Aplicación matemática financiera




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Ejemplo

Un bono de $ 5.000 al 9% MN, redimible a la par el 15 de noviembre del año 2015, se: vende el 15 de mayo de 2006 con las siguientes opciones de rendimiento:
a) Con una tasa de rendimiento del 8% anual, capitalizare semestralmente.

b) Con una tasa de rendimiento del 9% anual, capitalizable semestralmente.

c) Con una tasa de rendimiento del 10% anual, capitalizable semestralmente.
¿Cuál es el precio para cada opción, así como el respectivo tipo de negociación (si es a i la par, con premio o con castigo)?
Valor de redención: 5.000(1) = $ 5.000

Número de cupones: 19
Valor de cada cupón: 5.000 = $ 225.500
a) Con i = 8%

P = 3.000 (1 + 0,04)-19 + 225
P = 2.373,21 +2.955,14 = $5.328,35

uta 2


Ésta es una negociación con premio, pues su precio es mayor que el valor nominal.
b) Con i = 9%
P = 5.000 (1 + 0,045)-19 + 225
P = 2.166,51 + 2.833,49 = $ 5.000
Ésta es una negociación a la par, pues su precio es igual al valor nominal del bono.
c) Con i = 10%
P = 5.000 (1 + 0,05)-19 + 225
P = 1.978,67+ 2.719,20 = $4.697,87.

Ésta es una negociación con castigo, pues su precio es menor que el valor nominal del bono.

Bonos cupón cero

Son aquellos bonos que no tienen cupones. Su valor actual o precio se calcula tomando sólo como referencia su valor nominal y la tasa de negociación.

Ejemplo.

¿Cuál será el precio de un bono cupón cero de $ 9.000 al 7% JD, redimible a la par el 10 de junio del año 2018, se negocia el 10 de diciembre de 2006 a una tasa de rendimiento del 8% anual, capitalizable semestralmente?

Precio = Valor actual

Precio = 9.000 (1 + 0,035)-23 = $ 4.079,57

Otras clases de bonos

Además de los enunciados, existen diversas clases de bonos que, por razones de espacio, no desarrollaremos en este libro. Entre ellos se destacan:

  • Bonos seriados.

  • Bonos de anualidad.

  • Bonos de estabilidad monetaria (Bems).

  • Bonos del Estado (a largo plazo).

  • Bonos dólares.

  • Bonos con fecha opcional de redención.

  • Bonos de valor constante (para enfrentar la inflación).

  • Bonos municipales.

CLASIFICACION DE BONOS

Clases de bonos

Los bonos son susceptibles de ser emitidos, por igual valor al nominal, por encima del valor nominal, o por debajo del valor nominal del título:

       A la par: cuando el valor de venta es igual al valor nominal del título.

    Con descuento cuando el valor de venta es menor al valor nominal.

       Con prima cuando el valor de venta es mayor al valor nominal.uta 2

La tasa de interés DTF, es el referente para analizar la clase de bonos, sobre la cual los representantes de los tenedores ofrecen a los inversionistas.

 Tasa de oferta del emisor de bonos: consiste en ofrecer una tasa equivalente a la de mercado, o sea igual a la tasa que ofrecen los colocadores de bonos, y depende de las condiciones de mercado, que ofrezcan unos puntos de más o unos puntos de menos con el fin de hacerla atractiva, esto hace que las colocaciones sean por igual valor nominal, con prima o con descuento.

 Tasa de oportunidad: es la tasa de rentabilidad que espera el inversionista obtener de sus valores invertidos en la emisión y si se presenta igual a la del mercado de los títulos valores sería indiferente en tomar la decisión, sin embargo el punto de referencia es la tasa de los colocadores de bonos, entonces si el emisor ofrece uno o dos puntos más por encima del mercado se vuelve aparentemente atractiva la inversión, sin embargo es un gancho a la hora de emitir:

    Quien paga prima sobre bonos, es porque le han ofrecido unos puntos de más, y el mayor valor pagado lo recupera en la calidad de tasa de interés que cobra por estar por encima del mercado.

    Quien paga igual al valor nominal su tasa de interés también es normal a la del mercado.

    Quien paga menos del valor nominal, recupera ese descuento al momento de redimir el bono, porque su tasa de interés está por debajo de la tasa de mercado.

    En conclusión el inversionista en cualquiera de los tres casos anteriores tienen la misma tasa de interés, esto es, la del mercado.

 Quién determina la clase: la clase de emisión de bonos, solamente la determina el tipo de interés o tasa del mercado financiero de bonos, frente al tipo de interés que ofrece la emisora de bonos.

