Bibliografía: Shim y siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16




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títuloBibliografía: Shim y siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16
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Universidad Simón Bolívar

Postgrado en Gerencia

Especialización en Gerencia financiera

Matemáticas Financieras




Tema 1: Valor presente e intereses


Semana 1:

a.- Contabilización de fechas: calendario astronómico / calendario comercial

b.- Tasa de interés simple: valor presente, valor futuro, tiempo e intereses..

Semana 2:

c.- Tasa de interés compuesta: capitalización, valor presente, valor futuro, tiempo e intereses.

d.- Perpetuidades, cálculo de perpetuidades en base a la fórmula de interés compuesta.

Semana 3:

e.- Fórmula de anualidades en base a la fórmula de perpetuidades.

f.- Tablas de amortización

Semana 4

g.- Valoración de instrumentos financieros, bonos y acciones.

Semana 5: Parcial

Tema 2: Riesgo


Semana 6:

a.- Riesgo y comportamiento de las acciones, determinación de varianzas y covarianzas

Semana 7:

b.- Cálculo del rendimiento esperado de una acción en base a su riesgo, modelo CAPM

Semana 8:

c.- Correlación y diseño de portafolios

Semana 9: Trabajos y exposiciones

Tema 3: Opciones


Semana 10:

a.- Definición de opciones calls y puts,

b.- Valoración de mercado

Semana 11:

c.- Determinación del valor de opciones mediante el modelo binomial

d.- Determinación del valor de opciones mediante el método Black -Scholes

Semana 12: Trabajos y exposiciones
Evaluación: Primer parcial 40 %, trabajos-exposiciones 30 % c/u

Bibliografía: Shim Y Siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16

Hernández, Hernández: Matemáticas financieras, teoría y práctica.

http://biz.yahoo.com/opt/basics1.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics2.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics3.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics4.html

http://biz.yahoo.com/opt/basics5.html

Formulario y teoría:
Tema 1:
a.- Fechas : En un instrumento financiero, la contabilización de fechas puede hacerse de dos formas:
Calendario astronómico: En ese caso, los días se contabilizan en función a la diferencia entre dos fechas, es decir, el periodo transcurrido entre el inicio y el fin del instrumento.
Calendario comercial: En el calendario comercial el año posee 360 días y los meses tienen 30 días cada uno, la contabilización de días se hace restando primero los meses y luego los días:
Ejemplo: del 15 de Enero de 2006 al 28 de Octubre de 2006:
Calendario astronómico:
Enero: 16

Febrero: 28

Marzo: 31

Abril: 30

Mayo: 31

Junio: 30

Julio: 31

Agosto: 31

Septiembre: 30

Octubre: 28

Total: 286 días (el mismo resultado de restar ambas fechas en una hoja de cálculo)
Calendario comercial:
Enero: 15

Febrero: 30

Marzo: 30

Abril: 30

Mayo: 30

Junio: 30

Julio: 30

Agosto: 30

Septiembre: 30

Octubre: 28

Total: 283 días (recuerden, el año tiene solamente 360 días y no 365)
Otro ejemplo (Si el día de finiquito de la operación es inferior al día de inicio) del 27 de Febrero de 2006 al 12 de Agosto de 2006.
Calendario astronómico:
Febrero: 1

Marzo: 31

Abril: 30

Mayo: 31

Junio: 30

Julio: 31

Agosto: 12

Total: 166 días (el mismo resultado de restar ambas fechas en una hoja de cálculo)
Calendario comercial:
Febrero: 3

Marzo: 30

Abril: 30

Mayo: 30

Junio: 30

Julio: 30

Agosto: 12

Total: 165 días (recuerden, el año tiene solamente 360 días y no 365)
b.- Tasa de interés simple:
VP = C / (1 + r x n)
VP: Valor presente

C: Valor futuro o flujo de caja final

r: Tasa de interés (En función al periodo de tiempo)

n: Tiempo (Periodos de tiempo)
C = VP x (1 + r x n)
r = (C / VP – 1) / n
n = (C / VP – 1 )/ r
Interés devengado = C – VP
Ejemplos:
Depositamos Bs. 1.100.000 a 6 meses con una tasa de interés anual simple del 30 %, ¿Cuánto dinero tenemos al final?
VP = 1.100.000

r = 30 % = 0,3

n = 6 / 12 = 0,5
C = VP x (1 + r x n) = 1.100.000 x (1 + 0,5 x 0,3) = 1.265.000
Cuánto dinero hubiésemos tenido que depositar a una tasa del 25 % anual durante 9 meses para obtener un saldo final de Bs. 8.000.000
C = 8.000.000

r = 25 % = 0.25

n = 9 meses = 9 /12 años = 0,75 años
VP = C / (1 + r x n) = 8.000.000 /( 1 + 0,25 x 0,75) = 6.736.842,11
A qué plazo deben ser depositados 5 millones de bolívares al 36 % anual para obtener Bs. 5.900.000
VP = 5.000.000

C = 5.900.000

r = 36 % = 0,36
n = (VP / C – 1 )/ r
n = (5.900.000 / 5.000.000 – 1)/ 0.36
n = 0,5 años = 6 meses
A qué tasa debe efectuarse un depósito de Bs. 2.000.000 a 3 meses para que se obtenga un saldo final de Bs. 2.400.000
VP = 2.000.000

C = 2.400.000

n = 3 meses = 3 / 12 = 0,25 años
r = (VP / C – 1) / n
r = (2.400.000 / 2.000.000 –1) / 0,25
r = 0,8 = 80 %
Indique el monto final de un depósito de Bs. 3.000.000 a efectuarse el día 18 de Enero de un año no bisiesto hasta el 14 de Agosto del mismo año, la tasa es del 25 % anual, utilice ambas alternativas para contabilizar los días y explique la diferencia: (*)n = días / base
Calendario astronómico
VP = 3.000.000

n = (13+28+31+30+31+30+31+14)/365 = 208/365

r = 25 % = 0,25
C = VP x (1 + r x n)
C = 3.000.000 x (1 + 0,25 x 208 / 365) = 3.427.397,26
Calendario comercial
VP = 3.000.000 n = (12+30*6+14)/360 = 206/360

r = 25 % = 0,25
C = VP x (1 + r x n)
C = 3.000.000 x (1 + 0,25 x 206 / 360) = 3.429.166,67
Conclusión, es mejor pedir prestado con base 365 y prestar con base 360...
El banco le presta Bs. 26.000.000 con intereses cobrados por adelantado a 91 días, la tasa establecida por el banco, es del 17 %, indique el monto a recibir, utilice calendario comercial.
C = 26.000.000

r = 17 % = 0,17

n = 91 / 360

VP = C / (1 + r x n)
VP = 26.000.000 / (1 + 0,17 x 91 / 360) = 24.928.756
Ejercicios sugeridos: Hernández Hernández Pags. 117 a 130
c.- Tasa de interés compuesta: capitalización, valor presente, valor futuro, tiempo e intereses.
VP = C / (1 + r )^n
VP: Valor presente

