Aplicación matemática financiera
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PAGOS PARCIALES En ciertas ocasiones, el deudor realiza una serie de pagos parciales para liquidar una deuda, el asunto es encontrar el saldo insoluto cuando se realice esta serie de pagos. Para hallar el saldo insoluto, podemos aplicar dos reglas: la regla comercial y la regla americana (EE.UU). Regla comercial Para encontrar el saldo insoluto aplicando esta regla procedemos de la siguiente manera.  1. Hallamos el monto de la deuda de vencimiento. 2. Encontramos los montos de los pagos parciales, tomando como referencia el tiempo que falta para el vencimiento. 3. Sumamos los montos de los pagos parciales. 4. Restamos el monto de la deuda menos la suma. Ejemplo Una deuda de $2000 con interés de 5% vence en 1 año. El deudor paga $600 en 5 meses y $800 en 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. Monto de la deuda al vencimiento. Sd = 2000(1+ 5/100x1) ; Sd = $2100 Pagos parciales S1=600(1+5/100x7/12) = S1=$617.50 S2=800(1+5/100x3/12) = S2=$810 Total $ 1427.50 2100-1427.50 Saldo= $ 672.50 Regla Americana Para encontrar un saldo insoluto aplicando esta regla procedemos de la siguiente manera. 1. Encontramos el monto de la deuda tomando como referencia el tiempo que utiliza para realizar el o los pagos parciales. 2. Restamos el monto obtenido menos el pago parcial realizado. 3. Las operaciones anteriores, se van realizando hasta cubrir la fecha de vencimiento. Ejemplo Una deuda de $2000 con intereses de 55 vence en 1 año. El deudor paga $600en 5 meses y $800 en 9 meses .Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. S1=2000(1+5/100x5/12) = S1=$617.50 S1=$2041.67 -600 Saldo=1441.67 7m 4600 $800 S2=1441.67(1+5/100x4/12) 9m 3m 1año = S2=1465.70 -800 Saldo$665.70 S=665.70(1+5/100x3/12) Saldo= $ 674.02 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Aplicando. a) La regla comercial, y b) la regla de los Estados Unidos. Hallar el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de $7500 a 10 meses al 6% si es reducido mediante dos pagos iguales de $2500 cada uno, efectuados 4 meses y 7 meses antes de la fecha de vencimiento. 2. Una deuda de $3000 con intereses al 6%, vence en 9 meses. Si se pagan $1000 después de 4 meses y $1200 tres meses más tarde. Hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento aplicando, a) la regla comercial y b) la regla de los EE.UU. 3. El firmante de un documento a 180 días por $ 5000, con interés al 5% fechado el 10 de marzo de 1969, paga $1500 el 6 de mayo de 1969; $750 el 20 de junio de 1969 y $1000 el 19 de agosto de 1969. Hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento, aplicando a) la regla comercial y b) la regla de EE.UU. 4. M pide a un banco un préstamo de $8000 por 8 meses, al 5%. Al término de dos meses paga $ 4000 y al término de 6 meses desea pagar el saldo insoluto ¿Cuánto tendrá que pagar de acuerdo con la regala de EE.UU.? 5. Una persona da 3600 de cuota inicial por la compra de una casa cuyo precio es de $10.000.Posteriormente pagará $1000 al final de cada trimestre durante tres trimestres. Hallar el saldo insoluto al final del año aplicando la regla de los Estados Unidos y suponiendo interés al 8%. TASAS DE INTERÉS APROXIMADAS Estas, se calculan cuando el comprador se compromete a realizar o dar una cuota inicial y el saldo en cuotas fijas, semanales, quincenales, mensuales, etc. Para calcular la tasa de interés aproximada tenemos las siguientes fórmulas: Fórmula residual o comercial 2mI i = B(n+i)-I(n-i) Fórmula razón constante 2mI i = B(n+i) Fórmula serie de pagos 2mI i = Rn (n+1) Fórmula razón directa 6mI i = 3B (n+1) +I(n-1) De donde: m = # de pagos en el año n = # de pagos a realizarse B = valor de contado - cuota inicial R = Pago periódico o anualidad. I = Rn - B EJEMPLOS
m = 52 n = 10 B=74.95 -9.95=$65 R=$6.75 I = I = 6.75(10)-65 I=67.50-65 I = $2.50 2mI 2mI i = i= B(n+1) B(n+i)-I(n-i) 2x52x2.50 i= 2(52)(2.50) i = 65(10+1)-2.50(10-19 65(10+1) i=0.375451263x100 i=0.363636363x100 i=37.5% i=36.4% 6mI 2mI i = i = 3B(n+1)+I(n-1) Rn(n+i) 6x52x2.50 i= 2(52)(2.50) I = 6.75x10(10+1) 3x65(10+1)+2.50(10-1) I = 0.35016835x100 I = 0.359861591x100 I = 35% I = 36% 17.-Un congelador de $475 se ofrece mediante cuota inicia la de $175 y el saldo en 11 pagos mensuales de $30 cada uno. m = 12 n = 11 B = 300 R = 30 I= 30 2mI 2mI i = i = B(n+1) B(n+i)-I(n-i) i=2x12x30 I = 2(12)(30) 300(11+1)-30(11-1) 300(11+1) i=0.218181818x100 i=0.2x100 i=21.8% i=20% 6mI 2mI I = i = 3B(n+1)+I(n-1) Rn(n+1) 6x12x30 I = 2(12)(30) I = 30x11(11+1) 3x300(11+1)+30(11-1) I = 0.181818181x100 I = 0.194594594x100 I = 18.2% I =19.5% RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 18.