Bibliografía: Shim y siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16




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títuloBibliografía: Shim y siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16
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Tema 2: Riesgo



a.- Riesgo y comportamiento de las acciones, determinación de varianzas y covarianzas
En finanzas, hablar de riesgo es hablar de variabilidad en los posibles resultados o en los rendimientos esperados de una inversión.
Rendimiento esperado y variabilidad:
Supongamos que el éxito de un proyecto es equivalente a que una moneda caiga en cara y el fracaso equivale a que la moneda caiga en sello, cada uno de los dos escenarios, tiene la misma probabilidad, es decir, 50 %. Si sale cara Usted ganará Bs. 20, si sale sello, perderá Bs. 10.
Supongamos que la moneda se lanza 2 veces
Escenarios: Probabilidad Resultado
CC 0,25 40

CS 0,25 10

SC 0,25 10

SS 0,25 -20
Rendimiento esperado y varianza:
Re= Rendimiento esperado

Ri= Rendimiento en el escenario i

Pi= Probabilidad de ocurrencia del escenario i

i = n

Re =  Ri x Pi

i = 1
i = n

Var =  (Re-Ri)^2 x Pi Sigma = (Var)^(1/2)

i = 1
Escenarios: Pi Ri Pi x Ri (Re-Ri)^2xPi
CC 0,25 40 10 (10-30)^2 x 0,25 = 225

CS 0,25 10 2,5 (10-10)^2 x 0,25 = 0

SC 0,25 10 2,5 (10-10)^2 x 0,25 = 0

SS 0,25 -20 -5 (30-10)^2 x 0,25 = 225

Re = 10 Var= 450

Sigma = 450^(1/2) = 21,21

Si en vez de lanzar la moneda dos veces, lo hacemos cuatro veces, pero apostando la mitad cada vez, se tendrá que el nivel de riesgo bajará, es decir, de alguna forma, la diversificación reduce el riesgo, veamos:
Escenarios: Pi Ri Pi x Ri (Re-Ri)^2xPi
CCCC 1/16 40 2,5 (10-40)^2 x 1/16 = 56,25

CCCS 4/16 25 6,25 (10-25)^2 x 1/4 = 56,25

CCSS 6/16 10 3,75 (10-10)^2 x 3/8 = 0

CSSS 4/16 -5 -1,25 (10-5)^2 x 1/4 = 56,25

SSSS 1/16 -20 -1,25 (10-20)^2 x 1/16 = 56.25
Re = 10 Var= 225
Sigma = 225^(1/2) = 15
Aquí observamos que la diversificación reduce el riesgo, sin embargo, por más que se diversifique en distintos títulos valores, el riesgo no podrá ser eliminado de un todo, lo que se tendrá es una especie de asíntota:

Puede observarse que la curva se vuelve casi plana, el nivel de riesgo o varianza de una acción se denomina riesgo único o unique risk y el nivel de riesgo de todo el mercado se llama riesgo de mercado, o riesgo sistemático (market risk).
Ejemplo, se tienen tres acciones, weapons and guns (WG), magic entertainment (ME) y Food and Beverage (FB), el comportamiento de las acciones en función al comportamiento del mercado es el siguiente:




Coeficiente de variación:
Sigma / Re =
WE: 1,18

ME: 0,50

FB: 0,14
Bajo el concepto de coeficiente de variación, la mejor alternativa es la acción con menor coeficiente. En este caso, FB.

Covarianza: Comportamiento de una acción con respecto a otra o con respecto al mercado
RiA: Rendimiento de A en el escenario i

ReA: Rendimiento esperado de A

RiB: Rendimiento de B en el escenario i

ReB: Rendimiento esperado de B

Pi: Probabilidad del escenario i
i = n

Covarianza =  (ReA-RiA)x(ReB-ReB) x Pi

i = 1

Para el mismo caso, determine las covarianzas entre WG y ME, WG y FB, ME y FB


Al igual que las acciones, los mercados tiene sus varianzas y covarianzas, analicemos por ejemplo, la varianza y la covarianza del mercado (índice S&P 500) y de la acción de IBM durante el mes de Diciembre de 2005.


