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SISTEMAS DE UNIDADES

Wilson Miguel Salvagnini

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

jackwill@uol.com.br

Na Engenharia pode-se parafrasear o grande filósofo Chacrinha: - “quem não mede, para se estrumbicar pede” – Estamos sempre medindo algo, comprimento, temperatura, pressão etc. Mas o que é medir? Medir nada mais é do que fazer uma comparação. Quando meço o comprimento de um duto, por exemplo, 5 metros, na verdade estou comparando o comprimento daquele duto com um padrão de comprimento chamado Metro, então o meu duto é 5 vezes maior do que o comprimento de algo chamado metro.
Já que medir é comparar, quando quisermos medir algo podemos comparar com qualquer coisa. Assim, posso dizer que eu tenho uma altura de 9 palmos (de minha mão direita), mais 2 caixas de fósforos, (de comprido), e 5 larguras de palitos de fósforos, da mesma caixa. Outro exemplo: O rei George III da Inglaterra decidiu que o galão, medida de volume padrão para comparação, deveria ser igual ao volume do seu urinol. Vem daí o “galão imperial”. Ele enviou o urinol de sua esposa para as colônias para servir de padrão. E vem daí o “galão americano”. Isto é uma loucura! Cada um escolhe o que quiser para servir de comparação! É preciso racionalizar os padrões para comparação.
Comprimento
Uma das primeiras tentativas feitas para estabelecer um sistema mais racional de medidas e que deveria ser universal, surgiu em meados do século XVII, quando o padre Gabriel Mouton, vigário da Igreja de São Paulo, de Lyon, França, sugeriu a adoção como unidade de comprimento o arco de um meridiano terrestre compreendido pelo ângulo de 1’ (um minuto) cujo vértice se situa no centro da terra. Este comprimento seria de aproximadamente 1851,8 m. As suas subdivisões deveriam ser em escala decimal. A sugestão de Mouton não foi adotada na época. Outra proposta semelhante foi consagrada 150 anos mais tarde, quando, em 1790, em plena Revolução Francesa, a Academia de Ciências de Paris, composta pelos maiores cientistas da época, foi encarregada de estabelecer um sistema de medidas unificado. Nasceu assim o sistema que deveria ser adotado por todos.

A unidade de medida de comprimento, disseram os cientistas da a Academia de Ciências de Paris – não precisa ter como referência medidas humanas como as unidades precedentes (braço, pé, passo etc.). Deve, ao contrário, referir – se a algum comprimento fixo e invariável da natureza. O que teríamos melhor do que o planeta em que vivemos?
É certo de que a Terra é um pouco grande para que a sua medida sirva como unidade, porém pode-se tomar um comprimento característico do globo por exemplo a distância entre o polo e o equador e dividi lo por um número suficientemente grande para se obter o comprimento fixo, a unidade de medida procurada. Por este caminho se chegou ao metro, definido, a princípio, como a décima milionésima parte da distância do polo norte ao equador no meridiano que passa por Paris.
Por volta de 1800 o metro passou a ser definido como o comprimento entre dois traços gravados nas extremidades de uma barra de platina depositada no instituto Internacional de Pesos e Medidas em Paris, França. Em 1870 uma nova barra, agora de Platina com Irídio, Platina Iridiada, para evitar desgaste com o tempo. Atualmente, a definição do metro data de 1960, baseada no comprimento de onda luminosa emitida por uma fonte considerada padrão, o Criptônio 86.
O sistema métrico trouxe algo de muito bom com relação aos múltiplos e submúltiplos: uma escala decimal de grandezas . Raciocinar de 10 em 10 é muito mais fácil para o ser humano, que na pior das hipóteses pode usar os dedos da mão para ajudar a raciocinar.:
Milímetro (mm).........0,001 m

Centímetro (cm)............0,01 m

Decímetro (dm).............0,1 m

Metro ( m )...............1 m

Decâmetro (dam).............10 m

Hectômetro ( hm )...........100 m

Quilômetro ( km )........1000 m
Repare como o sistema métrico decimal é mais racional que o sistema anglo-saxão (inglês) de medidas de comprimento:

1 polegada (25,4 cm) deve ser igual ao comprimento de três grãos de cevada alinhados.

