Bibliografía: Shim y siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16
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Universidad Simón BolívarPostgrado en GerenciaEspecialización en Gerencia financieraMatemáticas FinancierasTema 1: Valor presente e interesesSemana 1: a.- Contabilización de fechas: calendario astronómico / calendario comercial b.- Tasa de interés simple: valor presente, valor futuro, tiempo e intereses.. Semana 2: c.- Tasa de interés compuesta: capitalización, valor presente, valor futuro, tiempo e intereses. d.- Perpetuidades, cálculo de perpetuidades en base a la fórmula de interés compuesta. Semana 3: e.- Fórmula de anualidades en base a la fórmula de perpetuidades. f.- Tablas de amortización Semana 4 g.- Valoración de instrumentos financieros, bonos y acciones. Semana 5: Parcial Tema 2: RiesgoSemana 6: a.- Riesgo y comportamiento de las acciones, determinación de varianzas y covarianzas Semana 7: b.- Cálculo del rendimiento esperado de una acción en base a su riesgo, modelo CAPM Semana 8: c.- Correlación y diseño de portafolios Semana 9: Trabajos y exposiciones Tema 3: OpcionesSemana 10: a.- Definición de opciones calls y puts, b.- Valoración de mercado Semana 11: c.- Determinación del valor de opciones mediante el modelo binomial d.- Determinación del valor de opciones mediante el método Black -Scholes Semana 12: Trabajos y exposiciones Evaluación: Primer parcial 40 %, trabajos-exposiciones 30 % c/u Bibliografía: Shim Y Siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16 Hernández, Hernández: Matemáticas financieras, teoría y práctica. http://biz.yahoo.com/opt/basics1.html http://biz.yahoo.com/opt/basics2.html http://biz.yahoo.com/opt/basics3.html http://biz.yahoo.com/opt/basics4.html http://biz.yahoo.com/opt/basics5.html Formulario y teoría: Tema 1: a.- Fechas : En un instrumento financiero, la contabilización de fechas puede hacerse de dos formas: Calendario astronómico: En ese caso, los días se contabilizan en función a la diferencia entre dos fechas, es decir, el periodo transcurrido entre el inicio y el fin del instrumento. Calendario comercial: En el calendario comercial el año posee 360 días y los meses tienen 30 días cada uno, la contabilización de días se hace restando primero los meses y luego los días: Ejemplo: del 15 de Enero de 2006 al 28 de Octubre de 2006: Calendario astronómico: Enero: 16 Febrero: 28 Marzo: 31 Abril: 30 Mayo: 31 Junio: 30 Julio: 31 Agosto: 31 Septiembre: 30 Octubre: 28 Total: 286 días (el mismo resultado de restar ambas fechas en una hoja de cálculo) Calendario comercial: Enero: 15 Febrero: 30 Marzo: 30 Abril: 30 Mayo: 30 Junio: 30 Julio: 30 Agosto: 30 Septiembre: 30 Octubre: 28 Total: 283 días (recuerden, el año tiene solamente 360 días y no 365) Otro ejemplo (Si el día de finiquito de la operación es inferior al día de inicio) del 27 de Febrero de 2006 al 12 de Agosto de 2006. Calendario astronómico: Febrero: 1 Marzo: 31 Abril: 30 Mayo: 31 Junio: 30 Julio: 31 Agosto: 12 Total: 166 días (el mismo resultado de restar ambas fechas en una hoja de cálculo) Calendario comercial: Febrero: 3 Marzo: 30 Abril: 30 Mayo: 30 Junio: 30 Julio: 30 Agosto: 12 Total: 165 días (recuerden, el año tiene solamente 360 días y no 365) b.- Tasa de interés simple: VP = C / (1 + r x n) VP: Valor presente C: Valor futuro o flujo de caja final r: Tasa de interés (En función al periodo de tiempo) n: Tiempo (Periodos de tiempo) C = VP x (1 + r x n) r = (C / VP – 1) / n n = (C / VP – 1 )/ r Interés devengado = C – VP Ejemplos: Depositamos Bs. 1.100.000 a 6 meses con una tasa de interés anual simple del 30 %, ¿Cuánto dinero tenemos al final? VP = 1.100.000 r = 30 % = 0,3 n = 6 / 12 = 0,5 C = VP x (1 + r x n) = 1.100.000 x (1 + 0,5 x 0,3) = 1.265.000 Cuánto dinero hubiésemos tenido que depositar a una tasa del 25 % anual durante 9 meses para obtener un saldo final de Bs. 8.000.000 C = 8.000.000 r = 25 % = 0.25 n = 9 meses = 9 /12 años = 0,75 años VP = C / (1 + r x n) = 8.000.000 /( 1 + 0,25 x 0,75) = 6.736.842,11 A qué plazo deben ser depositados 5 millones de bolívares al 36 % anual para obtener Bs. 5.900.000 VP = 5.000.000 C = 5.900.000 r = 36 % = 0,36 n = (VP / C – 1 )/ r n = (5.900.000 / 5.000.000 – 1)/ 0.36 n = 0,5 años = 6 meses A qué tasa debe efectuarse un depósito de Bs. 2.000.000 a 3 meses para que se obtenga un saldo final de Bs. 2.400.000 VP = 2.000.000 C = 2.400.000 n = 3 meses = 3 / 12 = 0,25 años r = (VP / C – 1) / n r = (2.400.000 / 2.000.000 –1) / 0,25 r = 0,8 = 80 % Indique el monto final de un depósito de Bs. 3.000.000 a efectuarse el día 18 de Enero de un año no bisiesto hasta el 14 de Agosto del mismo año, la tasa es del 25 % anual, utilice ambas alternativas para contabilizar los días y explique la diferencia: (*)n = días / base Calendario astronómico VP = 3.000.000 n = (13+28+31+30+31+30+31+14)/365 = 208/365 r = 25 % = 0,25 C = VP x (1 + r x n) C = 3.000.000 x (1 + 0,25 x 208 / 365) = 3.427.397,26 Calendario comercial VP = 3.000.000 n = (12+30*6+14)/360 = 206/360 r = 25 % = 0,25 C = VP x (1 + r x n) C = 3.000.000 x (1 + 0,25 x 206 / 360) = 3.429.166,67 Conclusión, es mejor pedir prestado con base 365 y prestar con base 360... El banco le presta Bs. 26.000.000 con intereses cobrados por adelantado a 91 días, la tasa establecida por el banco, es del 17 %, indique el monto a recibir, utilice calendario comercial. C = 26.000.000 r = 17 % = 0,17 n = 91 / 360 VP = C / (1 + r x n) VP = 26.000.000 / (1 + 0,17 x 91 / 360) = 24.928.756 Ejercicios sugeridos: Hernández Hernández Pags. 117 a 130 c.