Los enigmas de la civilización egipcia




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Matemáticas


Los libros de texto y todos los libros de interés general escritos por las autoridades en la materia presentan una visión simplista y negativa de los logros matemáticos de Egipto. No todos los especialistas com­parten esta pobre opinión, ni la han compartido nunca. Sin embargo, la existencia de controversia nunca se menciona en aquellos textos o li­bros de interés general, y esto resulta engañoso.

La mayoría de los egiptólogos sostienen que en Egipto las matemá­ticas eran una cuestión práctica, relacionada con el reparto de los ce­reales y de la tierra. Con este fin se desarrollaron unas matemáticas poco manejables, y, una vez establecidas, nunca se mejoraron. Quienes sostienen esta postura están convencidos de que los egipcios no com­prendían los principios matemáticos subyacentes a sus propios méto­dos, que se supone que se había «desarrollado» por ensayo y error.

Pero existe una minoría que discute este punto de vista y trata de demostrar que, aunque las reglas y principios nunca se declararon ex­plícitamente, el conocimiento de dichas reglas se hallaba implícito; en otras palabras: si las reglas y principios no se hubieran conocido, las matemáticas egipcias no habrían sido, ni habrían podido ser, lo que fueron.

Me habría gustado presentar este razonamiento de una manera tal que permitiera a las personas de mentalidad matemática juzgar por sí mismas. Por desgracia, una presentación paso por paso requeriría de­masiadas páginas, y no hay forma alguna de resumirla.

La situación, pues, se puede representar mediante una analogía: es como si dentro de 5.000 años todas las evidencias de la tecnología oc­cidental se hubieran desvanecido, y sólo hubieran quedado algunas piezas de un mecano, y unos cuantos fragmentos y piezas de otros jue­gos mecánicos.

Enfrentados a tales evidencias, los descendientes de los egiptólogos modernos argumentarían que la tecnología del siglo xx era una activi­dad práctica y jocosa orientada a divertir a los niños. Por su parte, los descendientes de los egiptólogos del otro bando se mostrarían en desa­cuerdo, afirmando que la propia naturaleza de aquellos juguetes pre­suponía una compleja tecnología y un íntimo conocimiento teórico de una serie de campos.

Todo lo que sabemos de las matemáticas egipcias proviene de un papiro del Imperio Medio concebido como un ejercicio para niños, y de algunos fragmentos de otros textos de carácter similar.

El texto completo se conoce como «papiro de Rhind», y consiste en un rollo con unos ochenta problemas y sus soluciones. Aunque proce­de del Imperio Medio, se afirma que es una copia de otro papiro más antiguo, aunque nadie puede decir cuánto más antiguo. En consecuen­cia, resulta imposible hablar de un «desarrollo» de las matemáticas egipcias. Sabiendo que la mitología, el simbolismo, los jeroglíficos, la medicina y la astronomía egipcias estaban ya plenamente desarrolladas en las primeras dinastías, no hay ninguna razón especial para suponer que las matemáticas fueron un añadido posterior.

El desciframiento de los textos matemáticos constituyó una tarea formidable. Aparte de los inevitables problemas lingüísticos, los egip­tólogos se enfrentaron a un sistema matemático completamente dis­tinto del nuestro, y, para complicar aún más las cosas, el mejor y más completo de los papiros, el de Rhind, fue copiado con excelente mano por un escriba, Ahmose, que evidentemente prestó más atención a su caligrafía que a su exactitud matemática. Así, en el papiro aparecen va­rios errores evidentes.

Habiendo establecido la existencia de errores, no se puede culpar a los egiptólogos por suponer que había más errores de copia en deter­minados problemas cuya respuesta correcta no se podía encontrar. Sin embargo, al reexaminar estos problemas a partir de las bases propor­cionales, geométricas y armónicas en las que realmente se fundamen­taban las matemáticas egipcias, Schwaller de Lubicz logró mostrar que no es que los problemas hasta entonces considerados insolubles o in­correctos fueran incoherentes (aunque pudieran contener errores), sino que, más bien, no se podían abordar con los actuales métodos occi­dentales.



Ibid., p. 95.

No merece la pena dedicar demasiado tiempo a un problema que resulta claramente incompleto e incorrecto. Lo único que se puede des­cifrar es que el segundo cálculo es el hallazgo del área del pequeño triángulo cuya base y altura se señalan en la figura como 2 1/4 y 7 respectivamente. En este problema, el multiplicador 1/2 está escrito como si realmente fuera 1/2 setat ... aunque existe una constante con­fusión entre «millares-de-tierra», que se debería haber mostrado en unidades independientes, y setat, que se debería haber colocado bajo el signo del rectángulo.

