias continuas); entre otras.
2. PROCESO DE BERNOULLI

Es un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:

1) Sólo hay dos resultados posibles: - Éxito

- Fracaso

2) (es conocida y constante) y

3) Los resultados de las observaciones son independientes
Ejemplo 1: Algunos casos que siguen el proceso Bernoulli son:

  • Un sujeto puede o no tener VIH

  • Un paciente amputado tiene o no dolor local.

  • Un RN tiene o no malformación congénita.


2.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BERNOULLI

La Distribución de probabilidad Bernoulli, se define a partir de la siguiente v.a.

Nº de éxitos que ocurren en un experimento de Bernoulli, Cuya distribución de probabilidad (forma tabular) es:



0

1







También se expresa como:

(1)

El parámetro de esta v.a. es . Tiene y
2.2 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Si se repite un número fijo de veces, , un experimento de Bernoulli con parámetro , el número de éxitos que ocurren en repeticiones u observaciones, sigue una distribución Binomial con parámetros y . En este caso la v.a. asociada al experimento aleatorio es Nº de éxitos que ocurren en observaciones, cuya distribución de probabilidad se expresa como:

(2)

Con y

Notación.: , y se lee: la v.a. tiene distribución de probabilidad Binomial, con parámetros y
Ejemplo 2: Estudiosos de un centro de investigación afirman que el 11% de niños en edad escolar sufren de hiperactividad producida por una mutación genética Si se elige al azar a 10 niños de esta población, cuánto es la probabilidad de que sufran de hiperactividad producida por una mutación genética:

a) Exactamente 3 niños. b) A lo sumo 4 niños. c) Más de 2 niños.
Sol: Primero veamos si el experimento aleatorio sigue un proceso Bernoulli:

1) Sólo hay dos resultados posibles, para niños en edad escolar sufren de hiperactividad:

- Éxito: producida por una mutación genética

- Fracaso. Otras causas

2) (es constante) y
3) Los resultados de las observaciones son independientes

Además el número de observaciones es fijo,

La v.a. es, Nº de niños en edad escolar que sufren de hiperactividad producida por una mutación genética, de un grupo de 10 niños, con distribución de probabilidad, reemplazando en (2), igual a :

Con y y
Calculando las probabilidades pedidas: Usaremos Excel, siguiendo el siguiente procedimiento:

A) para probabilidades puntuales, esto es, :

InsertarFunciónSeleccionar una categoría: EstadísticasSeleccionar una función: DISTR BINOMNúm_éxitos Ensayos Prob_éxitos Acumulado: FALSO
B) Para probabilidades acumuladas, esto es, :

InsertarFunciónSeleccionar una categoría: Estadísticas → Seleccionar una función: DISTR BINOMNúm_éxitos Ensayos Prob_éxitos Acumulado: VERDADERO
Usando los procedimientos pertinentes, los resultados son:

a)

b)

c)
¿Cuál es la distribución de probabilidad de esta v.a., en su forma tabular?
3. DISTRIBUCION NORMAL
3.1 INTRODUCCION

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas, es la base de la inferencia estadística (inferencia paramétrica), por ello es muy empleada. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen este modelo de probabilidad, como: tallas, pesos, diámetros, perímetros, puntajes de pruebas aplicadas. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...
3.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD

Su función de densidad esta dada por:



Sus parámetros son: .

Notación: y se lee así, la v.a. tiene distribución de probabilidad normal con parámetros y , cuya gráfica, llamada curva normal, está dada por;



3.3 PROPIEDADES

Esta distribución tiene propiedades muy importantes que se deben considerar a fin de usarla apropiadamente:

3.1 Es simétrica respecto a su esperanza .

3.2 Es monótona creciente en y monótona decreciente en

3.3 Tiene puntos de inflexión en

3.4 Es asintota al eje de la abcisa

3.5 Toma su valor máximo en
3.4 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Está dada por:



Cuya gráfica es:


t


3. 5 TIPIFICACIÓN O ESTANDARIZACION DE LA V.A. NORMAL

Si la , entonces la v.a. estandarizada de , está dada por:


Característica de la distribución normal estandarizada:

1) No depende de ningún parámetro

2) Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.

3) La curva  es simétrica respecto , y toma aquí su máximo valor.

4) Tiene dos puntos de inflexión en  z =1 y  z = -1.

Su representación gráfica se llama curva normal estandarizada, en donde también se representa a la FDA, tiene la siguiente forma:



3.6 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA NORMAL (TEOREMA DE MOIVRE)

Cuando n grande ( y tanto y , la v.a. se puede aproximar mediante una distribución normal de la forma: , por tanto la variable:


Observación: Se debe tener en cuenta que y , la aproximación realizada será mejor, esto es, basta con que se verifique y . Para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad, se presentan los diversos casos.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, con parámetros n y p, para un mismo valor de  p  y valores de  n  cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".
3.7 CALCULO DE PROBABILIDAD PARA UNA V.A. (Excel)

A) para probabilidades puntuales, esto es, :

InsertarFunciónSeleccionar una categoría: EstadísticasSeleccionar una función: DISTR. NORMMedia → Desv_estándarAcumulado: FALSO →Aceptar
B) Para probabilidad acumulada, esto es, :

InsertarFunciónSeleccionar una categoría: EstadísticasSeleccionar una función: DISTR. NORMMedia→ Desv_estándarAcumulado: VERDADERO →Aceptar
3.8 CALCULO DEL VALOR DE UNA V.A. NORMAL (Excel)

, ¿x?

InsertarFunciónSeleccionar una categoría: EstadísticasSeleccionar una función: DISTR. NORM.INVProbabilidad (p)Media→ Desv_estándarAceptar
3.9 CALCULO DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. NORMAL ESTANDARIZADA

Para probabilidad acumulada, esto es, :

InsertarFunciónSeleccionar una categoría: EstadísticasSeleccionar una función: DISTR. NORM.ESTANDAceptar
3.10 CALCULO DEL VALOR DE UNA V.A. NORMAL ESTANDARIZADA: (Excel)

, ¿z?

InsertarFunciónSeleccionar una categoría: EstadísticasSeleccionar una función: DISTR. NORM. ESTAND .INVProbabilidad (p)Aceptar
CASOS PARA APROXIMAR UNA DISTRIBUCION BINOMIAL, MEDIANTE LA DISTRIBUCION NORMAL












(APLICACUIONES EN CLASE)



Mg. Violeta Nolberto Sifuentes 06/08/09

Prof. Del Curso


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