Fecha

S&P 500

Var. Rel

(Re-Ri)^2

IBM

Var. Rel.

Covarianza

30-Nov-05

1249,48







88,90







01-Dic-05

1264,67

0,012157

0,000149

89,21

0,003487

0,000088

02-Dic-05

1265,08

0,000324

0,000000

88,65

-0,006277

-0,000001

05-Dic-05

1262,09

-0,002363

0,000005

88,43

-0,002482

-0,000003

06-Dic-05

1263,70

0,001276

0,000002

89,14

0,008029

0,000015

07-Dic-05

1257,37

-0,005009

0,000025

88,72

-0,004712

0,000005

08-Dic-05

1255,84

-0,001217

0,000001

87,50

-0,013751

0,000012

09-Dic-05

1259,37

0,002811

0,000008

86,97

-0,006057

-0,000007

12-Dic-05

1260,43

0,000842

0,000001

85,96

-0,011613

-0,000007

13-Dic-05

1267,43

0,005554

0,000031

83,71

-0,026175

-0,000126

14-Dic-05

1272,74

0,004190

0,000018

83,13

-0,006929

-0,000014

15-Dic-05

1270,94

-0,001414

0,000002

83,53

0,004812

-0,000012

16-Dic-05

1267,32

-0,002848

0,000008

83,37

-0,001915

-0,000005

19-Dic-05

1259,92

-0,005839

0,000034

82,76

-0,007317

0,000021

20-Dic-05

1259,62

-0,000238

0,000000

82,48

-0,003383

0,000000

21-Dic-05

1262,79

0,002517

0,000007

83,12

0,007759

0,000029

22-Dic-05

1268,12

0,004221

0,000018

83,22

0,001203

0,000021

23-Dic-05

1268,66

0,000426

0,000000

83,48

0,003124

0,000003

27-Dic-05

1256,54

-0,009553

0,000091

82,99

-0,005870

0,000021

28-Dic-05

1258,17

0,001297

0,000002

83,04

0,000602

0,000006

29-Dic-05

1254,42

-0,002981

0,000009

82,40

-0,007707

0,000012

30-Dic-05

1248,29

-0,004887

0,000024

82,20

-0,002427

-0,000006



























-0,000035

0,000021




-0,003695

0,000003



























Covarianza / Varianza =

0,12168512








Beta de una acción = Covarianza / Varianza


Fecha

S&P 500

Var. Rel

(Re-Ri)^2

Dow

Var. Rel.