- Tasa de interés compuesta: capitalización, valor presente, valor futuro, tiempo e intereses. VP = C / (1 + r )^n VP: Valor presente C: Valor futuro o flujo de caja final r: Tasa de interés (En función al periodo de tiempo) n: Tiempo (Periodos de tiempo) C = VP x (1 + r) ^ n r = (C / VP)^(1/n) – 1 n = Ln(C/VP)/Ln(1+r) Interés devengado = C – VP Varias capitalizaciones: N = Periodo en años R= Tasa de Interés anual K: Número de capitalizaciones por año r = R / K n=N*K Tasa nominal y tasa efectiva De nominal anual a efectiva anual: Ref = (1+Rno/K)^K - 1 Ref: Tasa anual efectiva Rno: Tasa anual nominal De efectiva anual a nominal anual: Rno = ((Ref + 1)^(1/K)-1) x K Capitalizaciones Semestral: K=2 Trimestral: K= 4 Mensual: K=12 Diaria: K=365 Continua: K = Infinito Ejemplo Siendo Rno= 30 % Determine Ref en cada caso: Semestral: K=2 Ref=(1+0,3/2)^2-1 = 32,25% Trimestral: K= 4 Ref=(1+0,3/4)^4-1 = 33,55% Mensual: K=12 Ref=(1+0,3/12)^12-1 = 34,49% Diaria: K=365 Ref=(1+0,3/365)^365-1 = 34,97% Continua: K = Infinito Ref= e^r-1 = 34,99% Siendo Ref=40 % Determine Rno en cada caso Semestral: K=2 Rno=((0,4+1)^(1/2)-1)x2 = 36,64% Trimestral: K= 4 Rno=((0,4+1)^(1/4)-1)x4 = 35,10% Mensual: K=12 Rno=((0,4+1)^(1/12)-1)x12 = 34,12% Diaria: K=365 Rno=((0,4+1)^(1/365)-1)x365 = 33,66% Continua: K = Infinito Rno= ln(1+Rfe) = 33,65% Depositamos Bs. 1.100.000 a 6 meses con una tasa de interés anual efectiva del 30 %, ¿Cuánto dinero tenemos al final? VP=1.100.000 n= 6 meses = 0,5 años Ref= 30% = 3,3 Rno=((0.3+1)^(1/2)-1)*2 = 0,2804 = 28,04% C = VP(1 + Rno x n) C = 1.100.000(1 + 0,2804 x 0,5) = 1.254.193 O también: C = VP(1 + Rfe)^n C = 1.100.000 ( 1 + 0,3)^(1/2) = 1.254.193 Tasa efectiva Interés compuesto Tasa nominal Interés simple ¿Cuánto valen en dinero de hoy Bs. 15.000.000 a ser recibidos dentro de tres años si la tasa anual es del 28 %? VP = C / (1 + r)^n C = 15.000.000 n = 3 r = 28 % = 0,28 VP = 15.000.000 / (1 + 0,28)^3 = 7.152.557 Si deseamos invertir nuestras utilidades de Bs. 5.000.000 al 21 % nominal capitalizables mensualmente, ¿cuánto dinero tendremos al cabo de 4 años? C = VP(1+Rfe)^n Hay dos vías: Dividiendo la tasa nominal anual y obtener la tasa efectiva mensual VP = 5.000.000 n = 48 r = 21%/12 = 0,21/12 = 0,0175 C=VP (1+r)^n C = 5.000.000 ( 1 + 0,0175)^48 = 11.497.994 Obteniendo la tasa efectiva anual en base a la tasa nominal anual VP = 5.000.000 n = 4 Rno= 21 % = 0,21 Ref = (1+Rno/K)^K – 1 Ref = (1+0,21/12)^12 – 1 = 0,2314 = 23,14% C = VP(1+r)^n C = 5.000.000(1+0,2314)^4 = 11.497.994 Invertimos Bs. 18.000.000 y al final de 17 meses, tenemos Bs. 34.000.000, indique las tasas de interés efectiva y nominal anual. r = (C/VP)^(1/n) –1 r = (34.000.000 / 18.000.000)^(1/17) – 1 = 0,03812 K = 12 (capitalización mensual) Ref = (1 + r) ^ K Ref = (1 + 0,03812)^12 = 0,5666 = 56,66% Rno = r x K Rno = 0,3812 x 12 = 0,4574 = 45,74% A la tasa del 24 % anual nominal, capitalizable mensualmente, cuánto tiempo será necesario para convertir Bs. 15 Millones en Bs. 35.147.840 Dos formas, Hacerlo en meses: K = 12 r = Rno/K r = 24 %/12 = 2 % n = Ln(C/VP)/Ln(1+r) n = Ln(35.147.840/15.000.000)/Ln(1+0,02) = 43 Hacerlo en años Ref = (1+Rno/K)^K – 1 Ref = (1+0,24/12)^12 - 1 Ref = 0,2682 = 26,82% n = Ln(35.147.840/15.000.000)/Ln(1+0.2684) = 3,5833 años = 43 meses Ejercicios sugeridos: Hernández Hernández Pags. 192 a 197 d.- Perpetuidades Una perpetuidad es un flujo de caja que se repite en forma recurrente e infinita al final de cada periodo de tiempo, expresado en forma matemática: Perpetuidad = C / (1 + r) + C / (1 + r)^2 + C / (1 + r) ^ 3 +...+ C / (1 + r) ^ infinito ¿Cuál es el valor presente de una perpetuidad?: i=oo VP = (1/(1+ r) ^ n ) x C i =1 Si ahora multiplicamos la sumatoria por el factor (1+r), se tendrá: i=oo i=oo 1/(1+ r) ^ n x (1 + r) = 1 + 1/(1+ r) ^ n i=1 i=1 i=oo i=oo i=oo i=1 i=1 i=1 i=oo r x 1/(1+ r) ^ n = 1 i=1 i=oo 1/(1+ r) ^ n = 1 / r i=1 VP = 1 / r x C VP = C / r ¿Cuál es el valor de un pago anual de Bs. 10 Millones si la tasa de descuento es del 20 % anual? C =10.000.000 r = 20 % = 0,2 VP = C / r VP = 10.000.000 / 0,2 = 50.000.000 Perpetuidades crecientes: Veamos ahora, qué ocurre si el monto de la perpetuidad no es un valor constante sino más bien crece en forma exponencial, con un factor constante = g, a partir del periodo 2 Por un razonamiento análogo a la demostración anterior, el valor de una perpetuidad en donde g < r, pero cuyo crecimiento arranca el periodo 1, es: i=oo 1 1 Perpetuidad = (1+g)^n/(1+ r) ^ n = ________ = __________ = (1+g)/(r-g) i=1 (1 + r) ______- 1 __________ (1 + g) (1 + g) Entonces, si el crecimiento comienza el periodo 2, tendremos la misma serie, pero con todos sus términos divididos entre 1+g, luego, el valor de una perpetuidad con crecimientos a partir del periodo 2, sería: Perpetuidad con crecimiento g = ______ x ______ = 1 / (r – g) (r – g) VP = C/(r-g) Ejemplo: Supongamos que Usted recibirá una perpetuidad de Bs. 5.000.000 al año, con incremento del 15 % a partir del segundo año, si la tasa de descuento es del 20 % anual, indique el valor de su perpetuidad. VP = C/(r-g) C = 5.000.000 r = 20 % = 0,2 g = 15 % = 0,15 VP = 5.000.000 / (0,2 - 0,15) = 5.000.000 / 0,05 = 100.000.000 ¿Cuál sería el valor de la misma perpetuidad si el gradiente de crecimiento fuera cero? C = 5.000.000 r = 20 % = 0,2 g = 0 VP = 5.000.000 / (0,2 - 0) = 5.000.000 / 0,2 = 20.000.000 e.