El primer cálculo resulta desesperanzador, y no parece tener sentido por sí mismo ni mostrar relación alguna con la figura. [Lucie Lamy lo­gró resolver este problema, mostrando que se relacionaba con el cono­cimiento del tetractys y de la proporción. Nota del autor.}

Esta diferencia de planteamiento se aplica a todos los aspectos de las matemáticas egipcias, aunque, obviamente, los resultados serán los mismos: la multiplicación es la multiplicación, la división es la división, y el área de una superficie sólo puede ser un número x de determina­das unidades. En general, enseñamos las reglas al estudiante; luego éste las aplica a un problema, y, al hacerlo, aprende a calcular, pero no por ello se hace idea del significado de la propia regla: aprende cómo se comportan los números, pero no por qué se comportan de ese modo. Al estudiante egipcio se le daba el problema, y luego el escriba guiaba sus cálculos. Pero nunca se daba la regla; es como si se esperara que el estudiante la descubriera por sí mismo. En otras palabras, las mate­máticas eran una cuestión de descubrimiento individual, antes que de repetición acertadamente ejecutada, como ocurre entre nosotros.

Incluso el lenguaje empleado en los papiros sirve para promover este sentido de vitalidad, de interacción viviente. Nuestros textos esco­lares suelen mantener una prudente distancia entre el problema y el es­tudiante: «si se necesitan siete barras de pan para alimentar a nueve fa­milias, ¿cuántas barras de pan se necesitarán para alimentar a 32 familias?». Egipto, en cambio, personificaba el problema: «Desciendo tres veces al hekat. Se me añade una tercera parte de mí mismo. Se me añade una tercera parte de una tercera parte de mí, y se me añade una novena parte de mí. Vuelvo plenamente satisfecho. ¿Quién dijo esto?» (papiro de Rhind, problema 37); o «Desciendo tres veces a un hekat.


R. J. Gillings, «The Addition of Egyptian Unit Fractions», Journal of Egyptian Archaeology, 51, pp. 95 y 97.

Un estudiante de las ciencias exactas del antiguo Egipto ... pronto se da cuenta de lo que, a primera vista, parece ser una marcada «rareza» en las soluciones de los problemas aritméticos. Esta «rareza» reside en aquello sobre lo que se hace mayor énfasis. Así, por ejemplo, y tenien­do debidamente en cuenta la técnica y los métodos de los que dispo­nía el escriba egipcio, se puede presentar un problema de relativa difi­cultad, y hallaremos un contenido explicativo, especialmente aritmético, del tipo más elemental y sencillo consignado con todo detalle, mientras que el mecanismo de los razonamientos más abstrusos y minuciosos puede haberse omitido completamente. Es como si el escriba no fuera consciente de su dificultad intrínseca, y se limitara a consignar la res­puesta...

No podemos dejar de asombrarnos ante las molestias que se toma el escriba para repasar cosas que a nosotros nos parecen tan elementales; sin embargo, en otros lugares, con operaciones relativas a la adición de fracciones de proporciones alarmantes, da inmediatamente las respues­tas con la mayor indiferencia.

William Temple, Nature, Man and God, Macmillan, 1934, p. 149.

Descubrimos que el universo muestra evidencias de un poder de de­signio y de control que tiene algo en común con nuestras mentes indivi­duales, no tanto en lo que hemos descubierto, la emoción, la moralidad o la apreciación estética, sino en la tendencia a pensar de una manera, el deseo de un mundo mejor, que podríamos denominar matemático ... Últimamente se ha manifestado sorpresa por el hecho de que las mate­máticas parecen ser la única ciencia que ha sobrevivido, ya que todas las demás se han incorporado a las matemáticas.

Se me añade una séptima parte. Regreso plenamente satisfecho» (pro­blema 38).

Nuestro sistema impone una tarea al estudiante; el sistema egipcio le ofrecía una especie de aventura a través de unas matemáticas equi­valentes a las de nuestra escuela secundaria: multiplicación; división de números enteros y de fracciones; progresiones aritméticas y geométri­cas, y proporciones; medidas, y cálculo de la inclinación de la pirámi­de (para lo que se utiliza el triángulo de Pitágoras, supuestamente des­conocido para los egipcios); la regla de tres, y el volumen del cilindro.

Aunque encomiables, los matemáticos y egiptólogos actuales no consideran que estas técnicas sean especialmente sofisticadas o avan­zadas, y desdeñan la orgullosa afirmación del papiro de Rhind: «Aquí radican todos los secretos, todos los misterios».

