Bibliografía: Shim y siegel: Dirección financiera, Segunda edición. Caps. 6,7 y 16
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Tema 3: Opciones a.- Definición de opciones calls y puts Links (lecturas recomendadas): http://biz.yahoo.com/opt/basics1.html http://biz.yahoo.com/opt/basics2.html http://biz.yahoo.com/opt/basics3.html http://biz.yahoo.com/opt/basics4.html http://biz.yahoo.com/opt/basics5.html Las opciones son instrumentos financieros derivados, esto quiere decir que su existencia se deriva de la existencia de otros instrumentos. Call u opción de compra, este título otorga el derecho de adquirir un activo subyacente (acciones o bonos) a un precio determinado, hasta (opción americana) o en (opción europea) una fecha determinada. Put u opción de venta, este título otorga el derecho de vender un activo subyacente (acciones o bonos) a un precio determinado, hasta (opción americana) o en (opción europea) una fecha determinada. Conceptos relevantes: Fecha de ejercicio: Fecha en (opción europea) o hasta (opción americana) se puede ejercer el derecho que otorga la opción. Prima: Precio que se paga por la opción Precio de ejercicio: Precio al cual se vende(put) o se compra(call) el activo subyacente en (Europeas) o hasta (Americanas) Precio de mercado: La cotización del activo subyacente Call Valor del activo subyacente > Precio de ejercicio In the money Valor del activo subyacente = Precio de ejercicio At the money Valor del activo subyacente < Precio de ejercicio Out of the money Put Valor del activo subyacente < Precio de ejercicio In the money Valor del activo subyacente = Precio de ejercicio At the money Valor del activo subyacente > Precio de ejercicio Out of the money b.- Valoración de mercado: Valor intrínseco: Call si el valor del activo subyacente supera el precio de ejercicio: Valor intrínseco = Valor del activo subyacente – Precio de ejercicio, sino Valor intrínseco = 0 Put si el valor del activo subyacente es inferior al precio de ejercicio: Resultado = Precio de ejercicio - Valor del activo subyacente, sino Resultado = 0 Resultado de invertir en una opción en la fecha de vencimiento: Call si el valor del activo subyacente supera el precio de ejercicio Resultado = Valor del activo subyacente – Precio de ejercicio - prima, sino Resultado = - prima Put si el valor del activo subyacente es inferior al precio de ejercicio: Resultado = Precio de ejercicio - Valor del activo subyacente - prima, sino Resultado = - prima Long: Largo, cuando se tiene una opción, acción o instrumento Short: Corto, cuando se ha vendido una opción, acción o instrumento, pero sin tenerlo. Paridad Call – Put (Opera solamente en opciones europeas): Call + Vp. Precio de ejercicio = Put + Valor de mercado de la acción  Ejemplo: Suponga que usted posee un call europeo sobre acciones de la empresa LA TUERCA C.A con vigencia de 1 año con Precio de ejercicio 3250 y Precio de la opción 150, ¿Cuál sería su ganancia ó pérdida neta en cada uno de los siguientes casos? a) Precio de la acción 2.800 b) Precio de la acción 3.500 c) Precio de la acción 1.000 d) Precio de la acción 1.200 a: -150 b: 3500 - 3250 - 150 = 100 c: -150 d: -150 Ejemplo Para el ejemplo anterior 2, calcule las posiciones finales para el vendedor del Call a: 0 b: -3500 + 3250 = - 250 c: 0 d: 0 Ejemplo: Suponga que usted posee un Put europeo sobre acciones de la empresa EL TORNILLO C.A. con vigencia de 1 año, Precio de ejercicio 3250 y Precio de la opción 250, ¿Cuál sería su ganancia ó pérdida neta en cada uno de los siguientes casos? e) Precio de la acción 3.800 f) Precio de la acción 3.100 g) Precio de la acción 1.300 h) Precio de la acción 1.250 Si Valor < Precio de ejercicio: Precio de ejercicio - Valor - Prima Si Valor > Precio de ejercicio: - Prima e.