- Fórmula de anualidades en base a la fórmula de perpetuidad Una anualidad o pago periódico, no es sino una perpetuidad que se detiene en un momento, para explicarlo mejor, imagínese que Usted decide firmar una hipoteca a perpetuidad, es decir, haciendo pagos por siempre para financiar un capital, si decide cortar los pagos en algún momento, el valor de los pagos realizados sería el valor de la perpetuidad menos, el valor de la perpetuidad que resta a partir del momento en que deja Usted de pagar, en fórmula: VP Anualidad = C / r – C / r ________ (1 + r)^n VP Anualidad = C / r x (1 – 1 / (1+r)^n) C = Monto del pago de cada anualidad r = Tasa de interés aplicada n = Tiempo o número de periodos de tiempo En las anualidades, no se habla de tasa efectiva, se entiende que siempre se presentan tasas nominales, esto aunque suene extraño, siempre incrementará el valor de la anualidad. En palabras sencillas, la R anual siempre se divide entre K para obtener la r asociada a los periodos de los pagos. La n siempre estará referida al número de pagos y la C al monto de cada pago. La fórmula se refiere a anualidades vencidas, es decir, se supone que los pagos se efectúan al final de cada periodo de tiempo. Derivaciones de la fórmula : C = VP x r / (1 – 1/(1+r)^n) n = Ln(1/(1-VP/C x r )/Ln(1+r) Cuando el pago de la anualidad o cuota es adelantado, la fórmula se multiplica por (1+r) VP Anualidad adelantada = C/r x ( 1 – 1/(1+r)^n) x (1 + r) Ejemplos: Determine los pagos mensuales por un préstamo de Bs. 40.000.000 a 30 meses, siendo el interés anual del 30 % C = VP / (1 – 1/(1+r)^n) r = 0,3/ 12 = 0,025 C = 40.000.000 / (1 – 1/(1+ 0,025)^30) = 1.911.106 Cual es el pago mensual por un vehículo cuyo precio es de Bs. 50,000,000 financiado a 36 meses al 21 % anual (simple) y con 20 % de inicial ? Cuanto subirían los pagos si al cabo de seis meses, las tasas suben al 36 % ? Paso 1 Determinar el monto de los pagos mensuales VP = C/r x [ 1 - 1/(1+r)^n] Luego: n = 36 meses C = VP x r ----------------- (1-1/(1+r)^n) r = R / 12 = 0.21 / 12 = 0,0175 PV = Monto Financiado - Inicial = 50.000.000 - 10.000,000 = 40.000.000 C = 40.000.000 x 0,0175 -------------------------- = 1.507.003 Pago Mensual (1-1/(1+0,0175)^36 Cuanto subirán las cuotas si en seis meses, las tasas suben al 36 % ? VP = C/ r x [ 1 - 1/(1+r)^n] r = 0,0175 n = 36 - 6 = 30 VP = 1.507.003 ----------------- x [1-1/(1+,0175)^30] = 34.941.137 Deuda a los 6 meses 0,0175 C = VP x r ----------------- (1-1/(1+r)^n) r = R / 12 = 0,36 / 12 = 0,03 n = 30 PV = 34.941.137 C = 34.941.137 x 0,03 ------------------------ = 1.782.671 Nuevo Pago Mensual (1-1/(1+0.03)^30 Monto del Incremento = 275.668 Un individuo tiene 30 años y un salario anual de USD 20.000 el proyecta que su salario se incrementará en 5 % durante los próximos 30 años, si la tasa de descuento es del 8 %. Cual es el valor presente de sus futuros pagos salariales ? Si el Sr. ahorra el 5 % de su salario, cuanto dinero tendrá en el año 30 ?(Tasa de rendimiento 8 %) Si después del año 30 decide gastar sus ahorros en cantidades iguales durante los próximos 20 años. Cuanto podrá gastar anualmente ? (Tasa de rendimiento 8 %) C VP = -- x [ 1 - 1/(1+r)^n] r C = 20.000 n = 30 r* = r - g = 8 % - 5 % = 3,00% VP = 20.000 ---------- x [1 - 1/(1+0.03)^30] = 392.000 Valor presente de salario futuro 0,0300 Valor Pte. del 5 % de sus pagos = 392.009 x 0.05 = 19.600 Valor del 5 % en el año 30 = 19.600 x (1 + 0.08)^30 = 197.233 (Interés compuesto) Cálculo de anualidades a partir del año 30 C = VP x r 197.233 x 0.08 ----------------- = ---------------------------- = 20.089 (1-1/(1+r)^n) (1-1/(1+.08)^20 Determine el plazo de una anualidad de Bs. 749.430, si el monto del capital es de Bs. 8.000.000 y la tasa es del 8 % VP = 8.000.000 r = 8 % = 0,08 C = 749.430 n = Ln(1/(1-VP/C x r )/Ln(1+r) n = Ln(1/(1- 8.000.000 / 749.430 x 0,08) / Ln(1 + 0,08) = 25 meses Ejercicios sugeridos: Hernández Hernández Pags. 437 a 443 + Práctica (en la página web) f.