La dificultad para comprender las matemáticas egipcias estriba en la falta de disposición —y, en última instancia, en la incapacidad— del hombre moderno para ver las cosas de un modo distinto de como está acostumbrado a verlas. Aunque antes de Schwaller de Lubicz los argu­mentos que avalaban el conocimiento egipcio de las reglas matemáti­cas resultaban convincentes, incluso éstos se basaban en la inequívoca suposición de un «progreso» en las matemáticas (como en todo lo de­más). Se suponía que Egipto (y todas las demás sociedades antiguas, denominadas «primitivas») no había sido sino un «ensayo» de lo que sería el siglo xx occidental. Así, aun aquellos eruditos que sostenían que las matemáticas egipcias eran mucho más sofisticadas de lo que ge­neralmente se reconocía, las juzgaban desde nuestro punto de vista, y trataban de averiguar si en ellas había binomios, álgebra o algoritmos decimales; en otras palabras, trataban de ver hasta dónde había «avan­zado» Egipto en nuestra dirección.

Pero Egipto carecía de la noción de «progreso». Para evaluar sus matemáticas, debemos juzgarlas en el contexto de la civilización egip­cia, y no en el de la nuestra. En segundo lugar, nuestra propia y omni­presente obsesión por el progreso y la «evolución» ha llevado a los ma­temáticos modernos a glorificar su especialidad, dándole incluso un carácter sacrosanto. Sin embargo, y a pesar de su facilidad en los ám­bitos mundanos y de su elegancia en las esferas científicas, las mate­máticas modernas pueden ser objeto de crítica. En el nivel más pro­fundo, los científicos y filósofos modernos confían en utilizar las matemáticas para describir el mundo físico objetivamente. Se cree que una fórmula matemática es precisa, exacta e inmune a las interpreta­ciones subjetivas, a diferencia de una mera descripción verbal.

Para la ciencia y la filosofía modernas, el mundo físico es la «reali­dad». Para los materialistas intransigentes, las «realidades» emociona­les y psicológicas son meros aspectos de esa realidad física que (de mo­mento) no son susceptibles de medición.

Pero en esta fase el hombre moderno se debe enfrentar a una serie de paradojas de su propia creación. A pesar de todos sus éxitos en la mecánica, estas matemáticas «objetivas» hacen uso de abstracciones que no tienen correspondencia alguna en la experiencia. La raíz cua-

drada de menos uno, cero o infinito constituyen abstracciones sin co­rrespondencia en ese reino físico al que llamamos «realidad». Y sin di­chas abstracciones las fórmulas no funcionan. En otras palabras, para describir el mundo fenoménico «científicamente» la ciencia debe recu­rrir a la abstracción (que es un eufemismo para no decir fantasía).

Cuando la ciencia abandona el ámbito de la mecánica y la tecnolo­gía, y observa la física subatómica —la ciencia de la estructura básica de la materia y, por tanto, necesariamente, la ciencia en la que se ba­san todas las demás ciencias—, el panorama se hace aún más comple­jo y fascinante.

Desde la teoría de la relatividad de Einstein se sabe y se acepta que la materia es una forma de energía, una coagulación o condensación de energía. Una consecuencia de ello es que, al menos para los científicos, el materialismo se ha convertido en una filosofía provisionalmente im­posible, un hecho que de nada ha servido para evitar que muchos cien­tíficos lo sigan profesando.

En gran parte con la esperanza de obtener una prueba última del ca­rácter accidental y de la intrínseca falta de sentido del universo (y, en consecuencia, de sus propias vidas), los científicos han ahondado aún más en la estructura de la materia, confiando en encontrar una unidad básica en la que, de un modo u otro, se base toda la materia.

Esta búsqueda, que los más brillantes físicos modernos han com­prendido intuitivamente que está condenada al fracaso, actualmen­te está siendo abandonada aun por quienes se muestran psicológica­mente incapaces de aceptar las consecuencias de sus propios descubri­mientos.

Paralelamente, las más recientes generaciones de físicos se han edu­cado con la paradoja de unas ondas que son partículas y unas partícu­las que son ondas. Aunque no más capaces de comprender la situación intelectualmente de lo que lo fueron sus predecesores, al menos algu­nos de estos nuevos físicos abordan su materia liberados del legado emocional de las falacias victorianas y newtonianas.

