Aplicación matemática financiera




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Procesos de Bonos e Intereses

Como vimos, un bono no es más que un préstamo. Es un préstamo otorgado a una empresa o gobierno con el dinero de uno o varios prestamistas. El «emisor» del bono (la empresa o gobierno que recibe el préstamo) adquiere el compromiso de pagar a sus «inversores» una tasa de interés por prestarle el dinero (compensación por posponer la posibilidad de un consumo presente) y a rembolsar el valor nominal del bono a su vencimiento. En términos generales, cada préstamo o «emisión» de un bono tiene ciertas y particulares condiciones detalladas en el momento de la emisión. Estas condiciones son: el valor nominal del bono, su tasa de interés o cupón, el período de pago de intereses del bono y su fecha de vencimiento.

El valor nominal. El principal o capital que hace referencia a su denominación; los valores más utilizados son los bonos de: UM 100, 500, 1,000, 10,000 y 50,000. El valor nominal es importante por dos razones: uta 2

1. El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a la fecha de su vencimiento.

2. El importe del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono, es calculado multiplicando el valor nominal del bono (VN) por su tasa de interés (ib) divido entre el período (nb), con la siguiente fórmula:

Generalmente un bono es comprado con descuento (menor que el valor nominal) o con una prima (mayor que el valor nominal). Para el cálculo del interés I del bono solamente utilizamos el valor nominal y no el precio de compra.

Ver ejemplo anterior (Recibiendo intereses por la compra de bonos)

Calcular el monto de interés que Jorge recibirá por período si compra un bono de UM 10,000 al 4%, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos bimestralmente.

Solución:

VN = 10,000; ib = 0.04; nb = (12/2) = 6; I =?

Respuesta: Jorge recibirá por concepto de intereses UM 80 cada 2 meses adicionales a los UM 10,000 que recibirá al vencimiento del bono.

Ver ejemplo anterior (Recibiendo pagos por invertir en un bono)

Una empresa fabricante de cocinas y hornos industriales tiene proyectado expandirse y para financiarse recurre a la emisión de bonos de UM 1,000 al 6% para financiar el proyecto. Los bonos vencerán dentro de 10 años con pagos semestrales de interés. El Gerente de la empresa compró uno de los bonos a través de su Agente de Bolsa por UM 900. ¿Cuánto recibirá por concepto de pagos?

Solución:

VN = 1,000; ib = 0.06; nb = (12/6) = 2; I =?

Respuesta: El empresario recibirá UM 1,000 en la fecha de vencimiento del bono, dentro de 10 años; además recibirá cada seis meses el importe de UM 30 por concepto de intereses, conforme el compromiso de la empresa a pagar al momento de la emisión.

Factores de riesgo de los bonos

Cada uno de los determinantes del flujo final de fondos de la inversión en un bono son los distintos factores de riesgo de los instrumentos de renta fija, donde los principales son: uta 2

1. «Riesgo de default», el riesgo de incumplimiento del emisor;

2. «Riesgo moneda» o riesgo de recibir los pagos de amortización y renta en la moneda pactada o el tipo de cambio que afecte la rentabilidad de la inversión;

3. «Riesgo de liquidez», o riesgo de que las posibilidades de vender el bono (o transferir a un tercero los derechos sobre la amortización y renta del bono antes de su vencimiento) sean limitadas;

4. «Riesgo de inflación» o riesgo de que la inflación erosione el rendimiento final de la inversión;

5. «Riesgo de reinversión» o el riesgo de variación de la tasa de interés a la cual podremos reinvertir el dinero que cobremos por renta o por amortización durante la vigencia del bono;

6. «Riesgo tasa de interés», o riesgo de que cambios en las condiciones generales de la economía impacten en el precio del bono en el mercado.

Bono Cupón Cero

Es aquel que no paga intereses durante la vida de la emisión, sino que, los perciben íntegros con la amortización del principal, es vendido con un fuerte descuento sobre el nominal, siendo su precio muy sensible a las variaciones de los tipos de interés. Con frecuencia estos bonos son vendidos con descuentos mayores al 75% de su valor nominal, para hacerlos más atractivos ante los inversionistas. El bono cortado es un bono convencional cuyo cupón de intereses es vendido en forma separada de su valor nominal. El comportamiento de éste bono es el de un bono cupón cero.

Precio / Tasa. Tasa / Precio

Entender por qué y cómo interrelacionamos estas variables es función de la tasa de Interés. La tasa de interés es la que genera la dinámica de un bono, lo que le da vida.