- -250 f.- 3250 - 3100 - 250 = -100 g.- 3250 - 1300 - 250 = 1700 h.- 3250 - 1250 - 250 = 1750 Ejemplo: Suponga que Ud. Posee una cartera 100% de acciones valorada en $100 mil a valor de mercado y Ud. Desea proteger su cartera de los riesgos del mercado, asegurando un valor mínimo de $ 95 mil (Valor Presente) al final de 2 años. Si el costo de oportunidad del mercado es 5% anual. ¿Cómo aseguraría usted el valor de su cartera? ¿Cuánto pagaría como máximo? Vendiendo las acciones y colocándo el dinero a plazo al 5 % y comprando un call sobre el mismo portafolio a un precio de ejercicio de 100.000 Valor de la inversión en dos años = 100.000 * (1 + 0,05) ^ 2 = 110.250 Disponible para pago de opción = 110.250 – 95.000 = 15.250 Valor presente del monto disponible =15.250/(1+0,05)^2 = 13.832,20 Ejemplo: Suponga que tres inversionistas ANA, MARIA y CARMEN poseen cada una 1.000 dólares para ser invertidos en su totalidad. ANA decide invertir hoy todo su capital en acciones de PEPSI a un precio de $10 por acción, MARIA decide invertir hoy todo su capital en opciones call a un precio de $ 2, con un vencimiento a un año y precio de ejercicio de $10 para las acciones de PEPSI. En cambio CARMEN decide vender Opciones call a $2 c/u con precio de ejercicio $10, para 100 acciones de la misma PEPSI, a la vez que compra las 100 acciones de PEPSI. Calcule las posiciones finales para cada uno de los siguientes escenarios luego de un año (no considere la tasa de Interés): a) El precio de la acción de PEPSI es de $12 b) El precio de la acción de PEPSI es de $ 10 c) El precio de la acción de PEPSI es de $ 8  Ejemplo: Cuál es la utilidad ó perdida neta de un inversionista que habiendo adquirido 5.000 acciones de BMW a 15 euros c/u, compra opciones put sobre las mismas a un costo de 3 euros c/u con precio de ejercicio de 18 euros con duración de un año, en cada uno de los siguientes casos: a) Valor de la acción 10 euros b) Valor de la acción 15 euros c) Valor de la acción 25 euros Acción + Put = Tener la acción y tener un seguro, si la acción baja, no hay pérdidas Desembolso Inicial = 18 Euros Ingreso final = Si la acción está por encima de 18 Euros, valor de la acción Si la acción está por debajo de 18 Euros, 18 euros (put) a: 18 - 18 = 0 b: 18 - 18 = 0 c: 25 - 18 = 7 Ejemplo Dos inversionistas Pedro y Pablo tienen $1.000 y $200 respectivamente. Pedro invierte todo su dinero en acciones de POLAR a $10 c/u, en tanto que Pablo decide comprar opciones call europeas de POLAR a un costo de $2 c/u, con vencimiento a un año y precio de ejercicio $12. Si al final del año las acciones de POLAR valen $18 el mercado. ¿Cuál de los dos inversionistas Pedro ó Pablo obtuvo mayor rentabilidad de su inversión? Flujo Inicial Flujo Final Pedro : 1000 1800 Juan: 200 (18 - 12) * 100 = 600 Rentabilidad: Pedro: (1800 - 1000) / 1000 = 80% Juan: (600 - 200)/ 200 = 200% Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 16 Ejemplos: 16.20, 16.21 y 16.22 Problemas: 16.18 c.