Hoy es evidente e ineludible que los últimos descubrimientos y teo­rías relativos a la estructura del universo físico resultan asombrosa­mente paralelos a la visión implícita, y con frecuencia explícita, en las filosofías orientales, filosofías cuyos orígenes, según la teoría evolucio­nista aceptada, se pierden en la prehistoria, en la época en la que nues­tros ancestros acababan de bajar de los árboles.

Recientemente estas semejanzas y correspondencias han sido explotadas extensamente por Fritjof Capra, un físico totalmente familiariza­do con la filosofía oriental y —lo que es más importante— con su prác­tica (C 4).

Es una lástima que Schwaller de Lubicz ya no viva para poder co­mentar el trabajo de Capra, y que éste no haya leído a Schwaller de Lubicz y que, en consecuencia, no haya explorado las realidades subya­centes al pitagorismo. Mi propia competencia para comentar su trabajo es limitada, puesto que no soy físico ni matemático y, por tan­to, no puedo criticarlo ni comentarlo con autoridad. Sin embargo, y por lo que soy capaz de comprender, me parece que los físicos están a punto de renunciar a una de las creencias científicas más sólidamente arraigadas: la capacidad de la ciencia para descubrir la «verdad objeti­va» del universo.
Matemáticas modernas y metafísica antigua
En el contexto de la física subatómica, no hay, ni puede haber, «ver­dades objetivas». Hay sólo «procesos» y «pautas de probabilidad». La estabilidad de la «materia» es una ilusión de los sentidos. Las mate­máticas se pueden utilizar cada vez con mayor precisión para describir dichas pautas, probabilidades y procesos. Pero en su forma actual no pueden explicarlos por sí solas. Sin embargo, el planteamiento pitagó­rico —que, según muestra Schwaller de Lubicz, constituye la formula­ción de las matemáticas egipcias— sí se puede utilizar para hacerlo.

Al menos algunos físicos están estudiando atentamente la visión del universo físico propia del hinduismo, el budismo y el taoísmo: que lo que denominamos el «mundo» o la «realidad» no es sino un aspecto de la «mente». No posee realidad «objetiva» por derecho propio, pero adopta su forma y se somete a la medida sólo a través de la mediación de los sentidos del hombre. En otras palabras, si nuestros sentidos es­tuvieran organizados de manera distinta, el mundo también parecería diferente; sería «objetivamente» distinto.

Sin embargo, los conceptos metafísicos orientales se expresan verbalmente, no matemáticamente; y lo verbal nunca puede ser rigurosa­mente científico en el sentido que nosotros damos al término. En la me­dida en que soy capaz de comprender el pensamiento de las modernas matemáticas, creo que no hay ninguna forma de expresar científica­mente esta última y fundamental percepción; pero los descubrimientos de la física subatómica están obligando a los científicos a respaldar la visión metafísica, no materialista y, en última instancia, espiritual del mundo oriental.

En este punto se hacen evidentes algunas llamativas diferencias en­tre los métodos (y objetivos) oriental y occidental, ya que, pese a toda su sofisticación, por su propia naturaleza las modernas mate­máticas no sirven para describir absolutos. El físico debe contentarse con aproximaciones, por muy cercanas y precisas que sean, que abor­den únicamente determinados aspectos del todo. La ciencia ha deci­dido observar el tesoro de Alí Baba a través del ojo de una cerradu­ra; sus esfuerzos se emplean en mejorar su equipo de visión y su lenguaje descriptivo (las matemáticas). Pero —como saben muy bien todos los voyeurs— es imposible ver toda la habitación desde cual­quier ángulo a través del ojo de una cerradura, y sólo se puede atis-bar ese ángulo concreto.

A pesar de las semejanzas descriptivas, los métodos y los objetivos de la mística son distintos. Para el místico, el planteamiento «voyeu-rista» no sirve a ningún propósito. El místico dedica su vida a apren­der a decir «¡Ábrete, sésamo!», y luego entra y hace suyo el tesoro. En beneficio de los demás describe lo que ve lo mejor que puede; pero su objetivo consiste en atravesar él mismo la puerta. En términos prácti­cos, las implicaciones de los dos planteamientos llegan mucho más allá de las fronteras de la mística, la metafísica y la filosofía de la ciencia: uno lleva a la bomba de hidrógeno; el otro, al Taj Mahal.