EJEMPLO 216 (Préstamo o inversión en un bono)

a) César propone a Jorge que le preste UM 1,000 por un año, con la promesa de devolverle UM 1,120 al final de este período. Este caso es lo mismo que invertir en un bono que vale UM 1,000 (valor nominal) con un rendimiento anual del 12%.

b) Jorge tiene otra propuesta similar en monto y plazo que el anterior, pero la oferta de devolución al final del año no es UM 1,120 sino UM 1,300.

Este segundo caso (bono) vale también UM 1,000, pero con un rendimiento anual del 30%. uta 2

Frente a esta segunda oferta, César necesitado de dinero y la seguridad de rembolsar UM 1,120 al final del año, decide mejorar la segunda oferta y propone que además de devolverle al final del año la suma indicada, –le dice- «en lugar de prestarme hoy los UM 1,000, me arreglo con sólo UM 862 que es lo que realmente requiero para el apuro que tengo».

Para calcular el valor del bono que debe ofertar César a Jorge aplicamos la fórmula:

VF = 1,120; ib= 0.30; n = 1; VA =?

Lo que César hizo es bajar el precio del bono a UM 862 y automáticamente le subió la tasa de interés a 30%. Calculamos la tasa (ib), aplicando la fórmula conocida:

VF = 1,120; VA = 861.5385; n = 1; ib=?

Relación del precio con la tasa de interés

La relación del precio con la tasa de interés es muy importante, como pasamos a demostrarlo:

1) El comportamiento del precio de un bono es contrario a la tasa de interés: si el precio baja la tasa sube y si el precio sube la tasa baja.

Si el plazo del bono aumenta, para una misma tasa de rendimiento anual le corresponde un precio del bono menor, o bien, para que el precio sea invariable cuando el bono estira su plazo, la tasa debe bajar. Para una misma tasa de interés, el precio baja si el plazo sube.

2) El movimiento del precio de un bono es al revés que el plazo para una misma tasa. El movimiento del precio de un bono se comporta de manera inversa a la tasa y al plazo. Esto último es así porque el «impacto» de la misma tasa anual se «potencia» por la simple acumulación de años: duplica en dos años, triplica en tres años, etc.

3) La sensibilidad del precio del bono frente a cambios en la tasa es creciente a medida que aumenta el plazo del bono. Sensibilidad y plazo guardan una relación directa.

Valor actual de los bonos

Cada vez que nos referimos al precio del bono hacemos mención al «valor actual» del monto del vencimiento, o dicho de otra manera, al monto del vencimiento actualizado a la fecha de hoy.

El precio del bono es siempre el monto que, aplicándole la tasa de interés, iguala el importe del vencimiento. Si al valor del vencimiento le descontamos el interés, obtenemos su precio. uta 2

El precio es equivalente al «valor actual» del importe del vencimiento «descontado» a la tasa de interés del bono.

Luego, el precio de un bono «es» el «valor actual» de su «flujo de fondos esperado» «descontado» a su tasa de rendimiento.

EJEMPLO (Cuánto pagaría hoy por un bono...)

Una persona requiere tener un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre una inversión en bonos, ¿cuánto pagaría hoy por un bono de UM 5,000 al 7% que vencerá dentro de 10 años y paga intereses semestrales?

Solución:

VN = 5,000; ib = 0.07; nb = (12/6) = 2; I =?

1º Calculamos el valor del pago de los intereses (cupón) del bono:

2º Utilizando la tasa de interés por período que la persona prevé recibir: 10% anual compuesto semestralmente, es decir 10%/2 = 5% semestral. La tasa de interés del bono (ib) sólo es utilizada para el cálculo del importe del pago de los intereses del bono. I es simplemente un valor C.

VA = [FORMULA] + [FORMULA]

I(C) = 175; i = 0.05; n = 20; VF = 5,000; VA =?

Respuesta:

La persona debe pagar por el bono UM 4,065.33 el día de hoy para asegurarse un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre su inversión. Pagar una cantidad mayor que la indicada significaría una tasa de retorno menor al 10% esperado.