C: Valor futuro o flujo de caja final

r: Tasa de interés (En función al periodo de tiempo)

n: Tiempo (Periodos de tiempo)
C = VP x (1 + r) ^ n
r = (C / VP)^(1/n) – 1
n = Ln(C/VP)/Ln(1+r)
Interés devengado = C – VP
Varias capitalizaciones:
N = Periodo en años

R= Tasa de Interés anual

K: Número de capitalizaciones por año

r = R / K

n=N*K
Tasa nominal y tasa efectiva
De nominal anual a efectiva anual:

Ref = (1+Rno/K)^K - 1
Ref: Tasa anual efectiva

Rno: Tasa anual nominal
De efectiva anual a nominal anual:
Rno = ((Ref + 1)^(1/K)-1) x K
Capitalizaciones
Semestral: K=2

Trimestral: K= 4

Mensual: K=12

Diaria: K=365

Continua: K = Infinito
Ejemplo Siendo Rno= 30 % Determine Ref en cada caso:
Semestral: K=2 Ref=(1+0,3/2)^2-1 = 32,25%

Trimestral: K= 4 Ref=(1+0,3/4)^4-1 = 33,55%

Mensual: K=12 Ref=(1+0,3/12)^12-1 = 34,49%

Diaria: K=365 Ref=(1+0,3/365)^365-1 = 34,97%

Continua: K = Infinito Ref= e^r-1 = 34,99%
Siendo Ref=40 % Determine Rno en cada caso
Semestral: K=2 Rno=((0,4+1)^(1/2)-1)x2 = 36,64%

Trimestral: K= 4 Rno=((0,4+1)^(1/4)-1)x4 = 35,10%

Mensual: K=12 Rno=((0,4+1)^(1/12)-1)x12 = 34,12%

Diaria: K=365 Rno=((0,4+1)^(1/365)-1)x365 = 33,66%

Continua: K = Infinito Rno= ln(1+Rfe) = 33,65%
Depositamos Bs. 1.100.000 a 6 meses con una tasa de interés anual efectiva del 30 %, ¿Cuánto dinero tenemos al final?
VP=1.100.000

n= 6 meses = 0,5 años

Ref= 30% = 3,3
Rno=((0.3+1)^(1/2)-1)*2 = 0,2804 = 28,04%
C = VP(1 + Rno x n)
C = 1.100.000(1 + 0,2804 x 0,5) = 1.254.193
O también:
C = VP(1 + Rfe)^n
C = 1.100.000 ( 1 + 0,3)^(1/2) = 1.254.193
Tasa efectiva  Interés compuesto

Tasa nominal  Interés simple
¿Cuánto valen en dinero de hoy Bs. 15.000.000 a ser recibidos dentro de tres años si la tasa anual es del 28 %?
VP = C / (1 + r)^n
C = 15.000.000

n = 3

r = 28 % = 0,28
VP = 15.000.000 / (1 + 0,28)^3 = 7.152.557
Si deseamos invertir nuestras utilidades de Bs. 5.000.000 al 21 % nominal capitalizables mensualmente, ¿cuánto dinero tendremos al cabo de 4 años?
C = VP(1+Rfe)^n
Hay dos vías: Dividiendo la tasa nominal anual y obtener la tasa efectiva mensual
VP = 5.000.000

n = 48

r = 21%/12 = 0,21/12 = 0,0175
C=VP (1+r)^n
C = 5.000.000 ( 1 + 0,0175)^48 = 11.497.994
Obteniendo la tasa efectiva anual en base a la tasa nominal anual
VP = 5.000.000

n = 4

Rno= 21 % = 0,21
Ref = (1+Rno/K)^K – 1
Ref = (1+0,21/12)^12 – 1 = 0,2314 = 23,14%
C = VP(1+r)^n

C = 5.000.000(1+0,2314)^4 = 11.497.994
Invertimos Bs. 18.000.000 y al final de 17 meses, tenemos Bs. 34.000.000, indique las tasas de interés efectiva y nominal anual.
r = (C/VP)^(1/n) –1
r = (34.000.000 / 18.000.000)^(1/17) – 1 = 0,03812
K = 12 (capitalización mensual)
Ref = (1 + r) ^ K
Ref = (1 + 0,03812)^12 = 0,5666 = 56,66%
Rno = r x K
Rno = 0,3812 x 12 = 0,4574 = 45,74%
A la tasa del 24 % anual nominal, capitalizable mensualmente, cuánto tiempo será necesario para convertir Bs. 15 Millones en Bs. 35.147.840
Dos formas,
Hacerlo en meses:
K = 12

r = Rno/K
r = 24 %/12 = 2 %
n = Ln(C/VP)/Ln(1+r)
n = Ln(35.147.840/15.000.000)/Ln(1+0,02) = 43
Hacerlo en años
Ref = (1+Rno/K)^K – 1
Ref = (1+0,24/12)^12 - 1
Ref = 0,2682 = 26,82% n =
Ln(35.147.840/15.000.000)/Ln(1+0.2684) = 3,5833 años = 43 meses
Ejercicios sugeridos: Hernández Hernández Pags. 192 a 197
d.- Perpetuidades
Una perpetuidad es un flujo de caja que se repite en forma recurrente e infinita al final de cada periodo de tiempo, expresado en forma matemática:
Perpetuidad = C / (1 + r) + C / (1 + r)^2 + C / (1 + r) ^ 3 +...+ C / (1 + r) ^ infinito
¿Cuál es el valor presente de una perpetuidad?:

i=oo

VP = (1/(1+ r) ^ n ) x C

i =1

Si ahora multiplicamos la sumatoria por el factor (1+r), se tendrá:

i=oo i=oo

1/(1+ r) ^ n x (1 + r) = 1 + 1/(1+ r) ^ n

i=1 i=1

i=oo i=oo i=oo

1/(1+ r) ^ n + r x 1/(1+ r) ^ n = 1 + 1/(1+ r) ^ n

i=1 i=1 i=1


i=oo

r x 1/(1+ r) ^ n = 1

i=1

i=oo

1/(1+ r) ^ n = 1 / r

i=1

VP = 1 / r x C
VP = C / r

¿Cuál es el valor de un pago anual de Bs. 10 Millones si la tasa de descuento es del 20 % anual?
C =10.000.000

r = 20 % = 0,2
VP = C / r  VP = 10.000.000 / 0,2 = 50.000.000
Perpetuidades crecientes:
Veamos ahora, qué ocurre si el monto de la perpetuidad no es un valor constante sino más bien crece en forma exponencial, con un factor constante = g, a partir del periodo 2
Por un razonamiento análogo a la demostración anterior, el valor de una perpetuidad en donde g < r, pero cuyo crecimiento arranca el periodo 1, es:
i=oo 1 1