En el mundo de la física subatómica el tiempo y el espacio en el sen­tido corriente pierden su significado, y el lenguaje ya no les sirve a los físicos para expresar lo que descubren en términos comprensibles para el intelecto racional. Así, partículas que al mismo tiempo son ondas pueden estar en dos «sitios» a la vez, y los acontecimientos subatómi­cos del «pasado» están precedidos por acontecimientos del «presente». La materia ya no es una cosa, sino una pauta de probabilidades, la pro­babilidad de que algo se pueda determinar estadísticamente con un cierto grado de certeza mediante las matemáticas. Pero eso es lo máxi­mo que cabe esperar de las matemáticas modernas.

Pese a todo su poder descriptivo, pues, éstas no pueden facilitarnos la comprensión de las palabras clave que aparecen una y otra vez en esa ciencia nueva y radical, y que son: «pauta», «proceso» e «interac­ción». Los físicos, incluyendo a Capra, tienden a utilizar estas palabras como si sus significados resultaran evidentes; pero no lo son: resultan tan misteriosas y tan inmunes a las explicaciones científicas modernas como el tiempo y el espacio.

Aunque incapaces de explicar el proceso, la pauta y la interacción (y aparentemente inconscientes de la necesidad o de la importancia de hacerlo), los físicos modernos aplican las matemáticas a la formulación de teorías que puedan, al menos, describirlos. Hasta la fecha, ninguna de las teorías propuestas carece de inconvenientes, pero resulta intrigan­te descubrir que las más prometedoras parecen estar relacionadas de manera sorprendente con los fundamentos de las matemáticas y del simbolismo egipcios: la creación de la materia implica el «cruce» de partículas de carga opuesta. Las bellas y elegantes fotografías tomadas en la cámara de burbujas, con sus cruces y espirales, parecen casi re­presentaciones deliberadas o conscientes del principio de la doble in­versión y del desarrollo espiral de la sección áurea, el principio creador primordial.

Schwaller de Lubicz, que escribía en la década de 1950, había se­ñalado ya el modo en que los avances en la física estaban demostran­do la validez de la antigua filosofía egipcia y pitagórica.

La sabiduría del Templo no sobrevivió intacta, o en su forma ori­ginal, a la civilización egipcia; pero ha llegado hasta nuestros días filtrándose a través de diversos grupos más o menos clandestinos aparentemente sin una organización central: alquimistas, gnósticos, neoplatónicos, cabalistas, francmasones, sufíes y otros. (Según Paul Tannery, en una fecha tan tardía como


1341 el matemático bizantino Rhabdas seguía utilizando el sistema egipcio de fraccionamiento para la extracción de raíces cuadradas.* Nadie sabe en qué momento di­cho sistema desapareció del todo.) Pero el arte y la arquitectura egip­cios se hallan lo suficientemente intactos como para permitirnos re­cuperar una gran parte de la sabiduría original.

En Oriente, la situación es la opuesta. Diversas tradiciones muy an­tiguas se han mantenido vivas hasta hoy, sustentadas por toda una se­rie de maestros. Sin embargo, ninguna obra de arte ni de arquitectura es tan antigua como los restos egipcios, y —según la mayoría de las auto­ridades en la materia— la filosofía y la metafísica orientales no se consignaron por escrito hasta una fecha relativamente reciente. En consecuencia, resulta imposible saber exactamente qué parte del anti­guo sistema conserva aún su forma original y qué parte se ha corrom­pido, se ha popularizado o, simplemente, se ha convertido en algo me­ramente exotérico.

En un estudio arquitectónico exhaustivamente detallado, The Hin­dú Temple (Universidad de Calcuta, 1946), Stella Kramrisch ha de­mostrado que las proporciones del templo hindú están regidas por una comprensión del número, la armonía y la interacción de los números similar a la que predominó en Egipto. Parece probable, pues, que la desconcertante proliferación de deidades y la profusión de mitos indios encarnen un conocimiento similarmente preciso del número como cla­ve de la función (aunque hoy a los eruditos les resulte ya imposible deslindar los elementos basados en el conocimiento de los basados en la imaginación).

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•, Metnoires sáentifiques, Gauthier-Villars, 1920, tomo IV, p. 13. 1 206

J. Pecker, en L'Astronomie, junio de 1975, p. 230.

El problema que se planteaba era el de saber si esta onda asociada a las partículas (electrones o fotones) medía (por su intensidad) la proba­bilidad de su presencia, sin negar, consecuentemente, su naturaleza cua­si temporal y su movimiento determinista (la actitud de De Broglie y de Einstein); o si, por el contrario, este descubrimiento implicaba, a escala microfísica, una completa renuncia al determinismo (la actitud de Hei-senberg y de Bohr). Esta controversia aún no ha finalizado. De ahí el gran interés del debate actual, aireado aquí por el profesor Es-pagnat...