Covarianza

30-Nov-05

1249,48







10805,87







01-Dic-05

1264,67

0,012157

0,000149

10912,57

0,009874

0,000125

02-Dic-05

1265,08

0,000324

0,000000

10877,51

-0,003213

-0,000001

05-Dic-05

1262,09

-0,002363

0,000005

10835,01

-0,003907

0,000008

06-Dic-05

1263,70

0,001276

0,000002

10856,86

0,002017

0,000003

07-Dic-05

1257,37

-0,005009

0,000025

10810,91

-0,004232

0,000019

08-Dic-05

1255,84

-0,001217

0,000001

10755,12

-0,005161

0,000006

09-Dic-05

1259,37

0,002811

0,000008

10778,58

0,002181

0,000007

12-Dic-05

1260,43

0,000842

0,000001

10767,77

-0,001003

-0,000001

13-Dic-05

1267,43

0,005554

0,000031

10823,72

0,005196

0,000031

14-Dic-05

1272,74

0,004190

0,000018

10883,51

0,005524

0,000025

15-Dic-05

1270,94

-0,001414

0,000002

10881,67

-0,000169

0,000000

16-Dic-05

1267,32

-0,002848

0,000008

10875,59

-0,000559

0,000001

19-Dic-05

1259,92

-0,005839

0,000034

10836,53

-0,003592

0,000019

20-Dic-05

1259,62

-0,000238

0,000000

10805,55

-0,002859

0,000001

21-Dic-05

1262,79

0,002517

0,000007

10805,63

0,000007

0,000001

22-Dic-05

1268,12

0,004221

0,000018

10889,44

0,007756

0,000035

23-Dic-05

1268,66

0,000426

0,000000

10883,27

-0,000567

0,000000

27-Dic-05

1256,54

-0,009553

0,000091

10777,77

-0,009694

0,000089

28-Dic-05

1258,17

0,001297

0,000002

10796,26

0,001716

0,000003

29-Dic-05

1254,42

-0,002981

0,000009

10784,82

-0,001060

0,000002

30-Dic-05

1248,29

-0,004887

0,000024

10717,5

-0,006242

0,000028



























-0,000035

0,000021




-0,000380

0,000019



























Covarianza / Varianza =

0,92335633









El beta es una medida de riesgo relativo e indica que tan alta es la variación de una acción en caso de que el mercado varíe.
Es decir, el beta es una medición de que tanto varía la acción si el mercado sube o baja, el beta del mercado es 1. Una acción que se comporte igual que el mercado tendrá un beta de 1, si el beta es mayor que 1, la acción variará más de lo que lo hace el mercado y en la misma dirección, si el beta es menor que 1, pero positivo, la acción variará menos que el mercado también en la misma dirección. Si el beta es negativo, el movimiento de la acción será contrario al del mercado.
Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 7 Ejemplos: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Problemas: 7.1, 7.2, 7.3
b.- Cálculo del rendimiento esperado de una acción en base a su riesgo, modelo CAPM
El modelo CAPM es la forma como se relaciona en finanzas el riesgo y el rendimiento, el CAPM se basa en el beta de las acciones, se entiende que el mercado posee un beta = 1 y una inversión sin riesgo posee un beta = 0, luego, la fórmula de la tasa esperada de rendimiento para una acción determinada es:
Re = Krf + Beta x (Krm – Krf)
Donde:
Krf = Tasa de interés libre de riesgo

Krm = Tasa de rendimiento del mercado

Beta = Coeficiente de riesgo de la acción

Re = Tasa de rendimiento esperado para la acción
Beta = (Re - Krf) / (Krm – Krf)
El CAPM también se conoce como la recta del mercado de capitales y puede ser diagramado de la siguiente forma:


Ejemplo:
Considerando una tasa de rendimiento del mercado del 8 %, una tasa libre de riesgo del 4 %, indique la tasa de rendimiento esperada para una acción con beta = 1,8
Re = 4 % + 1,8 x (8 % - 4 %) = 11,2 %
Prima por riesgo: Diferencia entre la tasa de rendimiento del mercado y la tasa libre de riesgo =
Prima por riesgo = Krm – Krf
Aditividad de los betas:
El beta de un portafolio es la ponderación de los betas de sus componentes en función al valor presente de cada componente:
i = n

Beta de portafolio =  (Beta i x VPi)

i = 1

________________________

i = n

 VPi

i = 1
Se tiene un portafolio con las siguientes acciones con los siguientes betas :

Acción Beta Monto de inversión
A 1,2 500

B 1,1 300

C 0,8 2.000

D 0,3 1.300

E 1,7 800
Determine el beta del portafolio:
Beta del portafolio = 1,2 x 500 + 1,1 x 300 + 0,8 x 2.000 + 0,3 x 1.300 + 1,7 x 800

-------------------------------------------------------------------------- = 0,873

500 + 300 + 2000 + 1300 + 800
Criterio de selección en base al modelo CAPM; se supone que las acciones a seleccionar deben tener un rendimiento esperado superior al que el modelo CAPM les otorgue, es decir, las acciones deberán rendir más de lo que pueda esperarse en función a su riesgo.
Ejemplo:
Supongamos que la tasa libre de riesgo es del 5 % y que la prima por riesgo del mercado es del 6 %, para una acción cuyo beta es de 0,8, se estima que su rendimiento será del 12 %, vale la pena comprar la acción.
Entonces vale determinar el rendimiento esperado que arroje el modelo CAPM:
Re = Krf + Beta x (Krm – Krf)
Re = 5 % + 0,8 x 6 % = 9,8 %
12 % > 9,8 %, en consecuencia, resulta una buena alternativa invertir en una acción cuyo rendimiento esperado supera al rendimiento esperado para el mismo nivel de riesgo.
Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 7 Ejemplos: 7.9 y 7.20 Problemas: 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10, 7.11, 7.12 y 7.20
c.- Correlación y diseño de portafolios:
Para obtener el rendimiento esperado de un conjunto de acciones contenidas en un portafolio, es suficiente calcular ponderar la participación de cada título dentro del portafolio y multiplicar dicha participación por su rendimiento esperado.
i = n