Perpetuidad = (1+g)^n/(1+ r) ^ n = ________ = __________ = (1+g)/(r-g)

i=1 (1 + r) 1 + r – 1 - g

______- 1 __________

(1 + g) (1 + g)
Entonces, si el crecimiento comienza el periodo 2, tendremos la misma serie, pero con todos sus términos divididos entre 1+g, luego, el valor de una perpetuidad con crecimientos a partir del periodo 2, sería:
(1 + g) 1

Perpetuidad con crecimiento g = ______ x ______ = 1 / (r – g)

(r – g) (1 + g)

VP = C/(r-g)
Ejemplo: Supongamos que Usted recibirá una perpetuidad de Bs. 5.000.000 al año, con incremento del 15 % a partir del segundo año, si la tasa de descuento es del 20 % anual, indique el valor de su perpetuidad.
VP = C/(r-g)
C = 5.000.000

r = 20 % = 0,2

g = 15 % = 0,15
VP = 5.000.000 / (0,2 - 0,15) = 5.000.000 / 0,05 = 100.000.000
¿Cuál sería el valor de la misma perpetuidad si el gradiente de crecimiento fuera cero?
C = 5.000.000

r = 20 % = 0,2

g = 0
VP = 5.000.000 / (0,2 - 0) = 5.000.000 / 0,2 = 20.000.000

e.- Fórmula de anualidades en base a la fórmula de perpetuidad
Una anualidad o pago periódico, no es sino una perpetuidad que se detiene en un momento, para explicarlo mejor, imagínese que Usted decide firmar una hipoteca a perpetuidad, es decir, haciendo pagos por siempre para financiar un capital, si decide cortar los pagos en algún momento, el valor de los pagos realizados sería el valor de la perpetuidad menos, el valor de la perpetuidad que resta a partir del momento en que deja Usted de pagar, en fórmula:
VP Anualidad = C / r – C / r

________

(1 + r)^n
VP Anualidad = C / r x (1 – 1 / (1+r)^n)
C = Monto del pago de cada anualidad

r = Tasa de interés aplicada

n = Tiempo o número de periodos de tiempo
En las anualidades, no se habla de tasa efectiva, se entiende que siempre se presentan tasas nominales, esto aunque suene extraño, siempre incrementará el valor de la anualidad. En palabras sencillas, la R anual siempre se divide entre K para obtener la r asociada a los periodos de los pagos. La n siempre estará referida al número de pagos y la C al monto de cada pago.
La fórmula se refiere a anualidades vencidas, es decir, se supone que los pagos se efectúan al final de cada periodo de tiempo.
Derivaciones de la fórmula :
C = VP x r / (1 – 1/(1+r)^n)
n = Ln(1/(1-VP/C x r )/Ln(1+r)
Cuando el pago de la anualidad o cuota es adelantado, la fórmula se multiplica por (1+r)
VP Anualidad adelantada = C/r x ( 1 – 1/(1+r)^n) x (1 + r)
Ejemplos:
Determine los pagos mensuales por un préstamo de Bs. 40.000.000 a 30 meses, siendo el interés anual del 30 %
C = VP / (1 – 1/(1+r)^n)
r = 0,3/ 12 = 0,025
C = 40.000.000 / (1 – 1/(1+ 0,025)^30) = 1.911.106
Cual es el pago mensual por un vehículo cuyo precio es de Bs. 50,000,000 financiado a 36 meses al 21 % anual (simple) y con 20 % de inicial ? Cuanto subirían los pagos si al cabo de seis meses, las tasas suben al 36 % ?
Paso 1 Determinar el monto de los pagos mensuales
VP = C/r x [ 1 - 1/(1+r)^n]

Luego:

n = 36 meses
C = VP x r

-----------------

(1-1/(1+r)^n)

r = R / 12 = 0.21 / 12 = 0,0175

PV = Monto Financiado - Inicial = 50.000.000 - 10.000,000 = 40.000.000

C = 40.000.000 x 0,0175

-------------------------- = 1.507.003 Pago Mensual

(1-1/(1+0,0175)^36

Cuanto subirán las cuotas si en seis meses, las tasas suben al 36 % ?

VP = C/ r x [ 1 - 1/(1+r)^n]

r = 0,0175

n = 36 - 6 = 30

VP = 1.507.003

----------------- x [1-1/(1+,0175)^30] = 34.941.137 Deuda a los 6 meses

0,0175

C = VP x r

-----------------

(1-1/(1+r)^n)

r = R / 12 = 0,36 / 12 = 0,03

n = 30

PV = 34.941.137

C = 34.941.137 x 0,03

------------------------ = 1.782.671 Nuevo Pago Mensual

(1-1/(1+0.03)^30

Monto del Incremento = 275.668
Un individuo tiene 30 años y un salario anual de USD 20.000 el proyecta que su salario se incrementará en 5 % durante los próximos 30 años, si la tasa de descuento es del 8 %. Cual es el valor presente de sus futuros pagos salariales ? Si el Sr. ahorra el 5 % de su salario, cuanto dinero tendrá en el año 30 ?(Tasa de rendimiento 8 %) Si después del año 30 decide gastar sus ahorros en cantidades iguales durante los próximos 20 años. Cuanto podrá gastar anualmente ? (Tasa de rendimiento 8 %)
C

VP = -- x [ 1 - 1/(1+r)^n]

r

C = 20.000

n = 30

r* = r - g = 8 % - 5 % = 3,00%

VP = 20.000

---------- x [1 - 1/(1+0.03)^30] = 392.000 Valor presente de salario futuro

0,0300

Valor Pte. del 5 % de sus pagos = 392.009 x 0.05 = 19.600

Valor del 5 % en el año 30 = 19.600 x (1 + 0.08)^30 = 197.233 (Interés compuesto)

Cálculo de anualidades a partir del año 30

C = VP x r 197.233 x 0.08

----------------- = ---------------------------- = 20.089

(1-1/(1+r)^n) (1-1/(1+.08)^20
Determine el plazo de una anualidad de Bs. 749.430, si el monto del capital es de Bs. 8.000.000 y la tasa es del 8 %
VP = 8.000.000

r = 8 % = 0,08

C = 749.430
n = Ln(1/(1-VP/C x r )/Ln(1+r)
n = Ln(1/(1- 8.000.000 / 749.430 x 0,08) / Ln(1 + 0,08) = 25 meses
Ejercicios sugeridos: Hernández Hernández Pags. 437 a 443 + Práctica (en la página web)

f.- Tablas de amortización:
Una tabla de amortización es el equivalente a detallar en forma explícita los resultados de una anualidad, es decir, mostrar de manera clara, el monto del saldo de capital, intereses y el monto amortizado:
Fórmulas:
VP o VP0 = Saldo de capital inicial

VPm = Saldo de capital al periodo m

r = Tasa de interés

Cm = Pago del mes m

Im = Monto pagado en intereses durante el periodo m

Am = Monto de capital amortizado durante el periodo
VPm+1 = VPm (1 + r) – Cm

Im = VPm x r

Am = Cm – Im

VPm+1 = VPm – Cm + Im
Cm en condiciones normales se determina en base a la fórmula de anualidades (ya visto), sin embargo, cuando hablamos de tablas de amortización, el monto del pago puede haber sido definido en forma independiente a lo determinado por la fórmula y lo relevante es la deuda al comienzo del periodo siguiente (ejemplo, pagos especiales). Es importante notar que si el monto de Im > Cm, el monto del capital subirá.