- Tablas de amortización: Una tabla de amortización es el equivalente a detallar en forma explícita los resultados de una anualidad, es decir, mostrar de manera clara, el monto del saldo de capital, intereses y el monto amortizado: Fórmulas: VP o VP0 = Saldo de capital inicial VPm = Saldo de capital al periodo m r = Tasa de interés Cm = Pago del mes m Im = Monto pagado en intereses durante el periodo m Am = Monto de capital amortizado durante el periodo VPm+1 = VPm (1 + r) – Cm Im = VPm x r Am = Cm – Im VPm+1 = VPm – Cm + Im Cm en condiciones normales se determina en base a la fórmula de anualidades (ya visto), sin embargo, cuando hablamos de tablas de amortización, el monto del pago puede haber sido definido en forma independiente a lo determinado por la fórmula y lo relevante es la deuda al comienzo del periodo siguiente (ejemplo, pagos especiales). Es importante notar que si el monto de Im > Cm, el monto del capital subirá. Ejemplo: Determine los pagos mensuales y prepare una tabla de amortización de préstamo a 15 años por Bs. 200.000.000 al 18 % anual con pagos especiales anuales de Bs. 8.000.000 Paso 1: Calculamos el valor presente de los pagos anuales especiales C = 8.000.000 n = 15 Rno = 18% K = 12 Ref = (1+Rno/K)^K-1 Ref = 19,56% VP1 = C/r x (1-1/(1+r)^n) VP1 = 8.000.000 x (1 - 1/(1+0,1956)^15) VP1 = 38.091.898 Con el valor presente estimamos el monto a financiar en pagos mensuales n = N x K = 15 x 12 = 180 r = Rno / K = 0,18 / 12 = 0,015 VP2 = 200.000.000 - 38.091.898 = 161.908.102 C = VP x r / (1 - 1/(1+r)^n) C = 161.908.102 x 0,015 / (1 - 1 / (1 + 0,015)^180) C = 2.607.402 Tabla de amortización Mes Capital Interés Pago Amortización 0 200.000.000 1 200.392.598 3.000.000 2.607.402 -392.598 2 200.791.085 3.005.889 2.607.402 -398.487 3 201.195.549 3.011.866 2.607.402 -404.464 4 201.606.080 3.017.933 2.607.402 -410.531 5 202.022.769 3.024.091 2.607.402 -416.689 6 202.445.708 3.030.342 2.607.402 -422.939 7 202.874.992 3.036.686 2.607.402 -429.283 8 203.310.715 3.043.125 2.607.402 -435.723 9 203.752.973 3.049.661 2.607.402 -442.259 10 204.201.866 3.056.295 2.607.402 -448.892 11 204.657.492 3.063.028 2.607.402 -455.626 12 197.119.952 3.069.862 10.607.402 7.537.540 13 197.469.349 2.956.799 2.607.402 -349.397 14 197.823.987 2.962.040 2.607.402 -354.638 15 198.183.945 2.967.360 2.607.402 -359.958 16 198.549.302 2.972.759 2.607.402 -365.357 17 198.920.139 2.978.240 2.607.402 -370.837 18 199.296.539 2.983.802 2.607.402 -376.400 19 199.678.585 2.989.448 2.607.402 -382.046 20 200.066.362 2.995.179 2.607.402 -387.777 21 200.459.955 3.000.995 2.607.402 -393.593 22 200.859.452 3.006.899 2.607.402 -399.497 23 201.264.942 3.012.892 2.607.402 -405.490 24 193.676.514 3.018.974 10.607.402 7.588.428 25 193.974.259 2.905.148 2.607.402 -297.746 26 194.276.471 2.909.614 2.607.402 -302.212 27 194.583.216 2.914.147 2.607.402 -306.745 28 194.894.562 2.918.748 2.607.402 -311.346 29 195.210.578 2.923.418 2.607.402 -316.016 30 195.531.335 2.928.159 2.607.402 -320.757 31 195.856.903 2.932.970 2.607.402 -325.568 32 196.187.354 2.937.854 2.607.402 -330.451 33 196.522.762 2.942.810 2.607.402 -335.408 34 196.863.202 2.947.841 2.607.402 -340.439 35 197.208.748 2.952.948 2.607.402 -345.546 Mes Capital Interés Pago Amortización 36 189.559.477 2.958.131 10.607.402 7.649.271 37 189.795.467 2.843.392 2.607.402 -235.990 38 190.034.997 2.846.932 2.607.402 -239.530 39 190.278.119 2.850.525 2.607.402 -243.123 40 190.524.889 2.854.172 2.607.402 -246.770 41 190.775.360 2.857.873 2.607.402 -250.471 42 191.029.588 2.861.630 2.607.402 -254.228 43 191.287.630 2.865.444 2.607.402 -258.042 44 191.549.543 2.869.314 2.607.402 -261.912 45 191.815.384 2.873.243 2.607.402 -265.841 46 192.085.212 2.877.231 2.607.402 -269.829 47 192.359.088 2.881.278 2.607.402 -273.876 48 184.637.072 2.885.386 10.607.402 7.722.016 49 184.799.226 2.769.556 2.607.402 -162.154 50 184.963.813 2.771.988 2.607.402 -164.586 51 185.130.868 2.774.457 2.607.402 -167.055 52 185.300.428 2.776.963 2.607.402 -169.561 53 185.472.533 2.779.506 2.607.402 -172.104 54 185.647.219 2.782.088 2.607.402 -174.686 55 185.824.525 2.784.708 2.607.402 -177.306 56 186.004.491 2.787.368 2.607.402 -179.966 57 186.187.156 2.790.067 2.607.402 -182.665 58 186.372.561 2.792.807 2.607.402 -185.405 59 186.560.747 2.795.588 2.607.402 -188.186 60 178.751.756 2.798.411 10.607.402 7.808.991 61 178.825.631 2.681.276 2.607.402 -73.874 62 178.900.613 2.682.384 2.607.402 -74.982 63 178.976.720 2.683.509 2.607.402 -76.107 64 179.053.969 2.684.651 2.607.402 -77.249 65 179.132.376 2.685.810 2.607.402 -78.407 66 179.211.959 2.686.986 2.607.402 -79.584 67 179.292.737 2.688.179 2.607.402 -80.777 68 179.374.726 2.689.391 2.607.402 -81.989 69 179.457.944 2.690.621 2.607.402 -83.219 70 179.542.411 2.691.869 2.607.402 -84.467 71 179.628.145 2.693.136 2.607.402 -85.734 72 171.715.165 2.694.422 10.607.402 7.912.980 73 171.683.491 2.575.727 2.607.402 31.675 74 171.651.341 2.575.252 2.607.402 32.150 75 171.618.709 2.574.770 2.607.402 32.632 76 171.585.588 2.574.281 2.607.402 33.122 77 171.551.969 2.573.784 2.607.402 33.618 78 171.517.847 2.573.280 2.607.402 34.123 79 171.483.212 2.572.768 2.607.402 34.634 80 171.448.058 2.572.248 2.607.402 35.154 Mes Capital Interés Pago Amortización 81 171.412.377 2.571.721 2.607.402 35.681 82 171.376.160 2.571.186 2.607.402 36.216 83 171.339.401 2.570.642 2.607.402 36.760 84 163.302.090 2.570.091 10.607.402 8.037.311 85 163.144.219 2.449.531 