1 jarda (0,914 m) deve representar a distância entre a ponta do nariz e o polegar, com o braço estendido, do rei Henrique I, Século XII;

1 pé igual a 12 polegadas (0,305 m).

Sistema que os Ingleses tentaram impor ao mundo e quase conseguiram.
Massa
Se medir é comparar então, quando medimos a massa de um determinado objeto utilizando uma balança de dois pratos, como mostrado na figura 1, fica evidente que medir é comparar; comparar o peso do objeto com o peso de um corpo tomado como padrão. Mas, por acaso não estamos querendo medir a massa de um objeto? Como estamos comparando pesos? Na verdade, neste tipo de balança comparamos pesos: peso do objeto = peso padrão. Como o peso é igual ao produto da massa pela aceleração da gravidade no local (g), podemos escrever:



FIG. 1- Balança de pratos
massa do peso padrão . g = massa do objeto . g

cortando g

massa do peso padrão = massa do objeto

Assim comparamos as duas massas. A vantagem deste tipo de balança está no fato de que a medida é a mesma em qualquer ponto da Terra, no litoral ou no topo do Evereste, onde a aceleração da gravidade da Terra é menor. Por outro lado, as balanças que medem diretamente o peso, por meio de a distensão de uma mola, ou outro dispositivo eletrônico, não apresentam a mesma medida em pontos diferentes da Terra. O pessoal que vive nos Andes recebe muito mais peixe dos que aqueles que vivem em Santos quando compram 1kg de peixe, desde que a balança tenha sido calibrada em Santos.


FIG.2 – Balança de mola
As balanças analíticas de laboratório, apesar de parecerem eletrônicas, comparam o peso de um dado objeto com pesos padrões que estão embutidos dentro da balança.

Mas qual é a massa ou o peso padrão com o qual podemos fazer comparações? Podemos eleger qualquer coisa como um padrão de peso, por exemplo: 700 grãos de trigo que por ordem do rei Henrique VIII no século XVI, na Inglaterra, seria o peso padrão ou a libra. Mas era uma unidade muito grande para ser utilizada na pesagem de ouro ou prata, por isso ele dividiu a libra em 16 partes dando o nome de onça! Ainda hoje a onça é utilizada para o ouro. Definitivamente os reis da Inglaterra não gostavam de raciocinar em escala decimal.
Os franceses, na mesma época que definiram o metro, 1790, teriam elegido como o padrão de massa o grama como a massa de 1 cm cúbico de água destilada à 4ºC. Apenas para construção de padrão representativo da unidade ter-se-ia adotado por convenção a massa de 1000 g; o quilograma. Estabeleceram também que os submúltiplos deste padrão de massa deveria obedecer a uma escala decimal, assim:

grama (g) decagrama (dag) hectograma (hg) quilograma (kg)