Ejemplo: Determine los pagos mensuales y prepare una tabla de amortización de préstamo a 15 años por Bs. 200.000.000 al 18 % anual con pagos especiales anuales de Bs. 8.000.000
Paso 1: Calculamos el valor presente de los pagos anuales especiales
C = 8.000.000

n = 15

Rno = 18%

K = 12

Ref = (1+Rno/K)^K-1

Ref = 19,56%
VP1 = C/r x (1-1/(1+r)^n)
VP1 = 8.000.000 x (1 - 1/(1+0,1956)^15)
VP1 = 38.091.898
Con el valor presente estimamos el monto a financiar en pagos mensuales
n = N x K = 15 x 12 = 180

r = Rno / K = 0,18 / 12 = 0,015

VP2 = 200.000.000 - 38.091.898 = 161.908.102
C = VP x r / (1 - 1/(1+r)^n)
C = 161.908.102 x 0,015 / (1 - 1 / (1 + 0,015)^180)
C = 2.607.402
Tabla de amortización
Mes Capital Interés Pago Amortización
0 200.000.000

1 200.392.598 3.000.000 2.607.402 -392.598

2 200.791.085 3.005.889 2.607.402 -398.487

3 201.195.549 3.011.866 2.607.402 -404.464

4 201.606.080 3.017.933 2.607.402 -410.531

5 202.022.769 3.024.091 2.607.402 -416.689

6 202.445.708 3.030.342 2.607.402 -422.939

7 202.874.992 3.036.686 2.607.402 -429.283

8 203.310.715 3.043.125 2.607.402 -435.723

9 203.752.973 3.049.661 2.607.402 -442.259

10 204.201.866 3.056.295 2.607.402 -448.892

11 204.657.492 3.063.028 2.607.402 -455.626

12 197.119.952 3.069.862 10.607.402 7.537.540

13 197.469.349 2.956.799 2.607.402 -349.397

14 197.823.987 2.962.040 2.607.402 -354.638

15 198.183.945 2.967.360 2.607.402 -359.958

16 198.549.302 2.972.759 2.607.402 -365.357

17 198.920.139 2.978.240 2.607.402 -370.837

18 199.296.539 2.983.802 2.607.402 -376.400

19 199.678.585 2.989.448 2.607.402 -382.046

20 200.066.362 2.995.179 2.607.402 -387.777

21 200.459.955 3.000.995 2.607.402 -393.593

22 200.859.452 3.006.899 2.607.402 -399.497

23 201.264.942 3.012.892 2.607.402 -405.490

24 193.676.514 3.018.974 10.607.402 7.588.428

25 193.974.259 2.905.148 2.607.402 -297.746

26 194.276.471 2.909.614 2.607.402 -302.212

27 194.583.216 2.914.147 2.607.402 -306.745

28 194.894.562 2.918.748 2.607.402 -311.346

29 195.210.578 2.923.418 2.607.402 -316.016

30 195.531.335 2.928.159 2.607.402 -320.757

31 195.856.903 2.932.970 2.607.402 -325.568

32 196.187.354 2.937.854 2.607.402 -330.451

33 196.522.762 2.942.810 2.607.402 -335.408

34 196.863.202 2.947.841 2.607.402 -340.439

35 197.208.748 2.952.948 2.607.402 -345.546

Mes Capital Interés Pago Amortización
36 189.559.477 2.958.131 10.607.402 7.649.271