2.607.402 157.871 86 162.983.980 2.447.163 2.607.402 160.239 87 162.821.338 2.444.760 2.607.402 162.642 88 162.656.255 2.442.320 2.607.402 165.082 89 162.488.697 2.439.844 2.607.402 167.558 90 162.318.625 2.437.330 2.607.402 170.072 91 162.146.003 2.434.779 2.607.402 172.623 92 161.970.791 2.432.190 2.607.402 175.212 93 161.792.950 2.429.562 2.607.402 177.840 94 161.612.442 2.426.894 2.607.402 180.508 95 161.429.227 2.424.187 2.607.402 183.215 96 153.243.263 2.421.438 10.607.402 8.185.964 97 152.934.510 2.298.649 2.607.402 308.753 98 152.621.126 2.294.018 2.607.402 313.384 99 152.303.040 2.289.317 2.607.402 318.085 100 151.980.184 2.284.546 2.607.402 322.857 101 151.652.484 2.279.703 2.607.402 327.699 102 151.319.870 2.274.787 2.607.402 332.615 103 150.982.265 2.269.798 2.607.402 337.604 104 150.639.597 2.264.734 2.607.402 342.668 105 150.291.789 2.259.594 2.607.402 347.808 106 149.938.764 2.254.377 2.607.402 353.025 107 149.580.443 2.249.081 2.607.402 358.321 108 141.216.748 2.243.707 10.607.402 8.363.695 109 140.727.597 2.118.251 2.607.402 489.151 110 140.231.109 2.110.914 2.607.402 496.488 111 139.727.173 2.103.467 2.607.402 503.936 112 139.215.679 2.095.908 2.607.402 511.495 113 138.696.512 2.088.235 2.607.402 519.167 114 138.169.557 2.080.448 2.607.402 526.954 115 137.634.698 2.072.543 2.607.402 534.859 116 137.091.817 2.064.520 2.607.402 542.882 117 136.540.792 2.056.377 2.607.402 551.025 118 135.981.502 2.048.112 2.607.402 559.290 119 135.413.822 2.039.723 2.607.402 567.680 120 126.837.627 2.031.207 10.607.402 8.576.195 121 126.132.789 1.902.564 2.607.402 704.838 122 125.417.379 1.891.992 2.607.402 715.410 123 124.691.238 1.881.261 2.607.402 726.141 124 123.954.204 1.870.369 2.607.402 737.034 125 123.206.115 1.859.313 2.607.402 748.089 Mes Capital Interés Pago Amortización 126 122.446.805 1.848.092 2.607.402 759.310 127 121.676.105 1.836.702 2.607.402 770.700 128 120.893.844 1.825.142 2.607.402 782.261 129 120.099.849 1.813.408 2.607.402 793.994 130 119.293.945 1.801.498 2.607.402 805.904 131 118.475.952 1.789.409 2.607.402 817.993 132 109.645.689 1.777.139 10.607.402 8.830.263 133 108.682.972 1.644.685 2.607.402 962.717 134 107.705.815 1.630.245 2.607.402 977.158 135 106.714.000 1.615.587 2.607.402 991.815 136 105.707.308 1.600.710 2.607.402 1.006.692 137 104.685.515 1.585.610 2.607.402 1.021.793 138 103.648.396 1.570.283 2.607.402 1.037.119 139 102.595.720 1.554.726 2.607.402 1.052.676 140 101.527.253 1.538.936 2.607.402 1.068.466 141 100.442.760 1.522.909 2.607.402 1.084.493 142 99.341.999 1.506.641 2.607.402 1.100.761 143 98.224.727 1.490.130 2.607.402 1.117.272 144 89.090.696 1.473.371 10.607.402 9.134.031 145 87.819.654 1.336.360 2.607.402 1.271.042 146 86.529.547 1.317.295 2.607.402 1.290.107 147 85.220.088 1.297.943 2.607.402 1.309.459 148 83.890.987 1.278.301 2.607.402 1.329.101 149 82.541.950 1.258.365 2.607.402 1.349.037 150 81.172.677 1.238.129 2.607.402 1.369.273 151 79.782.865 1.217.590 2.607.402 1.389.812 152 78.372.206 1.196.743 2.607.402 1.410.659 153 76.940.387 1.175.583 2.607.402 1.431.819 154 75.487.090 1.154.106 2.607.402 1.453.296 155 74.011.995 1.132.306 2.607.402 1.475.096 156 64.514.772 1.110.180 10.607.402 9.497.222 157 62.875.092 967.722 2.607.402 1.639.681 158 61.210.816 943.126 2.607.402 1.664.276 159 59.521.576 918.162 2.607.402 1.689.240 160 57.806.998 892.824 2.607.402 1.714.578 161 56.066.701 867.105 2.607.402 1.740.297 162 54.300.299 841.001 2.607.402 1.766.402 163 52.507.401 814.504 2.607.402 1.792.898 164 50.687.610 787.611 2.607.402 1.819.791 165 48.840.522 760.314 2.607.402 1.847.088 166 46.965.728 732.608 2.607.402 1.874.794 167 45.062.812 704.486 2.607.402 1.902.916 168 35.131.352 675.942 10.607.402 9.931.460 169 33.050.920 526.970 2.607.402 2.080.432 170 30.939.282 495.764 2.607.402 2.111.638 Mes Capital Interés Pago Amortización 171 28.795.969 464.089 2.607.402 2.143.313 172 26.620.506 431.940 2.607.402 2.175.463 173 24.412.411 399.308 2.607.402 2.208.095 174 22.171.196 366.186 2.607.402 2.241.216 175 19.896.361 332.568 2.607.402 2.274.834 176 17.587.405 298.445 2.607.402 2.308.957 177 15.243.814 263.811 2.607.402 2.343.591 178 12.865.069 228.657 2.607.402 2.378.745 179 10.450.642 192.976 2.607.402 2.414.426 180 0 156.760 10.607.402 10.450.642 Prepare la tabla de amortización para un préstamo “Mexicano” por un monto de Bs. 40.000.000, con tasa de interés anual de 36 %, los pagos serán mensuales y se ajustarán en un 30 % al final de cada año, el préstamo es a 10 años. C = VP x r / (1- 1/(1+r)^n) VP = C/r*(1-1/(1+r)^n) VP1 + VP2 + ...+ VP10 = VP C1/rx((1+s)^0)(1-1/(1+r)^n)/(1+r)^12x0 + (C1x(1+s)^1)/rx(1-1/(1+r)^n)/(1+r)^12x1 +..