-Una lavadora cuyo precio de contado es $199.95, se vende con $19.95 de cuota inicial. El saldo se pagará mediante 10 pagos mensuales iguales calculamos con interés global de 6% anual. 19.-Una compañía de ventas por catálogo carga 10% sobre el precio de contado cuando la venta se efectúa a plazos. Se requiere una cuota inicial de una tercera parte y la diferencia en 12 mensualidades iguales. Supóngase un precio de contado de $300 20.-El valor de contado de una bicicleta es $3050. M debía pagar $750 de cuota inicial por la bicicleta usada pero pagó $500. Acordó pagar el saldo en 15 meses al 6% de interés global. 21 Aplicar la fórmula de razón constante, para obtener la tasa aproximada de interés pagada en cada una de las siguientes operaciones: Prestamos Interes Numero de pagos mensuales iguales
22.-Aplicar la formula de razón directa para obtener la tasa de interés pagada sobre los préstamos del problema 21. INTERES COMPUESTO Es la capitalización de los intereses en cada período FÓRMULAS S= C(1+it) S= C(1+i)t i= Tasa de interés por periodos de las partes del año de acuerdo a t Monto = valor futuro Ejemplo: si t es: Mens i = 5/1200 Anual i =5/100 Trimestral i =5/400 Semestral i = 5/200 Semanalmente i = 5/5200 EJERCICIOS 21.- Un padre coloca $500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el 2 1/2% convertible semestralmente. ¿Cuánto habrá, al cumplir 18 años el hijo? S=500(1+2.5/200)36 semestrales 2.5 S=$781.97 23.- Una póliza dotal de $10000 cuyo vencimiento fue el 1 de mayo de 1962, fue dejada en la compañía de seguros al 3 1/2% convertible anualmente ¿Cuál fue su valor el 1 de mayo de1970? S=10000(1+3.5/100)8 S=$13168.09 34.- ¿Cuántos años se necesitaran para que $1500 aumenten al doble, al 6% convertible trimestralmente? t = log S – log C 1 año 4 trimestres log(1+6/400) x 46.55 trim t = log3000-log1500 log(1+6/400) t = 11.64 años 17.- Hallar la tasa de interés i por periodo de conversión y el número n de periodos de conversión cuando se invierte un capital C: h) del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1962, al 3.5% convertible semestral. I = 3.5 1962 - 09 -15 200 1947 - 03 - 15 i = 0.0175 15 - 06 30semt 1sem = 31 semestres 10) Hallar el valor presente de $2000 pagaderos en 8.5 años al 5% convertible semestralmente. C = S (1+i) t C=2000/(1+5/200)17 C=$1314.39 11.- Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal, que acumulada al 3.5% convertible semestralmente importe $6000 cuando el hijo tenga 21 años ¿Cuánto tendrá que invertir? C= S (1+i) t C=6000/ (1+3.5/200)42 C=$2895.38 DEBER 17. Hallar la tasa de interés I por periodo de conversión cuando se invierte un capital c: a) al 4 % anual durante 5 años b) por 8 años al 5% c) por 6 años al 4.5% convertible semestralmente d) por 10 años al 3.5% convertible semestralmente e) por 5.5 años al 4% convertible trimestralmente f) por 6 años 9 meses al 6% convertible trimestralmente. g) del 1ro de enero de 1960 al 1 de julio de 1971 al 5% convertible semestralmente. i) del 18 de agosto de 1948 al 18 de febrero de 1957, al 6% convertible trimestralmente TASAS FINANCIERAS En el sistema financiero nacional existen dos tasas financieras: La Tasa efectiva y la tasa nominal. Tasa efectiva. Es cuando el período de capitalización es el año (se dice anual) Tasa nominal. Es cuando el período de capitalización es diferente al año (semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral… etc.) Tasas equivalentes. Se dice que dos tasas son equivalentes cuando producen el mismo interés en el año. Para hallar tasas equivalentes, procedemos de la siguiente manera.
(1 + i)n = ( 1 + i’)n’ efec trim trim efect sem men Etcétera
ejemplo
Trim sem (1 + i)n = ( 1 + i’)n’      T = 4.9691% Hallar la tasa nominal convertible semanalmente equivalente al 5% Trim sem (1 + i)n = ( 1 + i’)n’     T = 4.88% Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el 5 de $ 3500 es 5000 en 5  años.S = C ( 1+ i)t 5200 = 3500    T = 400  T = 6,85% Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 8% convertible cuatrimestralmente. Men. Cuat. (1 + i)n = ( 1 + i’)n’    T = 7.72. Una deuda de $ 250 vencida hace dos años y otra de $750 pagaderos en 3 años se va a liquidar en la fecha mediante un pago único. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente.   S= 275.95 C=  EJERCICIOS PROPUESTOS: Acumular $1500 por 71/2 años al 5.2% convertible trimestralmente Mediante la regla práctica. Hallar el monto compuesto de:
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