37 189.795.467 2.843.392 2.607.402 -235.990

38 190.034.997 2.846.932 2.607.402 -239.530

39 190.278.119 2.850.525 2.607.402 -243.123

40 190.524.889 2.854.172 2.607.402 -246.770

41 190.775.360 2.857.873 2.607.402 -250.471

42 191.029.588 2.861.630 2.607.402 -254.228

43 191.287.630 2.865.444 2.607.402 -258.042

44 191.549.543 2.869.314 2.607.402 -261.912

45 191.815.384 2.873.243 2.607.402 -265.841

46 192.085.212 2.877.231 2.607.402 -269.829

47 192.359.088 2.881.278 2.607.402 -273.876

48 184.637.072 2.885.386 10.607.402 7.722.016

49 184.799.226 2.769.556 2.607.402 -162.154

50 184.963.813 2.771.988 2.607.402 -164.586

51 185.130.868 2.774.457 2.607.402 -167.055

52 185.300.428 2.776.963 2.607.402 -169.561

53 185.472.533 2.779.506 2.607.402 -172.104

54 185.647.219 2.782.088 2.607.402 -174.686

55 185.824.525 2.784.708 2.607.402 -177.306

56 186.004.491 2.787.368 2.607.402 -179.966

57 186.187.156 2.790.067 2.607.402 -182.665

58 186.372.561 2.792.807 2.607.402 -185.405

59 186.560.747 2.795.588 2.607.402 -188.186

60 178.751.756 2.798.411 10.607.402 7.808.991

61 178.825.631 2.681.276 2.607.402 -73.874

62 178.900.613 2.682.384 2.607.402 -74.982

63 178.976.720 2.683.509 2.607.402 -76.107

64 179.053.969 2.684.651 2.607.402 -77.249

65 179.132.376 2.685.810 2.607.402 -78.407

66 179.211.959 2.686.986 2.607.402 -79.584

67 179.292.737 2.688.179 2.607.402 -80.777

68 179.374.726 2.689.391 2.607.402 -81.989

69 179.457.944 2.690.621 2.607.402 -83.219

70 179.542.411 2.691.869 2.607.402 -84.467

71 179.628.145 2.693.136 2.607.402 -85.734

72 171.715.165 2.694.422 10.607.402 7.912.980

73 171.683.491 2.575.727 2.607.402 31.675

74 171.651.341 2.575.252 2.607.402 32.150

75 171.618.709 2.574.770 2.607.402 32.632

76 171.585.588 2.574.281 2.607.402 33.122

77 171.551.969 2.573.784 2.607.402 33.618

78 171.517.847 2.573.280 2.607.402 34.123

79 171.483.212 2.572.768 2.607.402 34.634

80 171.448.058 2.572.248 2.607.402 35.154

Mes Capital Interés Pago Amortización
81 171.412.377 2.571.721 2.607.402 35.681

82 171.376.160 2.571.186 2.607.402 36.216

83 171.339.401 2.570.642 2.607.402 36.760

84 163.302.090 2.570.091 10.607.402 8.037.311

85 163.144.219 2.449.531 2.607.402 157.871

86 162.983.980 2.447.163 2.607.402 160.239

87 162.821.338 2.444.760 2.607.402 162.642

88 162.656.255 2.442.320 2.607.402 165.082

89 162.488.697 2.439.844 2.607.402 167.558

90 162.318.625 2.437.330 2.607.402 170.072

91 162.146.003 2.434.779 2.607.402 172.623

92 161.970.791 2.432.190 2.607.402 175.212

93 161.792.950 2.429.562 2.607.402 177.840

94 161.612.442 2.426.894 2.607.402 180.508

95 161.429.227 2.424.187 2.607.402 183.215

96 153.243.263 2.421.438 10.607.402 8.185.964

97 152.934.510 2.298.649 2.607.402 308.753

98 152.621.126 2.294.018 2.607.402 313.384

99 152.303.040 2.289.317 2.607.402 318.085

100 151.980.184 2.284.546 2.607.402 322.857

101 151.652.484 2.279.703 2.607.402 327.699

102 151.319.870 2.274.787 2.607.402 332.615

103 150.982.265 2.269.798 2.607.402 337.604

104 150.639.597 2.264.734 2.607.402 342.668

105 150.291.789 2.259.594 2.607.402 347.808

106 149.938.764 2.254.377 2.607.402 353.025

107 149.580.443 2.249.081 2.607.402 358.321

108 141.216.748 2.243.707 10.607.402 8.363.695

109 140.727.597 2.118.251 2.607.402 489.151

110 140.231.109 2.110.914 2.607.402 496.488

111 139.727.173 2.103.467 2.607.402 503.936

112 139.215.679 2.095.908 2.607.402 511.495

113 138.696.512 2.088.235 2.607.402 519.167

114 138.169.557 2.080.448 2.607.402 526.954

115 137.634.698 2.072.543 2.607.402 534.859

116 137.091.817 2.064.520 2.607.402 542.882

117 136.540.792 2.056.377 2.607.402 551.025

118 135.981.502 2.048.112 2.607.402 559.290

119 135.413.822 2.039.723 2.607.402 567.680

120 126.837.627 2.031.207 10.607.402 8.576.195

121 126.132.789 1.902.564 2.607.402 704.838

122 125.417.379 1.891.992 2.607.402 715.410

123 124.691.238 1.881.261 2.607.402 726.141

124 123.954.204 1.870.369 2.607.402 737.034

125 123.206.115 1.859.313 2.607.402 748.089

Mes Capital Interés Pago Amortización
126 122.446.805 1.848.092 2.607.402 759.310

127 121.676.105 1.836.702 2.607.402 770.700

128 120.893.844 1.825.142 2.607.402 782.261

129 120.099.849 1.813.408 2.607.402 793.994

130 119.293.945 1.801.498 2.607.402 805.904

131 118.475.952 1.789.409 2.607.402 817.993

132 109.645.689 1.777.139 10.607.402 8.830.263

133 108.682.972 1.644.685 2.607.402 962.717

134 107.705.815 1.630.245 2.607.402 977.158

135 106.714.000 1.615.587 2.607.402 991.815

136 105.707.308 1.600.710 2.607.402 1.006.692

137 104.685.515 1.585.610 2.607.402 1.021.793

138 103.648.396 1.570.283 2.607.402 1.037.119

139 102.595.720 1.554.726 2.607.402 1.052.676

140 101.527.253 1.538.936 2.607.402 1.068.466

141 100.442.760 1.522.909 2.607.402 1.084.493

142 99.341.999 1.506.641 2.607.402 1.100.761

143 98.224.727 1.490.130 2.607.402 1.117.272

144 89.090.696 1.473.371 10.607.402 9.134.031

145 87.819.654 1.336.360 2.607.402 1.271.042

146 86.529.547 1.317.295 2.607.402 1.290.107

147 85.220.088 1.297.943 2.607.402 1.309.459

148 83.890.987 1.278.301 2.607.402 1.329.101

149 82.541.950 1.258.365 2.607.402 1.349.037

150 81.172.677 1.238.129 2.607.402 1.369.273

151 79.782.865 1.217.590 2.607.402 1.389.812

152 78.372.206 1.196.743 2.607.402 1.410.659

153 76.940.387 1.175.583 2.607.402 1.431.819

154 75.487.090 1.154.106 2.607.402 1.453.296

155 74.011.995 1.132.306 2.607.402 1.475.096

156 64.514.772 1.110.180 10.607.402 9.497.222

157 62.875.092 967.722 2.607.402 1.639.681

158 61.210.816 943.126 2.607.402 1.664.276

159 59.521.576 918.162 2.607.402 1.689.240

160 57.806.998 892.824 2.607.402 1.714.578

161 56.066.701 867.105 2.607.402 1.740.297

162 54.300.299 841.001 2.607.402 1.766.402

163 52.507.401 814.504 2.607.402 1.792.898

164 50.687.610 787.611 2.607.402 1.819.791

165 48.840.522 760.314 2.607.402 1.847.088

166 46.965.728 732.608 2.607.402 1.874.794

167 45.062.812 704.486 2.607.402 1.902.916

168 35.131.352 675.942 10.607.402 9.931.460

169 33.050.920 526.970 2.607.402 2.080.432

170 30.939.282 495.764 2.607.402 2.111.638

Mes Capital Interés Pago Amortización
171 28.795.969 464.089 2.607.402 2.143.313

172 26.620.506 431.940 2.607.402 2.175.463

173 24.412.411 399.308 2.607.402 2.208.095

174 22.171.196 366.186 2.607.402 2.241.216

175 19.896.361 332.568 2.607.402 2.274.834

176 17.587.405 298.445 2.607.402 2.308.957

177 15.243.814 263.811 2.607.402 2.343.591

178 12.865.069 228.657 2.607.402 2.378.745

179 10.450.642 192.976 2.607.402 2.414.426

180 0 156.760 10.607.402 10.450.642
Prepare la tabla de amortización para un préstamo “Mexicano” por un monto de Bs. 40.000.000, con tasa de interés anual de 36 %, los pagos serán mensuales y se ajustarán en un 30 % al final de cada año, el préstamo es a 10 años.
C = VP x r / (1- 1/(1+r)^n)
VP = C/r*(1-1/(1+r)^n)
VP1 + VP2 + ...+ VP10 = VP
C1/rx((1+s)^0)(1-1/(1+r)^n)/(1+r)^12x0 + (C1x(1+s)^1)/rx(1-1/(1+r)^n)/(1+r)^12x1 +..=
i=10

