¿Cómo deben ser las matrices rectangulares m y n para que puedan efectuar­se las multiplicaciones M. N y N. M? Razonarlo




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distinta de la trivial. Resolverlo en esos casos.


Para que un sistema homogéneo tenga solución ≠ de (0,0,0) => el rg C = 2 ó 1 pero siempre menor que el nº incógnitas

Si rg C = 2 es que  menor principal de orden 3 en C, es decir = 0

  = 3 ó 4  rg C = 2 < nº incógnitas y el sistema tiene ∞ soluciones











y resolverlo para a=2


Hallaremos los valores de a que hacen que = 0
; - a2 – 2a - 1 = 0
a2 + 2a + 1 = 0 =>

a = - 1 |C| = 0 => rg C < 3 No existe menor de orden 3 en C

Ampliamos con los términos independientes
= - 2 – 1 + 1 ≠ 0 rg A = 3 existe menor de orden 3 en A


Como rg C ≠ rg A sistema incompatible no existe solución
a ≠ -1 => rg C= 3 , Como rg A = 3 por no existir menores principales de orden 4
Si rg C = rg A =nº de incógnitas. Según Rouche el sistema será compatible determinado. Existe solución única
Para resolverlo para a= 2 el sistema queda: sistema con 3 ecuaciones y

3 incógnitas y |C| ≠ 0. Es un sistema de Cramer






Calculemos los valores de a para que = 0

a2 – a – 2 = 0



a= 2 = 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3

4 – 2 ¹ 0 rg C = 2 existe menor principal de
orden 2. A partir de él ampliamos con los términos independientes.

4 – 2 - 2 = 0 no existe menor principal de orden 3  rg A = 2

si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas  sist. Compatible indeterminado 

 existen ∞ so­lucio­nes. Para este valor hay que resolver el sistema:

Eliminamos una de las tres ecuaciones por ser combinación lineal de las otras,
(elimino la 1ª )

Si llamamos x = λ obtenemos las ∞ so­lucio­nes.

para a = -1 = 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3

1 – 2 ¹ 0 rg C = 2 existe menor principal
de orden 2. A partir de él ampliamos con los términos independientes.
– 2 - 2 0 existe menor principal de orden 3  rg A = 3

si rg C rg A = 2  sistema incompatible
a ¹ 2 , -1 rg C = rg A = 3  sistema compatible determinado, existe solución única para esos valores de a.

y se pide: a) Discutir el sistema según los valores de p. b) Resolverlo para p = 2

= - 5 – 2 – p + 5 = - 2 - p
- 2 - p = 0 è p = - 2 No existe menor de orden 3 en C è rg C < 3
Si p = - 2 => = - 5 ≠ 0 existe menor de orden 2 en C è rg C = 2
y rg A = 3

rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible, no existe solución
Si p ≠ -2 rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas Sistema compatible deter­minado, solución única para cada valor de p distinto del -2
Para resolverlo para el valor p = 2






Como se puede observar la solución es la terna (1,0,1)
a) Discutir el sistema según los valores de m; b) Resolverlo para m = 5

El sistema es homogéneo con lo que bastará con discutir el rango de coeficientes según los valores de m ya que el rango de la ampliada será el mismo.
+ 36m – 5 =
Si = 0 ===> rgC < 3 ya que el menor de orden 3 no es principal

para valer 0
-7 m² +36m – 5 =0 ===> m =
m = 1/ 7



  • rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones según Ronche


m = 5



  • rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones según Ronche


m ≠ 1/7, 5 ===> ≠ 0 existen menor principal orden 3 ===> rg C = 3 = nº incógnitas
===> Sistema con solución trivial x = 0 , y = 0 , z = 0 Según Ronche

b) Resuelve para m=5
Al ser = 0 puedo eliminar uno de las 3 ecuaciones por ser Combinación lineal y el
sistema queda

Resuelva el sistema en x , y por Cramer




a) Encuentra los valores de λ para que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema sea 2.

b) Resuelve el sistema anterior para λ=0

Como hay solo 3 ecuaciones para 4 incógnitas homogéneo , habría que buscar un rag C = rag A
Para no hacer todos los determinantes 3x3 en función de 5Ì, hacemos Gauss



2 λ - 3 = 0 ; λ = 3/2 rg C = 2 y el rg A = 2 pues es homogéneo

y existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas.
Para λ  3/2 rg C = 3 y el rg A = 3 pues es homogéneo
También existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas.
Resolvámoslo para λ = 0 
t = 2x  y = 0
z = - x y llamando x = 5Ì nos queda


Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a dos, ¿puede ser compatible el sistema?. ¿Puede ser compatible y determinado?. ¿Puede ser incompatible?.

Llamamos C a la matriz de coeficientes y A a la matriz amplia­da con la columna de los términos independientes.
Si el rango C = 2, el sistema será compatible en cuanto el rango A = 2.

Ahora bien, como en este caso el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema tendrá infinitas soluciones, por lo que el sistema nunca podrá ser compatible y determinado.

Se puede observar que una de las tres ecuaciones es combinación lineal de las otras dos, por lo que puede ser suprimida.

Nos queda pues, un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, una de las cuales se pasa al segundo miembro, y para cada valor que se le de a esa incógni­ta, obtendremos una de las in­finitas soluciones.
Si el rango A = 3, entonces el sistema será incompatible, ya que entonces rg C ¹ rg A.

Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, ¿puede ser incompati­ble?. En caso afirmativo mostrarlo con un ejemplo.
Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas si que puede ser incompatible, es decir, puede no tener solución.

Esto ocurrirá cuando el rango de la matriz de coeficientes sea distinto del rango de la matriz ampliada.

Por ejemplo:
la matriz
ampliada




Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible y determinado?. En caso afirmativo, poner un ejemplo.
Para que el sistema sea compatible y determinado, deberá verificarse que el rango de la matriz de coeficientes deberá ser igual al rango de la matriz ampliada e igual a 2, que es el número de incógnitas.
Para construir un sistema así, basta con partir de un sistema de dos ecuacio­nes con dos incógnitas y añadir una combinación lineal de ambas ecuaciones.


rg C = rg A = 2 = nº de incógnitas ==> solución única
y = 2 ; x + y = 8 ===> x = 8 - 2 ==> x = 6



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