= i=10 C1/r x ((1+s)^i) x (1-1/(1+r)^n) / (1+r)^12 x i i=0 i= 9 C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x (1+s)^i / (1+r)^12 x i i=0 i=9 C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x (1+s)^(1/12)^ 12 x i / (1+r)^12 x i i=0 i=9 C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x ( 1+(1+s)^(1/12)^ 12 x i / (1+r)^12 x i)) i=1 Llamemos t = 1/((1+s)/(1+r)^12-1) C1/r x (1 – 1/(1+r))^n x ( 1+ 1/t x (1-1/(1+t)^9) Entonces podemos despejar C1: C1 = VP x r / (1 – 1/(1+r))^n / ( 1+ 1/t x (1-1/(1+t)^9) t = 9,67% C1 = 40.000.000 x 0,03 / (1 – 1 /(1+0.03))^12 / (1 + 1/ 0,0967 x (1-1/(1+0,0967)^9) = 587.976 Pagos de cada año: 1 587.976 2 764.369 3 993.680 4 1.291.784 5 1.679.319 6 2.183.114 7 2.838.049 8 3.689.463 9 4.796.302 10 6.235.193 Tabla de amortización: Mes Capital Interés Pago Amortización 0 40.000.000 1 40.612.024 1.200.000 587.976 -612.024 2 41.242.408 1.218.361 587.976 -630.385 3 41.891.705 1.237.272 587.976 -649.296 4 42.560.480 1.256.751 587.976 -668.775 5 43.249.318 1.276.814 587.976 -688.838 6 43.958.821 1.297.480 587.976 -709.503 7 44.689.610 1.318.765 587.976 -730.788 8 45.442.322 1.340.688 587.976 -752.712 9 46.217.615 1.363.270 587.976 -775.294 10 47.016.168 1.386.528 587.976 -798.552 11 47.838.676 1.410.485 587.976 -822.509 12 48.685.861 1.435.160 587.976 -847.184 13 49.382.067 1.460.576 764.369 -696.207 14 50.099.160 1.481.462 764.369 -717.093 Mes Capital Interés Pago Amortización 15 50.837.766 1.502.975 764.369 -738.606 16 51.598.530 1.525.133 764.369 -760.764 17 52.382.117 1.547.956 764.369 -783.587 18 53.189.212 1.571.464 764.369 -807.095 19 54.020.519 1.595.676 764.369 -831.307 20 54.876.766 1.620.616 764.369 -856.247 21 55.758.700 1.646.303 764.369 -881.934 22 56.667.092 1.672.761 764.369 -908.392 23 57.602.735 1.700.013 764.369 -935.644 24 58.566.448 1.728.082 764.369 -963.713 25 59.329.762 1.756.993 993.680 -763.314 26 60.115.975 1.779.893 993.680 -786.213 27 60.925.775 1.803.479 993.680 -809.800 28 61.759.868 1.827.773 993.680 -834.094 29 62.618.985 1.852.796 993.680 -859.116 30 63.503.875 1.878.570 993.680 -884.890 31 64.415.311 1.905.116 993.680 -911.437 32 65.354.091 1.932.459 993.680 -938.780 33 66.321.034 1.960.623 993.680 -966.943 34 67.316.985 1.989.631 993.680 -995.951 35 68.342.815 2.019.510 993.680 -1.025.830 36 69.399.420 2.050.284 993.680 -1.056.605 37 70.189.619 2.081.983 1.291.784 -790.199 38 71.003.524 2.105.689 1.291.784 -813.905 39 71.841.846 2.130.106 1.291.784 -838.322 40 72.705.318 2.155.255 1.291.784 -863.472 41 73.594.694 2.181.160 1.291.784 -889.376 42 74.510.751 2.207.841 1.291.784 -916.057 43 75.454.290 2.235.323 1.291.784 -943.539 44 76.426.135 2.263.629 1.291.784 -971.845 45 77.427.135 2.292.784 1.291.784 -1.001.000 46 78.458.166 2.322.814 1.291.784 -1.031.030 47 79.520.127 2.353.745 1.291.784 -1.061.961 48 80.613.947 2.385.604 1.291.784 -1.093.820 49 81.353.047 2.418.418 1.679.319 -739.100 50 82.114.320 2.440.591 1.679.319 -761.273 51 82.898.431 2.463.430 1.679.319 -784.111 52 83.706.065 2.486.953 1.679.319 -807.634 53 84.537.928 2.511.182 1.679.319 -831.863 54 85.394.747 2.536.138 1.679.319 -856.819 55 86.277.271 2.561.842 1.679.319 -882.524 56 87.186.270 2.588.318 1.679.319 -908.999 57 88.122.540 2.615.588 1.679.319 -936.269 58 89.086.897 2.643.676 1.679.319 -964.358 59 90.080.186 2.672.607 1.679.319 -993.288 Mes Capital Interés Pago Amortización 60 91.103.272 2.702.406 1.679.319 -1.023.087 61 91.653.256 2.733.098 2.183.114 -549.984 62 92.219.740 2.749.598 2.183.114 -566.483 63 92.803.218 2.766.592 2.183.114 -583.478 64 93.404.200 2.784.097 2.183.114 -600.982 65 94.023.212 2.802.126 2.183.114 -619.012 66 94.660.794 2.820.696 2.183.114 -637.582 67 95.317.503 2.839.824 2.183.114 -656.710 68 95.993.914 2.859.525 2.183.114 -676.411 69 96.690.617 2.879.817 2.183.114 -696.703 70 97.408.221 2.900.719 2.183.114 -717.604 71 98.147.354 2.922.247 2.183.114 -739.132 72 98.908.660 2.944.421 2.183.114 -761.306 73 99.037.871 2.967.260 2.838.049 -129.211 74 99.170.959 2.971.136 2.838.049 -133.088 75 99.308.039 2.975.129 2.838.049 -137.080 76 99.449.232 2.979.241 2.838.049 -141.193 77 99.594.660 2.983.477 2.838.049 -145.428 78 99.744.451 2.987.840 2.838.049 -149.791 79 99.898.736 2.992.334 2.838.049 -154.285 80 100.057.650 2.996.962 2.838.049 -158.914 81 100.221.331 3.001.729 2.838.049 -163.681 82 100.389.922 3.006.640 2.838.049 -168.591 83 100.563.571 3.011.698 2.838.049 -173.649 84 100.742.430 3.016.907 2.838.049 -178.859 85 100.075.239 3.022.273 3.689.463 667.190 86 99.388.033 3.002.257 3.689.463 687.206 87 98.680.211 2.981.641 3.689.463 707.822 88 97.951.154 2.960.406 3.689.463 729.057 89 97.200.226 2.938.535 3.689.463 750.929 90 96.426.770 2.916.007 3.689.463 773.456 91 95.630.110 2.892.803 3.689.463 796.660 92 94.809.550 2.868.903 3.689.463 820.560 93 93.964.373 2.844.286 3.689.463 845.177 94 93.093.841 2.818.931 3.689.463 870.532 95 92.197.193 2.792.815 3.689.463 896.648 96 91.273.646 2.765.916 3.689.463 923.547 97 89.215.553 2.738.209 4.796.302 2.058.093 98 87.095.718 2.676.467 4.796.302 2.119.835 99 84.912.287 2.612.872 4.796.302 2.183.431 100 82.663.354 2.547.369 4.796.302 2.248.933 101 80.346.952 2.479.901 4.796.302 2.316.401 102 77.961.059 2.410.409 4.796.302 2.385.894 103 75.503.588 2.338.832 4.796.302 2.457.470 104 72.972.394 2.265.108 4.796.302 2.531.194 Mes Capital Interés Pago Amortización 105 70.365.264 2.189.172 4.796.302 2.607.130 106 67.679.919 2.110.958 4.796.302 2.685.344 107 64.914.015 2.030.398 4.796.302 2.765.905 108 62.065.133 1.947.420 4.796.302 2.848.882 109 57.691.894 1.861.954 6.235.193 4.373.239 110 53.187.459 1.730.757 6.235.193 4.504.436 111 48.547.890 1.595.624 6.235.193 4.639.569 112 43.769.134 1.456.437 6.235.193 4.778.756 113 38.847.015 1.313.074 6.235.193 4.922.119 114 33.777.233 1.165.410 6.235.193 5.069.782 115 28.555.357 1.013.317 6.235.193 5.221.876 116 23.176.825 856.661 6.235.193 5.378.532 117 17.636.937 695.305 6.235.193 5.539.888 118 11.930.852 529.108 6.235.193 5.706.085 119 6.053.585 357.926 6.235.193 5.877.267 120 0 181.608 6.235.193 6.053.585 g.