C1/r x ((1+s)^i) x (1-1/(1+r)^n) / (1+r)^12 x i

i=0

i= 9

C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x (1+s)^i / (1+r)^12 x i

i=0
i=9

C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x (1+s)^(1/12)^ 12 x i / (1+r)^12 x i

i=0
i=9

C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x ( 1+(1+s)^(1/12)^ 12 x i / (1+r)^12 x i))

i=1


Llamemos t = 1/((1+s)/(1+r)^12-1)


C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x ( 1+ 1/t x (1-1/(1+t)^9)
Entonces podemos despejar C1:
C1 = VP x r / (1 – 1/(1+r))^n / ( 1+ 1/t x (1-1/(1+t)^9)
t = 9,67%
C1 = 40.000.000 x 0,03 / (1 – 1 /(1+0.03))^12 / (1 + 1/ 0,0967 x (1-1/(1+0,0967)^9) =
587.976
Pagos de cada año:
1 587.976

2 764.369

3 993.680

4 1.291.784

5 1.679.319

6 2.183.114

7 2.838.049

8 3.689.463

9 4.796.302

10 6.235.193
Tabla de amortización:
Mes Capital Interés Pago Amortización

0 40.000.000

1 40.612.024 1.200.000 587.976 -612.024

2 41.242.408 1.218.361 587.976 -630.385

3 41.891.705 1.237.272 587.976 -649.296

4 42.560.480 1.256.751 587.976 -668.775

5 43.249.318 1.276.814 587.976 -688.838

6 43.958.821 1.297.480 587.976 -709.503

7 44.689.610 1.318.765 587.976 -730.788

8 45.442.322 1.340.688 587.976 -752.712

9 46.217.615 1.363.270 587.976 -775.294

10 47.016.168 1.386.528 587.976 -798.552

11 47.838.676 1.410.485 587.976 -822.509

12 48.685.861 1.435.160 587.976 -847.184

13 49.382.067 1.460.576 764.369 -696.207

14 50.099.160 1.481.462 764.369 -717.093

Mes Capital Interés Pago Amortización
15 50.837.766 1.502.975 764.369 -738.606

16 51.598.530 1.525.133 764.369 -760.764

17 52.382.117 1.547.956 764.369 -783.587

18 53.189.212 1.571.464 764.369 -807.095

19 54.020.519 1.595.676 764.369 -831.307

20 54.876.766 1.620.616 764.369 -856.247

21 55.758.700 1.646.303 764.369 -881.934

22 56.667.092 1.672.761 764.369 -908.392

23 57.602.735 1.700.013 764.369 -935.644

24 58.566.448 1.728.082 764.369 -963.713

25 59.329.762 1.756.993 993.680 -763.314

26 60.115.975 1.779.893 993.680 -786.213

27 60.925.775 1.803.479 993.680 -809.800

28 61.759.868 1.827.773 993.680 -834.094

29 62.618.985 1.852.796 993.680 -859.116

30 63.503.875 1.878.570 993.680 -884.890

31 64.415.311 1.905.116 993.680 -911.437

32 65.354.091 1.932.459 993.680 -938.780

33 66.321.034 1.960.623 993.680 -966.943

34 67.316.985 1.989.631 993.680 -995.951

35 68.342.815 2.019.510 993.680 -1.025.830

36 69.399.420 2.050.284 993.680 -1.056.605

37 70.189.619 2.081.983 1.291.784 -790.199

38 71.003.524 2.105.689 1.291.784 -813.905

39 71.841.846 2.130.106 1.291.784 -838.322

40 72.705.318 2.155.255 1.291.784 -863.472

41 73.594.694 2.181.160 1.291.784 -889.376

42 74.510.751 2.207.841 1.291.784 -916.057

43 75.454.290 2.235.323 1.291.784 -943.539

44 76.426.135 2.263.629 1.291.784 -971.845

45 77.427.135 2.292.784 1.291.784 -1.001.000

46 78.458.166 2.322.814 1.291.784 -1.031.030

47 79.520.127 2.353.745 1.291.784 -1.061.961

48 80.613.947 2.385.604 1.291.784 -1.093.820

49 81.353.047 2.418.418 1.679.319 -739.100

50 82.114.320 2.440.591 1.679.319 -761.273

51 82.898.431 2.463.430 1.679.319 -784.111

52 83.706.065 2.486.953 1.679.319 -807.634

53 84.537.928 2.511.182 1.679.319 -831.863

54 85.394.747 2.536.138 1.679.319 -856.819

55 86.277.271 2.561.842 1.679.319 -882.524

56 87.186.270 2.588.318 1.679.319 -908.999

57 88.122.540 2.615.588 1.679.319 -936.269

58 89.086.897 2.643.676 1.679.319 -964.358

59 90.080.186 2.672.607 1.679.319 -993.288

Mes Capital Interés Pago Amortización
60 91.103.272 2.702.406 1.679.319 -1.023.087

61 91.653.256 2.733.098 2.183.114 -549.984

62 92.219.740 2.749.598 2.183.114 -566.483

63 92.803.218 2.766.592 2.183.114 -583.478

64 93.404.200 2.784.097 2.183.114 -600.982

65 94.023.212 2.802.126 2.183.114 -619.012

66 94.660.794 2.820.696 2.183.114 -637.582

67 95.317.503 2.839.824 2.183.114 -656.710

68 95.993.914 2.859.525 2.183.114 -676.411

69 96.690.617 2.879.817 2.183.114 -696.703

70 97.408.221 2.900.719 2.183.114 -717.604

71 98.147.354 2.922.247 2.183.114 -739.132

72 98.908.660 2.944.421 2.183.114 -761.306

73 99.037.871 2.967.260 2.838.049 -129.211

74 99.170.959 2.971.136 2.838.049 -133.088

75 99.308.039 2.975.129 2.838.049 -137.080

76 99.449.232 2.979.241 2.838.049 -141.193

77 99.594.660 2.983.477 2.838.049 -145.428

78 99.744.451 2.987.840 2.838.049 -149.791

79 99.898.736 2.992.334 2.838.049 -154.285

80 100.057.650 2.996.962 2.838.049 -158.914

81 100.221.331 3.001.729 2.838.049 -163.681

82 100.389.922 3.006.640 2.838.049 -168.591

83 100.563.571 3.011.698 2.838.049 -173.649

84 100.742.430 3.016.907 2.838.049 -178.859

85 100.075.239 3.022.273 3.689.463 667.190

86 99.388.033 3.002.257 3.689.463 687.206

87 98.680.211 2.981.641 3.689.463 707.822

88 97.951.154 2.960.406 3.689.463 729.057

89 97.200.226 2.938.535 3.689.463 750.929

90 96.426.770 2.916.007 3.689.463 773.456

91 95.630.110 2.892.803 3.689.463 796.660

92 94.809.550 2.868.903 3.689.463 820.560

93 93.964.373 2.844.286 3.689.463 845.177

94 93.093.841 2.818.931 3.689.463 870.532

95 92.197.193 2.792.815 3.689.463 896.648

96 91.273.646 2.765.916 3.689.463 923.547

97 89.215.553 2.738.209 4.796.302 2.058.093

98 87.095.718 2.676.467 4.796.302 2.119.835

99 84.912.287 2.612.872 4.796.302 2.183.431

100 82.663.354 2.547.369 4.796.302 2.248.933

101 80.346.952 2.479.901 4.796.302 2.316.401

102 77.961.059 2.410.409 4.796.302 2.385.894

103 75.503.588 2.338.832 4.796.302 2.457.470

104 72.972.394 2.265.108 4.796.302 2.531.194

Mes Capital Interés Pago Amortización
105 70.365.264 2.189.172 4.796.302 2.607.130