0,001 kg 0,01 kg 0,1 kg 1 kg

Isto é bem melhor do que utilizar a libra, a onça ou qualquer outra fera.
Tempo
Na idade média usava-se a ampulheta como medida de tempo, obviamente cada uma tinha a sua própria medida, seguramente a contagem do tempo era bem caótica. O mesmo raciocínio foi feito para a medida padrão de tempo, começou-se dividindo o dia em 24 partes iguais, a hora. Verificou-se que a hora era uma medida muito grande para boa parte dos eventos corriqueiros por isso, dividiu-se a hora em uma outra unidade de tempo 60 vezes menor, chamada de mínima, o nosso minuto. Novamente, foi necessário se estabelecer uma “segunda” e menor unidade de tempo dividiu-se o minuto em sessenta partes à qual se deu o nome de segundo, devido justamente ser uma segunda subdivisão de tempo. Foi este segundo escolhido como unidade padrão de tempo e definido como sendo a fração 1/86400 do dia solar médio. Mas como a duração do dia tem variação ao longo dos anos (o dia tem aumentado a sua duração de 0,5 s por ano!) em 1967 se estabeleceu uma definição mais rigorosa para o segundo: “ É a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição de um elétron entre os dois níveis do estado fundamental do átomo de Césio 133”. Os relógios atômicos podem medir o tempo com muita precisão fornecendo o padrão de comparação de tempo segundo muito confiavel.
Sistema Métrico Decimal
Reunindo-se os padrões de comparação para medidas de comprimento, metro; massa, quilograma; tempo, segundo e mais uma unidade de volume, o litro, igual a 1000 cm3, e utilizando múltiplos e submúltiplos desses padrões em escala decimal tem se o chamado Sistema Métrico Decimal. Note que o sistema métrico decimal tem de permeio uma unidade de volume, o litro, que poderia muito bem ser substituído por cm3 ou m3. Mas o sistema métrico decimal não é um sistema próprio da engenharia ou ciência mas algo voltado mais para as transações comerciais e hoje em dia ele é utilizado quase que universalmente, apesar da resistência de Ingleses e Americanos.
Grandezas Fundamentais e Derivadas
A existência do litro chama a atenção para o fato de que poder-se-ia racionalizar mais os sistema de medidas que seria mais apropriado para a engenharia e para a ciência. A todo rigor não seria necessário definir o litro como uma unidade padrão porque ele pode ser colocado como uma unidade derivada do metro (=0,001 m3). Se o metro é tomado como uma unidade fundamental, a unidade de área (m2) é uma unidade derivada assim como a de volume (m3). Se o metro e o segundo são tomados como unidades fundamentais, a velocidade (m/s) e a aceleração (m/s2) são derivadas. A idéia é estabelecer o menor número de unidades, ditas fundamentais, a partir das quais qualquer outra unidade pode ser obtida através de relações algébricas. A escolha é arbitrária, mas o bom senso estabeleceu algumas como fundamentais. Para a mecânica, qualquer grandeza pode ter a sua unidade dada pela combinação da unidade de comprimento, massa e tempo. Então escolhendo o metro, o quilograma e o segundo tem-se:

Velocidade (m/s), aceleração (m/s2), força (kg.m/s2), energia (kg.m2/s2), quantidade de movimento (kg.m/s), pressão (kg/(s2.m)), etc. Este sistema foi consagrado na mecânica e recebe o nome de “SISTEMA MKS” (metro, quilograma, segundo). Neste sistema algumas unidades derivadas recebem nomes especiais: Para a força Newton, para a pressão, Pascal. Para a energia o Joule.
Entretanto a coisa não é tão simples assim. Foi muito usado e ainda se encontra, principalmente na engenharia, unidades de um sistema no qual em vez da massa ser uma grandeza fundamental, a força é escolhida como fundamental. Este sistema é o MKS técnico ou MKS*. Neste sistema a grandeza fundamental é o quilograma – força. Então no MKS* tem-se metro, quilograma – força, segundo
Para entender o quilograma - grama força imagine que um corpo sofra a ação de uma força igual a 1 kgf e adquira a aceleração de 1 m/s2, então, a sua massa é igual a 1 unidade neste sistema:
1 kgf = 1 (unidade de massa) x 1 m/s2
Assim a unidade de massa deste sistema foi batizada como Unidade Técnica de Massa o famoso utm que perdeu muito espaço para o kg (e hoje quase esquecido).
Compare com o MKS, neste sistema a força é uma unidade derivada então o Newton é definido como a força que atua em uma massa de 1kg quando este adquire uma aceleração de 1m/s2

1(unidade de força) = 1kg X 1m/s2
Esta unidade de força é o Newton.

O esquema da FIG. 3 pode ajudar a entender o Newton e o utm:




FIG. 3 utm e kg
A massa de 1kg no MKS pesa 9,8N mas no MKS* pesa 1kgf porque:
No MKS: o peso de 1kg = 1kg X9,8m/s2 = 9,8N

No MKS*: o peso de 1kgf = mX9,8 m/s2 m = 1/9,8utm.
O fato de 1kg no MKS pesar 1kgf no MKS* foi e ainda é uma grande fonte de confusão! É muito comum se falar que uma dada massa pesa 1kg, é óbvio que se está omitindo o f do kgf. Cuidado, é muito fácil misturar sistemas de unidades diferentes com o kg e o kgf.
Nos sistemas de unidades inglesas acontece a mesma coisa ou pior. Também existe um sistema inercial onde as unidades fundamentais são: comprimento, massa e tempo.
Comprimento: pé cuja abreviatura é ft (do Inglês feet)

Massa: libra massa cuja abreviatura é lbm (em Inglês abrevia-se lb mas chama-se pound)

Tempo: é o nosso conhecido segundo (s).
O problema é que existem 3 tipos de libra:

“pound avoirdupois” para grandezas comerciais equivalente a 0,435kg e divida em 16 onças (oz).