- Valoración de instrumentos financieros, bonos y acciones. Bonos: Un bono es un instrumento a un término determinado que en general paga cupones cada determinado periodo de tiempo y al final de su vigencia repaga una cantidad de dinero denominada principal , valor facial o valor nominal: El valor de un bono es: i = n B = c/(1+r)^i + M/(1+r)^n i = 1 B = Valor del bono c = Monto del cupón n = Número de periodos o término r = Tasa de descuento (la pone el mercado) M = Valor facial o valor nominal del bono Si expresamos c como un porcentaje de M (cuando M, no se especifica, se supone que es 100 %, es decir, los precios de los bonos se especifican en porcentajes de su valor nominal o facial), entonces: B = [c/r x (1-1/(1+r)^n) + 1/(1+r)^n] x M Si B > M Se dice que el bono se cotiza a prima Si B > M Se dice que el bono se cotiza a descuento Si B = M Se dice que el bono se cotiza a la par Para que B = M, c deberá ser igual a r, veamos: Si c = r, tendremos: B = [1 x (1 – 1/(1+r)^n)+ 1/(1+r)^n} x M B = [1 – Rendimiento al vencimiento o yield to maturity En ese caso, la determinación se hace por iteraciones sucesivas, es decir, se tiene como dato el valor del bono, su cupón, su valor facial y el número de cupones (B, C, M y n respectivamente) y se busca determinar su rendimiento, esta determinación se efectúa estimando el nivel de la r, si para determinada r el Valor presente del bono es mayor que B, entonces r debe ser incrementada, en caso contrario, r deberá ser disminuida. Ejemplos: Determine el valor de un bono con cupón del 8 % anual pagadero en forma semestral, siendo la tasa de rendimiento del mercado del 10 %, hágalo suponiendo que el bono posee los siguientes periodos de vigencia 4 años, 5 años, 10 años y 7 semestres. K = 2 c = 8 % / K = 0,08 / 2 = 0,04 r = 10 % / K = 0,1 / 2 = 0,05 n1 = 4 x K = 4 x 2 = 8 M = 100 % B1 = [C / r x (1 – 1 / (1+r)^n) + 1 / (1+r)^n] x M B1 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^8) + 1 / (1+0,05)^8] x 100 % = 93,54% n2= 5 x K = 5 x 2 = 10 B2 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^10) + 1 / (1+0,05)^10] x 100 % = 92,28% n3= 10 x K = 10 x 2 = 20 B3 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^20) + 1 / (1+0,05)^20] x 100 % = 87,54% n4= 7 B4 = [0,04 / 0,05 x (1 – 1 / (1+0,05)^7) + 1 / (1+0,05)^7] x 100 % = 94,21% Determine el valor de un bono con cupón del 15 % anual pagadero en forma trimestral, siendo la tasa de rendimiento del mercado del 9 %, hágalo suponiendo que el bono posee los siguientes periodos de vigencia 3 años, 6 años, 8 años y 9 semestres. K = 4 c = 15 % / K = 0,15 / 4 = 0,0375 r = 9 % / K = 0,09 / 4 = 0,0225 n1 = 3 x K = 3 x 4 = 12 M = 100 % B1 = [c / r x (1 – 1 / (1+r)^n) + 1 / (1+r)^n] x M B1 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^12) + 1 / (1+0,0225)^12] x 100 % = 115,62% n2= 6 x K = 6 x 4 = 24 B2 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^24) + 1 / (1+0,0225)^24] x 100 % = 127,58% n3= 8 x K = 8 x 2 = 16 B3 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^16) + 1 / (1+0,0225)^16] x 100 % = 119,97% n4= 9 /2 x K = 4,5 x 4 = 18 B4 = [0,0375 / 0,0225 x (1 – 1 / (1+0,0225)^18) + 1 / (1+0,0225)^18] x 100 % = 122,00% Determine el rendimiento al vencimiento de un bono a 9 años con cupones mensuales y cupón de 3,6 % anual, cuyo precio es de 75 %. B = [c / r x (1 – 1 /(1+r)^n) + 1 / (1+r)^n] M K = 12 c = 3,6 % / 12 = 0,003 n = 9 x 12 = 108 La r entonces de determina por aproximaciones sucesivas, sabemos que r debe ser mayor a 3,6 % anual pues el bono se cotiza a descuento. Probemos con 6 % anual: r = 0,06 / 12 = 0,005 B = [0,003 / 0,005 x (1- 1 / (1+0,005)^108) + 1 / (1 + 0,005)^108] = 83,34% Sabemos entonces que un incremento de la tasa anual del 2,4 % (6 % - 3,6 % = 2,4 %) representa una baja en el precio del bono del 16,64 % (recuerde que si la tasa es del 3,6 % anual, el precio del bono sería del 100 %), es decir, cada punto en incremento en tasa bajará en aproximadamente 6,9 % el valor del bono (16,64 / 2,4 = 6,93), para llegar al 75 %, deberemos entonces subir la tasa r en aproximadamente un 2 % adicional, probemos entonces con 8 % anual: r = 0,08 /12 = 0,00667 B = [0,003 / 0,00667 x (1- 1 / (1+0,00667)^108) + 1 / (1 + 0,00667)^108] = 71,84% En estos niveles de tasas, tenemos que el precio del bono bajó de 83,34 % a 71,84 %, es decir, una diferencia del 11,5 %, mientras que la tasa subió un 2 %, el bono varía 5,75 % por cada punto que se varíe la tasa de interés, para llegar al precio requerido tendremos que bajar la tasa en (75 – 71,84) / 5,75 = 3,16 / 