106 67.679.919 2.110.958 4.796.302 2.685.344

107 64.914.015 2.030.398 4.796.302 2.765.905

108 62.065.133 1.947.420 4.796.302 2.848.882

109 57.691.894 1.861.954 6.235.193 4.373.239

110 53.187.459 1.730.757 6.235.193 4.504.436

111 48.547.890 1.595.624 6.235.193 4.639.569

112 43.769.134 1.456.437 6.235.193 4.778.756

113 38.847.015 1.313.074 6.235.193 4.922.119

114 33.777.233 1.165.410 6.235.193 5.069.782

115 28.555.357 1.013.317 6.235.193 5.221.876

116 23.176.825 856.661 6.235.193 5.378.532

117 17.636.937 695.305 6.235.193 5.539.888

118 11.930.852 529.108 6.235.193 5.706.085

119 6.053.585 357.926 6.235.193 5.877.267

120 0 181.608 6.235.193 6.053.585
g.- Valoración de instrumentos financieros, bonos y acciones.
Bonos: Un bono es un instrumento a un término determinado que en general paga cupones cada determinado periodo de tiempo y al final de su vigencia repaga una cantidad de dinero denominada principal , valor facial o valor nominal:
El valor de un bono es:
i = n

B =  c/(1+r)^i + M/(1+r)^n

i = 1
B = Valor del bono

c = Monto del cupón

n = Número de periodos o término

r = Tasa de descuento (la pone el mercado)

M = Valor facial o valor nominal del bono
Si expresamos c como un porcentaje de M (cuando M, no se especifica, se supone que es 100 %, es decir, los precios de los bonos se especifican en porcentajes de su valor nominal o facial), entonces:
B = [c/r x (1-1/(1+r)^n) + 1/(1+r)^n] x M
Si B > M Se dice que el bono se cotiza a prima

Si B > M Se dice que el bono se cotiza a descuento

Si B = M Se dice que el bono se cotiza a la par
Para que B = M, c deberá ser igual a r, veamos:
Si c = r, tendremos:
B = [1 x (1 – 1/(1+r)^n)+ 1/(1+r)^n} x M
B = [1 – 1/(1+r)^n + 1/(1+r)^n] x M  B = M
Rendimiento al vencimiento o yield to maturity
En ese caso, la determinación se hace por iteraciones sucesivas, es decir, se tiene como dato el valor del bono, su cupón, su valor facial y el número de cupones (B, C, M y n respectivamente) y se busca determinar su rendimiento, esta determinación se efectúa estimando el nivel de la r, si para determinada r el Valor presente del bono es mayor que B, entonces r debe ser incrementada, en caso contrario, r deberá ser disminuida.
Ejemplos:

Determine el valor de un bono con cupón del 8 % anual pagadero en forma semestral, siendo la tasa de rendimiento del mercado del 10 %, hágalo suponiendo que el bono posee los siguientes periodos de vigencia 4 años, 5 años, 10 años y 7 semestres.
K = 2

c = 8 % / K = 0,08 / 2 = 0,04

r = 10 % / K = 0,1 / 2 = 0,05

n1 = 4 x K = 4 x 2 = 8

M = 100 %
B1 = [C / r x (1 – 1 / (1+r)^n) + 1 / (1+r)^n] x M
B1 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^8) + 1 / (1+0,05)^8] x 100 % = 93,54%
n2= 5 x K = 5 x 2 = 10
B2 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^10) + 1 / (1+0,05)^10] x 100 % = 92,28%
n3= 10 x K = 10 x 2 = 20
B3 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^20) + 1 / (1+0,05)^20] x 100 % = 87,54%
n4= 7
B4 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^7) + 1 / (1+0,05)^7] x 100 % = 94,21%
Determine el valor de un bono con cupón del 15 % anual pagadero en forma trimestral, siendo la tasa de rendimiento del mercado del 9 %, hágalo suponiendo que el bono posee los siguientes periodos de vigencia 3 años, 6 años, 8 años y 9 semestres.
K = 4

c = 15 % / K = 0,15 / 4 = 0,0375

r = 9 % / K = 0,09 / 4 = 0,0225

n1 = 3 x K = 3 x 4 = 12

M = 100 %
B1 = [c / r x (1 – 1 / (1+r)^n) + 1 / (1+r)^n] x M
B1 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^12) + 1 / (1+0,0225)^12] x 100 % = 115,62%
n2= 6 x K = 6 x 4 = 24
B2 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^24) + 1 / (1+0,0225)^24] x 100 % = 127,58%
n3= 8 x K = 8 x 2 = 16
B3 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^16) + 1 / (1+0,0225)^16] x 100 % = 119,97%
n4= 9 /2 x K = 4,5 x 4 = 18
B4 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^18) + 1 / (1+0,0225)^18] x 100 % = 122,00%
Determine el rendimiento al vencimiento de un bono a 9 años con cupones mensuales y cupón de 3,6 % anual, cuyo precio es de 75 %.
B = [c / r x (1 – 1 /(1+r)^n) + 1 / (1+r)^n] M
K = 12

c = 3,6 % / 12 = 0,003

n = 9 x 12 = 108
La r entonces de determina por aproximaciones sucesivas, sabemos que r debe ser mayor a 3,6 % anual pues el bono se cotiza a descuento.
Probemos con 6 % anual:

r = 0,06 / 12 = 0,005

B = [0,003 / 0,005 x (1- 1 / (1+0,005)^108) + 1 / (1 + 0,005)^108] = 83,34%
Sabemos entonces que un incremento de la tasa anual del 2,4 % (6 % - 3,6 % = 2,4 %) representa una baja en el precio del bono del 16,64 % (recuerde que si la tasa es del 3,6 % anual, el precio del bono sería del 100 %), es decir, cada punto en incremento en tasa bajará en aproximadamente 6,9 % el valor del bono (16,64 / 2,4 = 6,93), para llegar al 75 %, deberemos entonces subir la tasa r en aproximadamente un 2 % adicional, probemos entonces con 8 % anual:
r = 0,08 /12 = 0,00667