- Determinación del valor de opciones mediante el modelo binomial  Variable A E T-t r D Call + - + + + - Put - + + + - + A: Valor de la acción E: precio de ejercicio T: fecha expiración opción, t: fecha actual : volatilidad del precio de la acción r: tasa de interés D: valor presente de los dividendos Modelo binomial: El modelo binomial para valoración de opciones se basa en un caso en el cual el precio de la acción puede, en el marco de un periodo de tiempo, subir en u por ciento o bajar en d por ciento. Si S es el precio actual, el precio al final del periodo puede ser: Su=S(1+u) o Sd=S(1+d). Si la opción call se adquiere y mantiene y siendo el precio de ejercicio de la opción: E, el precio de la opción será al final del periodo: Cu=max(Su-E,0) o Cd=max(Sd-E,0). Siendo la tasa libre de riesgo r y asumiendo que d Ahora considerando que podemos armar un portafolio tomando una posición corta en un call y larga en h acciones Es decir, el dueño del portafolio posee h acciones y ha vendido un call cuya fecha de vencimiento es el final del periodo. Si la acción sube, el portafolio valdrá: Vu = hS(1+u) - Cu Y si baja, valdrá: Vd = hS(1+d) - Cd. Supóngase que h se selecciona de forma en que el portafolio va a tener el mismo precio independientemente de que la acción suba o baje, entonces el valor de h se basará en igualar ambas expresiones: hS(1+u) - Cu = hS(1+d) - Cd o h = (Cu-Cd)/(Su-Sd) = (max(Su-E,0)-max(Sd-E,0))/(Su-Sd). En consecuencia, si se tienen S: Valor actual de la acción E: Precio de ejercicio u: Alza estimada, y d: baja estimada El valor de h puede determinarse. Y NO depende de la probabilidad de alza o de baja. El valor de la h que hace que el valor del portafolio sea independiente del precio de la acción, se denomina razón de cobertura (hedge ratio). Un portafolio perfectamente cubierto es un portafolio libre de riesgo, en consecuencia su valor deberá incrementarse a la tasa libre de riesgo, es decir, r El valor actual de un portafolio cubierto es el valor de las acciones menos el pasivo generado por el call que se vendió. Si C representa el valor de estar endeudado en el valor del call, entonces el valor del portafolio será: (hxS – C) Después de un periodo de tiempo, y creciendo a la tasa libre de riesgo, el portafolio valdrá : (1+r)(hS-C), lo cual equivale a: (hS(1+u)-Cu)=(hS(1+d)-Cd). Despejando C se obtiene: C = hS - (hS(1+u)-Cu)/(1+r) = hS - hS(1+u)/(1+r) + Cu/(1+r) = hS[1 -(1+u)/(1+r)] + Cu/(1+r) = (hS(r-u) + Cu)/(1+r) = [-hS(u-r) + Cu]/(1+r) Lo cual no es sino: h = (Cu-Cd)/(S(1+u)-S(1+d)) = (Cu-Cd)/S(u-d) entonces: C = [(Cu-Cd)(r-u)/(u-d) + Cu]/(1+r) = [Cu[(r-u)/(u-d) + 1] -Cd(r-u)/(u-d)]/(1+r) C = [Cu(r-d)/(u-d) +Cd(u-r)/(u-d)]/(1+r) Si (r-d)/(u-d) es denominado p entonces: 1-p = [(u-d)-(r-d)]/(u-d) = (u-r)/(u-d) Por eso: C = [pCu + (1-p)Cd]/(1+r) Ejemplo: u=+0,1, d=-0,1, r= 0,05, S = 100 y E = 95. Su=S x (1 + u) = 100 (1+0,1) = 110 y Sd=S (1 + d) = 100 x (1 + 0,1) = 90 Cu =Su – E = 110 – 95 =15 Cd = 0 (E >Sd pues 95 > 90) Entonces h= (Cu-Cd)/(S(1+u)-S(1+d)) = (15-0)/(110-90)=0,75 p = (r-d)/(u-d) = (0.05 - (-0.1))/(0.1 - (-0.1)) = 0.15/0.20 = 0,75 C = [pCu + (1-p)Cd]/(1+r) = [(0,75)15 +(0,25)0]/(1+ 0,05) = 11,5/1,05 = $10,71 Vamos a revisar el valor del portafolio: h x S – C = 0,75 x $100 - $10,71 = $75,00 - $10,71 = $64,29 Si el precio de la acción sube a $110, el portafolio valdrá: (0,75)(110) - 15 = 82,50 – 15,00 = $67,50. Si