“pound troy” para metais preciosos equivalente a 0,373kg subdividida em 12 onças.

“pound apothecaries” (libra apotecária) para pesagem de drogas e produtos farmacêuticos também equivalente a 0,373kg.
Normalmente em engenharia se utiliza a avoirdupois.
Assim a unidade de força neste sistema é definido em função das unidades fundamentais:
1 unidade de força = 1lbm X 1ft/s2

essa unidade de força é chamada de “poundal”
Portanto poundal é a unidade de força no sistema inercial de unidades inglesas.

Ao lado do sistema inercial inglês de unidades existe o ponderal onde as unidades são: comprimento, força e tempo:
Comprimento: pé (ft); Força: libra força (lbf) e Tempo (s)
Usa-se como unidade fundamental a libra força. A libra força é definida como o peso de um corpo cuja massa é 1lbm. É a mesma coisa que acontece entre o MKS e o MKS*

Assim, neste sistema, a massa é uma grandeza derivada:
1lbf = 1unidade de massa X 1ft/s2
Esta unidade de massa recebe o nome de “slug”

Então: 1lbf = 1slug x 1ft/s2

A aceleração da gravidade da Terra no nível do mar é, em unidades inglesas: 32,2 ft/s2.

O peso de um corpo em 1lbf será:
Peso em 1lbf = Massa em slug x 32,3ft/s2

Peso em Poudals = Massa em lbm 32,2 ft/s2
A figura 4 pode ajudar a entender o que acontece com estes sistemas:


FIG. 4 – Libra massa e slug
Sistema CGS
Ao lado do sistema de unidades MKS e MKS* ainda se usa o sistema CGS onde as unidades fundamentais são o centímetro, o grama e o segundo. É um sistema inercial onde a força, uma unidade derivada e definida como:
1unidade de foça no CGS = 1g x 1cm/s2
Essa unidade de força é chamada de “dina”

1kg= 1000g 1m/s2 = 100cm/s2 então 1N = 1000g x 100cm/s2 = 100000 g.cm/s2 105 dina

ou 1 N = 105dina.
O FAMIGERADO gc
Em muitas fórmulas, principalmente em livros mais antigos, se encontra o termo gc.

Este fator, aparece quando há mistura de diferentes sistemas de unidades, assim, em vez de se escrever:

F = m.a

F = força em Newtons, m = massa em kg e a = aceleração em m/s2, escreve-se:

F = m.a/gc

F = força em kgf, m = massa em kg e a = aceleração em m/s2. Misturamos o MKS e o MKS* , pode se encarar como sendo um truque para evitar o uso do utm. O valor de gc pode ser obtido sabendo que 1kg pesa 1kgf no local onde a aceleração da gravidade da Terra é 9,8067m/s2 então,
1kgf = 1kg x 9,8067m/(s2.gc)

daí gc = 9,8067kg.m/(s2.kgf)
Problema idêntico ocorre entre os sistemas inercial e ponderal ingleses. Deve ser utilizado o gc quando se tem a força em lbf e a massa em lb e ele vale 32,174lb.ft/(s2.lbf)
UNIDADES DE ENERGIA
Em todos os sistemas vistos anteriormente a energia é uma grandeza derivada, Partindo da definição de trabalho, que é energia, força x deslocamento pode-se escrever:
Sistema CGS ----- dina.cm = erg

Sistema MKS ----- N.m = Joule

Sistema MKS* ----- kgf.m = quilogramagrâmetro

Inglês inercial ----- poundal.ft = sem nome especial

Inglês ponderal ----- lbf.ft = sem nome especial
Um erg é mais ou menos a energia que você gasta para dar um piscada.

E a caloria?

A caloria é uma unidade de energia, cujo uso não é recomendado mas ainda muito utilizada. Ela é definida como a quantidade de energia necessária para elevar de 14,5°C a 15,5°C 1 g de água. Por ser 1 g é designada como “caloria-grama”. A caloria-grama eqüivale sempre , a uma quantidade de energia mecânica de 4,186J, o equivalente mecânico do calor. É interessante notar que é uma unidade definida com grandezas muito disponíveis, 1g de água e temperatura de 14,5ºC que é a temperatura média da água lá na Europa.