B = [0,003 / 0,00667 x (1- 1 / (1+0,00667)^108) + 1 / (1 + 0,00667)^108] = 71,84%
En estos niveles de tasas, tenemos que el precio del bono bajó de 83,34 % a 71,84 %, es decir, una diferencia del 11,5 %, mientras que la tasa subió un 2 %, el bono varía 5,75 % por cada punto que se varíe la tasa de interés, para llegar al precio requerido tendremos que bajar la tasa en (75 – 71,84) / 5,75 = 3,16 / 5,75 = 0,55
Bajemos la tasa al 7,45 % = 8 % - 0,55 % anual para subir el precio del bono
r = 0,0745 /12 = 0,006208

B = [0,003 / 0,006208 x (1- 1 / (1+0,006208)^108) + 1 / (1 + 0,006208)^108] = 74,81 %
Ahora se tiene que el precio varió de 71,84 a 74,81 y que la tasa bajó 0,55 , entonces, dividimos 2,97 / 0,55 = 5,4, necesitamos que la tasa varíe 0,19 %, 0,19 / 5,4 = 0,035, la tasa deberá ser 7,45 – 0,035 = 7,415 %
r = 0,07415 / 12 = 0,00618

B = [0,003 / 0,00618 x (1- 1 / (1+0,00618)^108) + 1 / (1 + 0,00618)^108] = 75.00 %

Bonos, precio sucio y precio limpio:
El precio sucio se determina considerando que el bono está en la fecha del pago del último cupón previo al momento actual, a esto se le sumará el monto del cupón transcurrido.
El precio limpio se determina sencillamente fraccionando el periodo remanente y utilizando fracciones de tasas de interés.
Fecha de hoy 30/12/05 Indique el valor de un bono de Caterpillar que vence el 15/01/2010, cuya tasa de descuento es del 4,759 % anual, los cupones son del 4 % anual y se pagan semestralmente.
Paso 1:
Se calcula el valor del bono a la fecha del pago del último cupón, para eso, se contabilizan los cupones:
Cupones:

06 : 2

07 : 2

08 : 2

09 : 2

10 : 1
n = 9

c = 0,04 / 2 = 0,02

r = 0,04759 / 2 = 0,023795
B = C / r x (1 – 1/(1+r)^n) + 1 /(1+r)^n
B = 0,02 / 0,023795 x (1 – 1/(1+0,023795)^9) + 1/(1+0,023795)^9 = 96,96%
Para el cupón transcurrido deberemos calcular los días comerciales del cupón en curso
Julio 15

Agosto 30

Septiembre 30

Octubre 30

Noviembre 30

Diciembre 30
Días transcurridos = 165
Días transcurridos x cupón anual / 360 = 165 x 0,04 / 360 = 1,83%
Precio a pagar = 96,66 % + 1,83 % = 98,50 % (recuerden que en 17 días se cobra el cupón)


Precio limpio:
Se toman simplemente los flujos de caja futuros del bono, fraccionando los periodos restantes:
B = C / r x (1 – 1/(1+r)^n) + 1 /(1+r)^n
Periodos restantes: 8 + (180-165) / 180 =
B = 0,02 / 0,023795 x (1 – 1/(1+0,023795)^8.0833) + 1/(1+0,023795)^8.0833 = 97,24%

Bono cero cupón: este es un bono que carece de cupones, es decir, se comporta como un pago único al final de la vigencia del bono, en este caso, la fórmula de cálculo es:
B = M / (1+r)^n
Por ejemplo, siendo la tasa de interés de entre 8 y 10 años del 4,5 %, el precio de un bono que vence el 3 de Marzo de 2015 siendo hoy es el 7 de Febrero de 2006, será de :
Calculemos primero el periodo faltante para el vencimiento:
Años: 8 (de 2007 a 20014)

Meses: 2 + 10 = 12 = 1 año

Días: 23 + 3 = 26 / 360 = 0,0722 años
Total = 9,0722 años
B = 1 / (1 + 0,045)^9,0722 = 67,08%
Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 7 Ejemplos: 7.10, 7.11, 7.16, 7.17, Problemas: 7.13, 7.14, 7.24, 7.25, 7.26
Valoración de acciones:
Cuando un inversionista adquiere una acción, lo hace con dos intenciones:
1.- Ganar dividendos

2.- Vender la acción a un precio superior al inicial
P0 = div1 / (1+r) + P1 / (1+r) =
P0 = (div1 + P1) / (1 + r)
Ahora bien, si el inversionista decide mantener la acción un año más, el precio sería
P0 = (div1 + ((div2 + P2) / (1+r))/(1+r)
En la medida en que alejemos más el momento de la venta, se tendrá:
P0 = div1 /(1+r) + div2/(1+r)^2 + div3/(1+r)^3+...+divh/(1+r)^h + Ph/(1+r)^h
Si h se acerca a infinito, se tendrá una perpetuidad, equivalente al dividendo pagado descontado a la tasa r, en caso de tener dividendos constantes:
P = div1 / r
Si el dividendo crece a partir del año 2 a una tasa g, se tendrá entonces:
P = div1 / (r – g) (Ver demostración de perpetuidad con crecimiento).
Por otro lado se tiene que una empresa se puede valorar en función del valor presente de sus futuros beneficios:
P = Ganancias / r
Sin embargo, la empresa puede crecer, luego,
P = Ganancias / r + Valor presente de las oportunidades de crecimiento
Las empresas en general no pagan en dividendos todas sus ganancias, sino que más bien dejan un porcentaje importante de sus beneficios para reinversión.
div = Ganancias x (1 – índice de reinversión)
Ganancias = div / (1- índice de reinversión)
Esta reinversión hace que la empresa tenga un patrimonio mayor, suponiendo que el porcentaje de ganancias sobre el patrimonio se mantenga, las ganancias de la empresa crecerán en el mismo porcentaje que su patrimonio .
g = ganancias / patrimonio x índice de reinversión
Ganancias div

------------- + VP Oportunidades de crecimiento = --------

r r – g
VP Oportunidades de crecimiento = div /(r-g) - Ganancias por acción / r
Por ejemplo, una acción posee unas ganancias sobre patrimonio del 20 %, reinvierte un 40 % de sus ganancias y paga dividendos de 4 al año. Si la tasa de descuento del mercado es 10 %, ¿cual deberá ser el precio de la acción? ¿qué porcentaje corresponde a oportunidades de crecimiento?
Ganancias sobre patrimonio = 0,2

Índice de reinversión = 0,4
g = 0,2 * 0,4 = 0,08
VP = 4 / (0,1 – 0,08) = 200
Ganancias por acción = 4 / (1 - 0,4) = 6,67
VP Oportunidades de crecimiento = 4 / (0,1 – 0,08) .- 6,67 / 0,08 = 116,67
Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 7 Ejemplos: 7.12, 7.13, 7.14, 7.15, 7.18, 7.19 Problemas: 7.15, 7.16, 7.17, 7.18, 7.19, 7.21, 7.22, 7.23
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