el precio de la acción cae a $90 el portafolio valdrá: (0,75)(90) = $67,50. Este resultado para un periodo puede ser utilizado para determinar el valor del call a dos periodos, el de dos para tres periodos y así sucesivamente. Fórmulas clave: Su = S x (1 + u) Sd = S (1 + d) Cu = Si Su > E Su – E Si Su < E 0 Cd = Si Sd > E Sd – E Si Sd < E 0 h= (Cu-Cd)/(Su-Sd) p = (r-d)/(u-d) C = [pCu + (1-p)Cd]/(1+r) Ejemplo: Cuánto vale el call a seis meses sobre la acción de IBM a precio de ejercicio de 80, siendo el precio actual de 82,20, el porcentaje de alza del 4 % y el de baja del 4 %. La tasa libre de riesgo es del 2 % semestral. u=+0,04, d=--0,04, r= 0,02, S = 82,2 y E = 80 Su = S x (1 + u) Su = 82,2 x (1+0,04) = 85,488 Sd = S (1 + d) Sd = 82,2 x (1-0,04) = 78,912 Cu = Si Su > E Su – E Si Su < E 0 Cu = 85,488 – 80 = 5,488 Cd = Si Sd > E Sd – E Si Sd < E 0 Cd = 0 (pues 78,912 es menor a 80) h= (Cu-Cd)/(Su-Sd) h = (5,488 – 0)/(85,488 – 78,912) = 0,8345 p = (r-d)/(u-d) p = (0,02 – (-0,04)) / (0,04 – (-0,04)) = 0,75 C = [pCu + (1-p)Cd]/(1+r) C = [0,75 x 5,488 + (1-0,75) x 0] / (1+,02) = 4,0353 Vamos a revisar el valor del portafolio: h x S – C = 0,8345 x 82,2 – 4,0353 = 64,5647 Si el precio de la acción sube a 85,488, el portafolio valdrá: 0,8345 x 85,488 – 5,488 = 65,856 Si el precio de la acción cae a 78,912 el portafolio valdrá: 0,8345 x 78,912 = 65,856 (Practicar con ejemplos de la bolsa) ¿Cuál sería el valor del put? Paridad Call – Put (Opera solamente en opciones europeas): Call + Vp. Precio de ejercicio = Put + Valor de mercado de la acción Put = Call + VP Precio de ejercicio – Valor de mercado de la acción Put = 5,488 + 80/(1+0,02) – 82,2 = 1,72 (Practicar con ejemplos de la bolsa) d.- Determinación del valor de opciones mediante el método Black –Scholes C = S x N(d1) – E x e^(-rt) x N(d2) C = Valor de la opción call E = Precio de ejercicio de la opción S = Valor del activo subyacente t = Tiempo que falta para la fecha de ejercicio r = Tasa de interés libre de riesgo e = 2,71828 (base exponencial) N(d) = Función de densidad normal acumulativa d1 = {ln(S/E) + [(r + (sigma^2)/2] x t}/(sigma x t ^(1/2)) d2 = d1 – sigma x t ^(1/2) = {ln(S/E) + [(r - (sigma^2)/2] x t}/(sigma x t ^(1/2)) sigma = desviación standard en la tasa de rendimiento del activo subyacente Ejemplo: Determine el precio de la opción call, a un precio de ejercicio de 80 a seis meses para la acción de IBM cuyo valor de mercado es de 82,2: S = 82,2 E = 80 t = 6 meses = 180 días r = 4 % anual = 0,04/360 diario sigma = 0,009217815 d1 = {ln(82.2/80) + [(0,04/360+ (0.00922^2)/2] x180}/(0,00922 x 180^(1/2)) = 0,44292 d2 = 0,44292– 0.00922 x 180^(1/2) = 0,31925 N(d1) = 0,6700 N(d2) = 0,6255 C = S x N(d1) – E x e^(rt) x N(d2) C = 82,2 x 0,67 – 80 x e^(-0,5*0,04) x 0,6255 = 6,02 Put = Call + VP Precio de ejercicio – Valor de mercado de la acción Put = 6,02 + 80/(1+0,02) – 82,2 = 2,26 (Practicar con ejemplos de la bolsa) Ejercicios recomendados: Shim and Siegel Capítulo 16 Ejemplo: 16.23 Problema: 16.19 En base a los conceptos manejados de estimación de valor de opciones (binomial y Black-Scholes), su equipo deberá calcular los precios de las cadenas de opciones de la acción asignada por el profesor a vencerse en aproximadamente tres y seis meses. Usted deberá comparar los resultados con los que aparecen en las cadenas mostradas en yahoo finance y explicar las diferencias. |