SEGURO DE VIDA
UNA PÓLIZA DE SEGURO DE VIDA es un contrato entre una compañía de seguros y una persona (el asegurado). En este contrato:

  1. el asegurado acuerda hacer uno o más pagos (pagos de primas) a la compañía,

  2. la compañía promete pagar, al recibo de pruebas de la muerte del asegurado, una suma fija, a una o más personas (beneficiarios) designados por el asegurado.uta 2


Los principales tipos de seguro de vida son:

(i) Seguro de vida entera en el cual, la compañía promete pagar el valor nominal de la póliza al beneficiario a la muerte del asegurado, cuando sea que ésta ocurra.

(ii) Seguro temporal a n-años en el cual, la compañía promete pagar el valor nominal de la póliza al beneficiario, a la muerte del asegurado, únicamente si el asegurado muere dentro de los n años siguientes a la emisión de la póliza.

(iii) Seguro dotal a n-años en el cual la compañía promete pagar el valor nominal de la póliza al beneficiario, a la muerte del asegurado, si el asegurado muere dentro de los n años siguientes a la emisión de la póliza y pagar el valor nominal de la poli/a al asegurado al término de n años, si sobrevive el período.
En la práctica los beneficios se pagan tan pronto se demuestre la muerte del asegurado, sin embargo, para simplificar los cálculos necesarios supondremos que los beneficios de cualquier póliza serán pagados al final del año póliza en el que el asegurado muere. Como en el caso de las anualidades contingentes, únicamente consideraremos aquí primas netas.
SEGURO DE VIDA ENTERA. Designemos con Ax la prima neta única de una póliza de seguro de vida entera de 1, emitida para una persona de edad x. El problema de hallar Ax puede reducirse al problema de hallar la cantidad con la que cada una de las /x personas, todas de edad x, deben contribuir para constituir un fondo suficiente que permita a la compañía pagar al beneficiario, de cada asegurado, la cantidad de 1 al final del año en que el asegurado muere. La contribución total al fondo es lxAx. Durante el primer año. dx de los asegurados morirán de acuerdo con la tabla de mortalidad y debe pagarse dx de beneficio al final del año. El valor presente de estos beneficios es (1+i)-1dx = υdx. Durante el segundo año, dx + 1 personas morirán y el valor presente de los beneficios pagaderos al final del año es υ2dx+1, y así sucesivamente.

Por tanto

uta 2


lxAx = υdx + υ2dx+1 + υ3dx+1 + … hasta el final de la tabla
Ax = υdx + υ2dx+1 + υ3dx+1 + … hasta el final de la tabla

lx
Multiplicando numerador y denominador por υx, tenemos

Ax = υx+1dx + υx-2 dx+1 + υx+3dx+2 + … hasta el final de la tabla

υx lx
En términos de los valores conmutativos

Dx = υx lx Cx = υx-1 dx Mx = Cx + Cx-1 + Cx-2 + … +C99
Tenemos

Ax = Cx + Cx-1 + Cx-2 + … +C99

Dx
y finalmente

Ax =
Los valores de Mx al 2 % se encuentran en la última columna de la tabla XV.
Ejemplo 1.
Hallar la primera neta única de una póliza de seguro de vida entera de $1000, expedida para una persona de 22 años de edad.

Utilizando (1), 1000 A22 = 100 = 1000

Rara vez se venden pólizas de seguro a prima única. En su lugar, se pagan primas iguales al principio de cada año, ya sea, (a) durante toda la duración de la póliza, o (b) durante los primeros m años de vida de la póliza. Para el seguro de vida entera estos tipos de pagos anuales de primas se indican con la denominación de, (a) seguro ordinario de vida, o (b) seguro de vida pagos limitados a m años.

uta 2


Designemos con P, la prima neta anual de una póliza de seguro ordinario de vida de 1 emitida para una persona de edad x. Puesto que los pagos de primas forman una anualidad vitalicia anticipada de P, por año, tenemos (véase la fórmula (2), capítulo 16)
PX äX = AX

por lo cual
Ejemplo 2.

Hallar la prima neta anual de una póliza de seguro ordinario de vida de S1000 para una persona de 22 años de edad.

Utilizando (2),

Designemos con mPx la prima neta anual de una póliza de seguro de vida pagos limitados a m años de 1, para una persona de edad x. Puesto que los pagos de primas forman una anualidad contingente temporal anticipada a m años, tenemos (véase la fórmula (J), capítulo anterior.


Por lo cual




Ejemplo 3.

Hallar la prima neta de una póliza de seguros de vida pagos limitados a 10 años de $1000 para una persona de 22 años.




Utilizando (3), 1000 10P22 = 1000 uta 2
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