R. Espagnat, en L'Astronomie, junio de 1975, passim.

Así, bajo una forma u otra, los principios cuánticos fundamentales dominan el mundo de la física. Éstos han permitido no sólo el progre­so, sino también una extraordinaria unificación de nuestros conoci­mientos. No resulta sorprendente que una herramienta tan poderosa rompa los límites familiares, y nos obligue a pensar en el mundo y en nuestra relación con él de forma distinta a nuestros predecesores. Y esto nos lleva a la segunda parte de este ensayo: el papel de la nueva mecá­nica en el desarrollo de las ideas ... [Debemos reconocer que cualquier apariencia de formas cualitativamente distintas se realiza cuantitativa­mente mediante la introducción de números enteros. Estos números en­teros, que Kepler buscara en vano en las órbitas de los planetas, regu­lan las órbitas de los átomos y de las moléculas. Así, a través de un largo rodeo (refinado y despojado de arcaísmo), un componente esencial del pensamiento pitagórico vuelve con todos los honores.] Éste es nuestro primer ejemplo del hecho de que el pensamiento científico es un pensa­miento universal... Una vez se ha descorrido el velo, nos enfrentamos ... a sorprendentes perspectivas que, de hecho, nos traen de nuevo las cuestiones planteadas por nuestros ancestros ante el espectáculo del mundo, aunque en un nivel menos ingenuo.

Entre estas grandes cuestiones, debemos tomar nota de la del azar ...

Se ha dicho que Einstein no creía en el indeterminismo, y se le atri­buye la frase: «El buen Dios no juega a los dados». Pero esto no es más que una anécdota. En su opinión, no se trataba de un problema funda­mental. El problema que preocupaba a Einstein era, sobre todo, que la mecánica cuántica reabría el concepto, igualmente fundamental, del «objeto», y obligaba a una revisión de todos los puntos de vista cientí­ficos actuales sobre la relación entre sujeto y objeto. Este problema no guarda relación con el de echar los dados, y es más serio.

Creo que deberíamos prestar atención a las grandes incertidumbres de Einstein y De Broglie, así como a las voces, menos conocidas, de los físicos más jóvenes de todos los países, quienes nos dicen que las fór­mulas ya no bastan; que tiene que haber una realidad más allá de nues­tros sentidos y más allá de nuestro espíritu, y que, si la ciencia espera aproximarse a ella, es posible que se impongan requisitos especiales que lleven más allá de las fórmulas. Delinear estos requisitos resulta difícil y peligroso. Y exponerlos de manera detallada constituye una tarea in­grata, debido al riesgo evidente de arbitrariedad. Pero, frente a lo que parece ser un exceso de pragmatismo neopositivista, resulta esencial for­mular estos requisitos, al menos como hipótesis que se pueda someter a prueba.

R. A. Schwaller de Lubicz, Symbol et Symbolique, El Cairo, 1951, passim.

Por primera vez, la investigación científica [exotérica] lleva por me­dios racionales al umbral de la puerta que permite echar una ojeada a la vida interior de la materia. Resulta, pues, indispensable mantenerse en contacto con la ciencia actual, aunque sólo sea de manera general ... El actual estado del progreso, la causa de la profunda revolución del pensamiento científico, permite le restauración de los principios subya­centes a la auténtica trascendencia del símbolo. Lo que ayer mismo se podría haber considerado mera especulación filosófica se fundamenta hoy en experimentos científicos con consecuencias revolucionarias, de los que sólo unos pocos toman nota, mientras que el resto siguen fieles al determinismo racional del siglo xix ... El carácter granular en la con­tinuidad de la onda, es decir, el fotón, que tiene la apariencia de una cantidad aislada en la función continua de la onda, lo discontinuo en lo continuo. Es esta simultaneidad que la inteligencia «cerebral» ya no puede captar, pero cuya existencia se demuestra mediante la experi­mentación, la que el físico Werner Heisenberg denominaría «el princi­pio de incertidumbre», pero que, traduciéndolo psíquicamente, yo lla­maría «el momento actual».