Re (portafolio) =  (Rei x VPi)

i = 1

________________________

i = n

 VPi

i = 1
Ejemplo: Determine el rendimiento esperado de un portafolio con las siguientes acciones:
Acción Re Monto de inversión
A 8,8 500

B 8,4 300

C 7,2 2000

D 5,2 1300

E 10,8 800

Re (portafolio) = 8,8 x 500 + 8,4 x 300 + 7,2 x 2.000 + 5,2 x 1.300 + 10,8 x 800

--------------------------------------------------------------------------=7,49%

500 + 300 + 2000 + 1300 + 800
Siendo la Tasa libre de riesgo del 4 % y la tasa de rendimiento esperada del mercado del 8 %, determine el beta del portafolio.
Re = Krf + Beta x (Krm – Krf)
Beta = (Re - Krf) / (Krm – Krf)
Beta = (7,49 % - 4 %) / (8 % - 4 %) = 0,873
Si bien, el beta es una medida de riesgo para un portafolio, es importante notar que no es lo mismo tener un portafolio con acciones que se comporten de manera similar que tener acciones cuyo comportamiento sea dispar, se sabe que la diversificación reduce el riesgo, pero también es importante notar que para que la diversificación realmente funcione, esta deberá fundamentarse en correlaciones negativas, es decir, que ante la bajada de una inversión en un portafolio, otra inversión deberá subir para así compensar el efecto.
La fórmula que estima el riesgo en una cartera es la siguiente:
Siendo
Wa = Participación de la inversión a en el portafolio

Var(a) = Varianza de a

Wb = Participación de la inversión a en el portafolio

Var(b) = Varianza de a

Ro(ab) = Correlación entre los rendimientos de a y b, si Ro(ab) = 1, la correlación es absoluta, si es –1, cuando una sube la otra baja y el riesgo se elimina.
Sigma=[Wa^2xVar(a)+Wb^2xVar(b)+2xWaxWbxRo(ab)xVar(a)^(1/2)xVar(b)^(1/2)]^1/2
Ejemplo, tenemos un portafolio con una acción a cuya participación es del 40 % y una acción b cuya participación es del 60 %, la varianza de a es 0,2 y la de b es 0,3, calcular la desviación standard (sigma) del portafolio suponiendo:
1: Ro = 1
2: Ro = -1
1:
Sigma = [0,4^2 x 0,2 + 0,6^x0,3 + 2 x 0,4 x 0,6 x 0,2^(1/2) x 0,3^(1/2) x 1]^(1/2) = 0,51
2:
Sigma = [0,4^2 x 0,2 + 0,6^x0,3 + 2 x 0,4 x 0,6 x 0,2^(1/2) x 0,3^(1/2) x (-1)]^(1/2) = 0,15
En el segundo caso, el nivel del sigma bajó significativamente, en consecuencia, se observa que el portafolio posee un riesgo menor en caso de tenerse correlaciones negativas entre las inversiones.
Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 7 Ejemplos: 7.6 y 7.7 Problemas: 7.4, y 7.5
Ejercicio de trabajo especial (30 %):
En base a los conceptos manejados de riesgo de portafolio, su equipo deberá diseñar un portafolio eficiente, minimizando la varianza y maximizando el rendimiento esperado para el próximo mes. El rendimiento esperado se basará en la proyección lineal en base a la tendencia en el precio de las acciones (el número de meses para la elaboración de la proyección se dará a cada equipo). El portafolio deberá tener al menos ocho acciones de las 30 acciones del DJIA, todas en partes iguales.
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