 Bonos a la par

 Si la tasa de oferta del mercado de bonos es la DTF de 10% EA, mas 3% EA., se obtendría una tasa del 13,30% EA., que convertida a tasa nominal pagadera semestre vencido sería del 12,88% SV y la periódica semestre es de 6,44%, que es la referencia del mercado de bonos, y la misma que optará la empresa representante de bonos. Bajo estos parámetros la empresa hace el empréstito porque puede ofrecer la misma tasa y emitir bonos a la par.

 El siguiente cuadro muestra la emisión de 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 con una tasa periódica semestre vencido del 6,44% durante tres años, al cabo de los cuales redimirá la emisión. 

Préstamo

Intereses semestrales (miles)

30.000.000

1.932.742

1.932.742

1.932.742

1.932.742

1.932.742

1.932.742

Redención

30.000.000

 

Los intereses semestrales del orden de $1.932.742 se pagan por los seis meses de vida del prospecto de emisión, al cabo del cual se paga o redime los títulos devolviendo el valor inicial del empréstito.

 Para analizar el valor de los intereses y la recuperación de la inversión, se lleva a una línea de tiempo equivalente que muestre los valores, se presentaría así:

 

Redención 30.000

Interés 1.932.742 1.932.742 1.932.742 1.932.742 1.932.742 1.932.742

Préstamo

30.000.000

Ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses, a la tasa semestral del 6.44% que es la de mercado de bonos, y el último período sumados los intereses y la redención, esto dará el valor presente que la empresa recibirá hoy.

Cálculos

Intereses semestrales (miles)

Interés y préstamo

1.932.742/

(1,0644)1

1.932.742/

(1,0644)2

1.932.742/

(1,0644)3

1.932.742/

(1,0644)4

1.932.742/

(1,0644)5

31.932.742/

(1,0644)6

Valores

1.815.762

1.705.862

1.602.614

1.505.615

1.414.487

21.955.659

VP

30.000.000

 

En este caso la empresa venderá 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un precio de (VP/ n = $30.000.000/ 30.000) $1.000 cada uno.

 Otra forma de calcular los intereses semestrales y el valor de recuperación de la inversión en el último período, es utilizando la fórmula de anualidades.uta 2

  1 – [1 + i]-n

P = R + R (1+ i)-n

i

R = Intereses pagados durante todos los período en forma constante.

i = Tasa de Interés de descuento representativa del mercado de bonos.

n = Número de períodos de pago.

 La primera fórmula obedece a la anualidad y la segunda, a la fórmula convencional de traer el último valor de recuperación de la inversión inicial a valores presentes.

  1 – [1 + 0.0644]-6

P = 2.310 + 30.000 (1+ 0.0644)-6

0.0644

P = 3.000.000 * 4.849699 + 30.000.000* 0.687559

P = 9.373.216 + 20.626.784 = 30.000.000

La tasa del mercado de bonos comparada con la tasa de oferta de la empresa emisora, es lo que determina si la emisión es a la par, con descuento o con prima.

Bonos con prima

Si la tasa de oferta del mercado es del 13.30% EA, la empresa puede ofrecer dos puntos más efectivos anuales a los inversionistas, para una tasa del 15,67% EA por el empréstito, pagadero semestralmente durante tres años, al cabo de los cuales redimirá la emisión. Como la tasa de oferta anual de mercado es del 12.88% SV y la nueva tasa de oferta es del 15.0% SV, los bonos tendrán que emitirse con prima:

Préstamo

Intereses semestrales (miles)

30.000.000

2.250.488

2.250.488

2.250.488

2.250.488

2.250.488

2.250.488

Redención

30.000.000

 

Observe que se liquido el interés con una tasa de 7,50% y ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses a la tasa de mercado 6.44% y en el último período por concepto de redención por valor de $30.000.000, esto dará el valor presente que la empresa recibirá hoy. Aplicando la fórmula dará el siguiente resultado.uta 2

  1 – [ 1 + 0.0644 ]-6

P = 2.250.488 + 30.000.000 ( 1+ 0.0644)-6

0.10

P = 2.250.488 * 4,849699 + 30.000.000* 0.687559

P = 10.914.191+ 20.626.784 = 31.540.975

 En este caso la empresa venderá 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un precio de mercado ($31.540.975/ 30.000) de $1.051 cada uno, y el excedente sobre el valor nominal constituye prima en emisión de bonos.

 Bono con descuento

 Si la tasa de oferta del mercado es del 12,88% SV., la empresa que hace el empréstito, puede ofrecer por debajo de esa tasa dos puntos, para un total de 10,75% pagadero semestralmente durante tres años, al cabo de los cuales redimirá la emisión:

 Préstamo

Intereses semestrales (miles)

30.000.000

1.611.802

1.611.802

1.611.802

1.611.802

1.611.802

1.611.802

Redención

30.000.000

 Ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses a la tasa del mercado de 6,64% y en el último período se le suma a los intereses el valor de la redención.