En el interior del átomo, la unidad constituyente de la materia, las antiguas leyes no se aplican. Siguen siendo válidas para la materia; pero, por ejemplo, en el interior del átomo la gravitación newtoniana no de­sempeña papel alguno, y son los efectos electromagnéticos los que ac­túan. Esto es un hecho, pero pide un mayor estudio, ya que aquí nos ha­llamos de nuevo frente a lo desconocido, llamado ahora «afinidades». Por otra parte, la química de Lavoisier se halla felizmente extinguida, puesto que hoy sabemos que la materia se convierte constantemente en energía y que se está creando constantemente (por transmutación en isótopos). Sabemos que en la parte superior de la atmósfera el nitrógeno se transmuta en un isótopo del carbono, que luego pasa a «nutrir» a la ve­getación, lo cual arroja —o arrojará— una curiosa luz sobre los fenó­menos vitales de la superficie de la Tierra.
Al sondear cada vez más profundamente en la estructura de la ma­teria, los físicos han tenido que abandonar los absolutos en los que se basaba la ciencia newtoniana: el átomo como entidad inmutable, el tiempo absoluto y el espacio absoluto, que han sido reemplazados por las nociones de pauta, proceso e interacción.

No estoy lo suficientemente cualificado para decir de qué modo hay que abordar la pauta, el proceso y la interacción en el marco de las mo­dernas matemáticas. Pero en varias ciencias orgánicas e inorgánicas está bastante claro que se ajustan a las leyes armónicas, rítmicas y pro­porcionales. Como ya hemos visto en el estudio de la cimática, la for­ma es el resultado de la frecuencia; o, dicho en palabras esotéricamen­te más precisas, la forma es el aspecto de la frecuencia aprehensible por los sentidos. Es difícil imaginar que el mundo subatómico no se halla estructurado de manera similar.

En su detallado y elaborado análisis de los problemas de los papi­ros egipcios, Schwaller de Lubicz muestra que todas las matemáticas egipcias se basan en un conocimiento íntimo de la armonía y la pro­porción, de la interacción de los números y de la particular trascenden­cia funcional de determinados números y proporciones concretos. Ade­más, muestra también que todos los problemas que aparecen en los papiros, sin excepción, admiten una solución geométrica: en todos los casos, la solución dada al problema se puede exponer de una ma­nera geométrica que «demuestra» que es verdadera.

Las matemáticas egipcias no se basan en el método de ensayo y error, ni tampoco los egipcios ignoraban las reglas subyacentes a sus métodos. Como muestra Schwaller de Lubicz, los números y fracciones clave elegidos por los egipcios para ilustrar estos problemas escolares son suficientes para disipar esa idea.

Incluso el tan denostado carácter «engorroso» del sistema egipcio admite una nueva lectura con tal de que, primero, seamos capaces de moderar nuestro culto a la facilidad.

El sistema egipcio de multiplicación mediante duplicación era un sis­tema lento, pero seguro; resulta sorprendente con qué sencillez, e, in­cluso, con qué rapidez se pueden construir los multiplicadores más com­plicados mediante este método.

Es cierto que se tarda más en escribir ViVi1 que en escribir 9. Y se tarda más en escribir una simple multiplicación o división anotada de forma extensa —como ocurre en el papiro de Rhind— que el mismo problema con la notación moderna. Por otra parte, el método emplea­do por el escriba da una idea de cuál era la práctica real de las mate­máticas una vez que se dominaban dichos métodos. En muchos casos se han omitido diversos pasos de los cálculos, lo que indica que éstos se habían realizado mentalmente. Schwaller de Lubicz señala que las ra­zas orientales y semíticas han tenido siempre una gran facilidad para el cálculo mental. Incluso los egiptólogos han observado que el método egipcio de duplicación progresiva se presta al cálculo rápido; sólo su notación resulta difícil de manejar. Pero con un poco de práctica ape­nas se necesita notación. Si quiero multiplicar 273 X 359 por métodos modernos, no puedo hacerlo mentalmente de forma segura, y, si no lo hago mentalmente, entonces debo escribir toda la operación. Sin em­bargo, si lo hago según el método egipcio, basta un ligero conocimien­to de dicho método para ver que no necesito escribir todo el problema. Sería:
Voy a la parte de abajo y veo en seguida que 273 = 256 + 16 + 1. Dado que duplicar mentalmente resulta fácil, no tengo más que calcu­lar para mis adentros y escribir en caracteres jeroglíficos el total de las tres cifras, que se puede obtener mentalmente sin gran esfuerzo. Así, en el uso cotidiano el método egipcio apenas resulta más engorroso que el nuestro, e incluso es posible que lo sea menos. Resulta significativo que los métodos utilizados por las calculadoras y los ordenadores moder­nos se aproximen más a los egipcios que los que nos han enseñado en la escuela y utilizamos cada día. Schwaller de Lubicz cita a otros ma­temáticos que han señalado con interés este hecho de que el método de cálculo más antiguo del mundo sea también el más moderno. Y, lo que es más importante desde el punto de vista egipcio: el método no trai­ciona los imperativos de la teología. Como señala repetidamente Schwaller de Lubicz, todo el pensamiento, la mitología, la ciencia y el arte egipcios se desarrollan a partir del concepto de escisión primor­dial, y cualquier disciplina que no tuviera sus raíces en esta revelación resultaba inadmisible para la mente egipcia. El propio método mate­mático constituye una aplicación práctica del principio de la doble in­versión, el cual, como hemos visto, es una consecuencia natural de la división de la unidad en la multiplicidad (uno se convierte en dos, y cada mitad participa de la naturaleza del «uno» y del «otro»).