5,75 = 0,55 Bajemos la tasa al 7,45 % = 8 % - 0,55 % anual para subir el precio del bono r = 0,0745 /12 = 0,006208 B = [0,003 / 0,006208 x (1- 1 / (1+0,006208)^108) + 1 / (1 + 0,006208)^108] = 74,81 % Ahora se tiene que el precio varió de 71,84 a 74,81 y que la tasa bajó 0,55 , entonces, dividimos 2,97 / 0,55 = 5,4, necesitamos que la tasa varíe 0,19 %, 0,19 / 5,4 = 0,035, la tasa deberá ser 7,45 – 0,035 = 7,415 % r = 0,07415 / 12 = 0,00618 B = [0,003 / 0,00618 x (1- 1 / (1+0,00618)^108) + 1 / (1 + 0,00618)^108] = 75.00 % Bonos, precio sucio y precio limpio: El precio sucio se determina considerando que el bono está en la fecha del pago del último cupón previo al momento actual, a esto se le sumará el monto del cupón transcurrido. El precio limpio se determina sencillamente fraccionando el periodo remanente y utilizando fracciones de tasas de interés. Fecha de hoy 30/12/05 Indique el valor de un bono de Caterpillar que vence el 15/01/2010, cuya tasa de descuento es del 4,759 % anual, los cupones son del 4 % anual y se pagan semestralmente. Paso 1: Se calcula el valor del bono a la fecha del pago del último cupón, para eso, se contabilizan los cupones: Cupones: 06 : 2 07 : 2 08 : 2 09 : 2 10 : 1 n = 9 c = 0,04 / 2 = 0,02 r = 0,04759 / 2 = 0,023795 B = C / r x (1 – 1/(1+r)^n) + 1 /(1+r)^n B = 0,02 / 0,023795 x (1 – 1/(1+0,023795)^9) + 1/(1+0,023795)^9 = 96,96% Para el cupón transcurrido deberemos calcular los días comerciales del cupón en curso Julio 15 Agosto 30 Septiembre 30 Octubre 30 Noviembre 30 Diciembre 30 Días transcurridos = 165 Días transcurridos x cupón anual / 360 = 165 x 0,04 / 360 = 1,83% Precio a pagar = 96,66 % + 1,83 % = 98,50 % (recuerden que en 17 días se cobra el cupón) Precio limpio: Se toman simplemente los flujos de caja futuros del bono, fraccionando los periodos restantes: B = C / r x (1 – 1/(1+r)^n) + 1 /(1+r)^n Periodos restantes: 8 + (180-165) / 180 = B = 0,02 / 0,023795 x (1 – 1/(1+0,023795)^8.0833) + 1/(1+0,023795)^8.0833 = 97,24% Bono cero cupón: este es un bono que carece de cupones, es decir, se comporta como un pago único al final de la vigencia del bono, en este caso, la fórmula de cálculo es: B = M / (1+r)^n Por ejemplo, siendo la tasa de interés de entre 8 y 10 años del 4,5 %, el precio de un bono que vence el 3 de Marzo de 2015 siendo hoy es el 7 de Febrero de 2006, será de : Calculemos primero el periodo faltante para el vencimiento: Años: 8 (de 2007 a 20014) Meses: 2 + 10 = 12 = 1 año Días: 23 + 3 = 26 / 360 = 0,0722 años Total = 9,0722 años B = 1 / (1 + 0,045)^9,0722 = 67,08% Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 7 Ejemplos: 7.10, 7.11, 7.16, 7.17, Problemas: 7.13, 7.14, 7.24, 7.25, 7.26 Valoración de acciones: Cuando un inversionista adquiere una acción, lo hace con dos intenciones: 1.- Ganar dividendos 2.- Vender la acción a un precio superior al inicial P0 = div1 / (1+r) + P1 / (1+r) = P0 = (div1 + P1) / (1 + r) Ahora bien, si el inversionista decide mantener la acción un año más, el precio sería P0 = (div1 + ((div2 + P2) / (1+r))/(1+r) En la medida en que alejemos más el momento de la venta, se tendrá: P0 = div1 /(1+r) + div2/(1+r)^2 + div3/(1+r)^3+...+divh/(1+r)^h + Ph/(1+r)^h Si h se acerca a infinito, se tendrá una perpetuidad, equivalente al dividendo pagado descontado a la tasa r, en caso de tener dividendos constantes: P = div1 / r Si el dividendo crece a partir del año 2 a una tasa g, se tendrá entonces: P = div1 / (r – g) (Ver demostración de perpetuidad con crecimiento). Por otro lado se tiene que una empresa se puede valorar en función del valor presente de sus futuros beneficios: P = Ganancias / r Sin embargo, la empresa puede crecer, luego, P = Ganancias / r + Valor presente de las oportunidades de crecimiento Las empresas en general no pagan en dividendos todas sus ganancias, sino que más bien dejan un porcentaje importante de sus beneficios para reinversión. div = Ganancias x (1 – índice de reinversión) Ganancias = div / (1- índice de reinversión) Esta reinversión hace que la empresa tenga un patrimonio mayor, suponiendo que el porcentaje de ganancias sobre el patrimonio se mantenga, las ganancias de la empresa crecerán en el mismo porcentaje que su patrimonio . g = ganancias / patrimonio x índice de reinversión Ganancias div ------------- + VP Oportunidades de crecimiento = -------- r r – g VP Oportunidades de crecimiento = div /(r-g) - Ganancias por acción / r Por ejemplo, una acción posee unas ganancias sobre patrimonio del 20 %, reinvierte un 40 % de sus ganancias y paga dividendos de 4 al año. Si la tasa de descuento del mercado es 10 %, ¿cual deberá ser el precio de la acción? ¿qué porcentaje corresponde a oportunidades de crecimiento? Ganancias sobre patrimonio = 0,2 Índice de reinversión = 0,4 g = 0,2 * 0,4 = 0,08 VP = 4 / (0,1 – 0,08) = 200 Ganancias por acción = 4 / (1 - 0,4) = 6,67 VP Oportunidades de crecimiento = 4 / (0,1 – 0,08) .- 6,67 / 0,08 = 116,67 Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 7 Ejemplos: 7.12, 7.13, 7.14, 7.15, 7.18, 7.19 Problemas: 7.15, 7.16, 7.17, 7.18, 7.19, 7.21, 7.22, 7.23 |