Só que os Ingleses não ficaram atrás, também têm a sua unidade de energia: o BTU (british thermal unit) e eqüivale a 252 calorias – grama, note que esta unidade é muito usada em em sistemas de ar condicionado.
Temperatura
A temperatura é uma grandeza cuja unidade não pode ser obtida por relações algébricas a partir do comprimento, massa e tempo. É desconhecida a origem de termômetro, mas de qualquer forma, em meados de 1600, o termômetro já era amplamente conhecido na Europa. E cada fabricante tinha a sua própria escala de medida. Era comum termômetros terem no meio uma marca “l” para mostrar a situação de temperatura confortável, acima desta marca havia 8 graus de calor e abaixo, oito graus de frio e cada grau por sua vez era subdividido em 60 minutos. Como toda medida teve um começo caótico, porém, Isaac Newton já intuiu que deveria acontecer uma racionalização propondo uma escala de temperatura na qual o ponto de congelamento da água fosse tomado como zero e a temperatura do corpo humano como 12º. Mesmo assim, em 1800, podia-se comprar um termômetro com 18 escalas diferentes!

O desenvolvimento de um termômetro com uma escala padronizada começou com Daniel Gabriel Faherenheit. Inicialmente Faherenheit adotou como temperaturas de referência 32º para a temperatura de congelamento da água e 96º para a temperatura do corpo humano. Como o corpo humano é pouco confiavel (algumas pessoas apresentam sangue quente outros são pessoas muito frias) a marca de 96º não foi uma boa referência por isso ele passou a usar a temperatura de ebulição da água como sendo 212º. Nesta escala a água do mar congela a 100º e o corpo humano passa ater uma temperatura de 100º. Como o termômetro de Faherenheit vendeu bem, sua escala tornou-se largamente aceita.

Já na França a escala de Faherenheit não foi aceita inicialmente. Lá, Réaumur; construiu um termômetro apropriado para os fabricantes de vinho. Sua escala ia de 0º para o gelo fundente e 80º para a água em ebulição. Semelhante foi o caso do sueco Anders Celsius que propôs uma escala dividida em 100 divisões (centígrados) adotando uma escala em que a água congele a 100° e entre em ebulição a 0º. Por coincidência, Lineu, amigo de Anders, que era canhoto, utilizou o termômetro de Anders de cabeça para baixo, assinalando 0° para o congelamento da água e 100º para a ebulição e, então, sem perceber o erro recomendou o uso desta escala.

Mais tarde William Thomson, posteriormente lorde Kelvin, imaginou uma escala de temperaturas baseado no conceito da máquina de calor ideal reversível de Sadi Carnot.

Esta escala de temperatura, que fornece a unidade de temperatura termodinâmica, o “kelvin” teve a sua definição estabelecida quando se fixou convencionalmente a temperatura do ponto tríplice da água igual a 273,16 graus kelvin. Note que a escala proposta por lorde Kelvin é uma escala absoluta, esta unidade não leva o símbolo de graus como as outras unidades, assim escreve-se 273,16K e não 273,16°K. Além disso a variação de 1K é igual à variação de temperatura de 1°C.

Assim a conversão de graus Kelvin (T) para graus Celsius (t) obedece a relação:
t = T-273,15
Repare que não é 273,16 e sim 273,15, estabelecida por definição. Assim o zero absoluto se dá a –273,15ºC.
Rankine também fez uma escala de temperaturas absoluta cuja unidade é o grau rankine que estabeleceu o zero absoluto em –460ºF e a variação de 1ºR ser igual à variação de 1°F

A seguir são dadas as relações de conversões entre as diferentes unidades de temperatura:

Para transformar kelvin para celsius t = T-273,15

Para transformar celsius para kelvin T = t+273,15

Para transformar celsius para faherenheit(F) F = 1,8*t+32

Para transformar faherenheit para celsius t = (F-32)/1,8
Repare que a variação de 1°C corresponde à variação de 1,8°F; quando um corpo tem a sua temperatura aumentada de 1°C na escala Celsius, ele tem a sua temperatura aumentada de 1,8°F na escala faherenheit. Isto costuma dar confusão, a variação de temperatura é diferente de temperatura, assim:

Para transformar variação de graus celsius em variação de graus faherenheit t = 1,8*F

E vice versa: F = 1/1,8 x t.
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