Fue esta actitud, y no la estupidez o la perversidad, la que llevó a los matemáticos egipcios a su curioso sistema de fracciones, un ejem­plo en el que, sin duda, las consideraciones teológicas crearon difi­cultades que nosotros juzgamos innecesarias. Para Egipto, una frac­ción —cualquier fracción— sólo podía ser una fracción de la unidad. Era inadmisible, por ejemplo, dividir 17 entre 7 y llegar a 2 3/7; la res­puesta egipcia sería 2 + 1/4 + 1/7 + 1/28.

Paro, aun en este ejemplo, la dificultad es meramente de notación: el (para nosotros) tiempo innecesario que se necesita para escribir es­tas fracciones en caracteres jeroglíficos. Sea lo que fuere lo que pense­mos acerca de la determinación de restringir las matemáticas a consi­deraciones teológicas, la parte positiva es el hecho innegable de que las operaciones implicadas en el cálculo egipcio resultaban más sencillas y más rápidas que las nuestras. Todos los papiros que se han encontra­do están encabezados por una tabla —parecida a nuestras tablas de lo­garitmos y de raíces cuadradas—, en la que todas las fracciones con numerador 2 aparecen divididas en sus fracciones constitutivas con nu­merador 1. Esto dispensa al estudiante, o a quien realiza el cálculo, de una tarea difícil y que realmente consume su tiempo. Así, en la prácti­ca




A. Badawy, op. cit., p. 34.

¿Podemos deducir de estos hechos que los egipcios conocían las ci­fras de la serie de Fibonacci y que éstas desempeñaban un papel directo en el diseño de sus templos? Que éste era realmente el caso lo demues­tran los templos de Amarna, el santuario del gran templo.

Ibid., p. 60.

Aunque el círculo raramente se utilizaba en la arquitectura egipcia, los polígonos derivados de él aparecen en las diversas columnas ... los polígonos más comunes eran el hexágono y el octágono ...

No hay forma de construir exactamente un polígono con siete, nue­ve, once o trece caras. Sin embargo, los egipcios lograron diseñar sus ca­piteles con nueve elementos y, ocasionalmente, con siete.
el sistema egipcio no resultaba más laborioso que el nuestro, y es posible que lo fuera menos.

Al mismo tiempo, Schwaller de Lubicz descubrió que la opción de los matemáticos egipcios de desglosar las fracciones de forma 2/n esta­ba regida por la aplicación sistemática de los principios armónicos y por un profundo conocimiento de la interacción de los números, así como de la particular trascendencia de ciertos números concretos.

Su largo ensayo sobre las complejidades subyacentes al papiro de Rhind resulta irrefutable, aunque en los círculos egiptológicos sea ig­norado. Un intento de refutarlo (M. Meyer-Astruc, en Chroniques d'Egypt, 35, pp. 120-139) fue fácilmente respondido por Schwaller de Lubicz poco antes de su muerte (en Chroniques d'Egypt, 37, pp. 77-106). Desde esa época han aparecido ocasionalmente diversos artícu­los en las revistas egiptológicas, que, sin corroborar exactamente a Schwaller de Lubicz o citar su obra, han contribuido a mejorar la ima­gen corriente de las matemáticas egipcias, llamando la atención sobre las inadmisibles inconsistencias de los puntos de vista que hoy se sos­tienen acerca de aquéllas.

Pero no hay nada encomiable en este cauteloso avance, ya que el trabajo básico lo realizó Schwaller de Lubicz. Cualquier matemático competente puede seguir el desarrollo de su razonamiento. Y sin nece­sidad de profundizar en las complejidades relativas a la armonía y el simbolismo del número pitagórico, se puede ver que hay una excepción, deliberada y manifiesta, a la regla de las fracciones egipcias, la cual, mucho antes de Schwaller de Lubicz, debió de haber inspirado a los eruditos a buscar un razonamiento lógico subyacente a todo el sis­tema.
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