  1 – [ 1 + 0.664 ]-6

P = 1.611.802 + 30.000.000 ( 1+ 0.664)-6

0.664

P = 1.611.802 * 4.849699 + 30.000.000* 0.687559

P = 7.816.752 +20.626.784 = 28.443.537

 En este caso la empresa venderá 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un precio de mercado de ($28.443.537/30.000) $948 la diferencia con respecto al valor nominal constituirá descuento en la emisión de bonos.uta 2

 En conclusión, siempre se le reconoce al prestamista la tasa de oferta de mercado, y la tasa de oferta es simple juego financiero para mostrar mayores expectativas.

Bono

El Bono es un documento a largo plazo emitido por una empresa privada o el gobierno. Particularmente, el prestatario recibe hoy dinero a cambio de una promesa de pago después, con interés pagado entre el período de efectuado el préstamo y el instante del reembolso. Por lo general, la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de cupón.

Existe una amplia gama y formas de bonos. Para nuestro caso, consideramos cuatro clasificaciones generales:

1º. Títulos–valores. Emitidos y respaldados por el gobierno. Son considerados títulos-valores de menor riesgo en el mercado. Los intereses generados casi siempre están exonerados del impuesto a la renta estatal y local. Existen tres tipos de títulos-valores: Certificados mayores o igual a un año; Pagarés de 2 a 10 años y Bonos de 10 a 30 años.

2º. Bono hipotecario. Respaldados por hipotecas o por activos determinados de la empresa que emite los bonos. Existen hasta tres tipos de bonos hipotecarios: de Primera hipoteca, de Segunda Hipoteca y Fideicomiso de equipo. Los bonos de primera hipoteca tienen primera prioridad en el caso de liquidación. Son de más riesgo y consecuentemente, la tasa que pagan es menor. Son referenciados como bonos colaterales los respaldados por una garantía colateral. Un bono de fideicomiso de equipo es aquel en el que el bien comprado a través del bono es usado como una garantía colateral.

3º. Bonos amortizables. No están respaldados por ningún tipo de garantía colateral. Por lo general estos bonos pagan las tasas más altas de interés debido a su mayor riesgo.

Existen hasta tres tipos de bonos amortizables:

a) Bono convertible. Es un bono cuyas cláusulas permiten que éste sea convertido en acción de la empresa que lo emitió a un precio prefijado. A cambio, tienen un cupón inferior al que tendría sin la opción de convertibilidad, lo cual el inversor acepta previendo una posible subida del precio de la acción.

b) Bono subordinado. Representa la deuda ubicada una detrás de otra deuda en el caso de reorganización o liquidación de la empresa.

c) Bono especulativo, bono basura o junk bonds. En la jerga financiera de EE.UU., título de renta fija y alto rendimiento emitido por compañías cuya solvencia no es de primera clase; sin que a pesar de ello existan expectativas de posible insolvencia. uta 2

4º. Bonos municipales. Emitidos por los gobiernos locales. Generalmente estos bonos están exentos del impuesto a la renta. La tasa de interés pagada por estos bonos por lo general es muy baja. Estos bonos pueden ser:

a. Bonos de obligación general. Son emitidos contra los impuestos recibidos por el gobierno local. Es decir estos bonos están respaldados por todo el poder impositivo del emisor.

b. Bonos de ingresos. Son emitidos contra el ingreso generado por el proyecto financiado (planta de tratamiento de agua, energía eléctrica, puente etc.). Lo que no puede hacerse es crear impuestos para el reembolso de los bonos de ingresos.

c. Bonos de cupón cero. Emitido sin cupón de renta (no hay pagos de intereses periódicos). Son negociables con descuento sobre su valor nominal, el cual es redimido a su vencimiento. La TIR surge del diferencial entre el valor nominal y el precio.

d. Bonos de tasa variable. Son aquellos cuyas tasas de los cupones son ajustados a puntos determinados en el tiempo (semanalmente, mensualmente, anualmente, etc.).

e. Bonos de venta. Los bonos de venta brindan al tenedor la oportunidad de hacer efectivo el bono en fechas determinadas (una o más) con anterioridad a su vencimiento.

Las empresas o sociedades agentes de bolsa con el fin de ayudar a los inversionistas califican los bonos de acuerdo con la cuantía de su riesgo asociado con su compra (Calidad AAA de la más alta calidad) hasta DDD (bonos de la peor calidad).
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