Medidas de tendencia central generales




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2.6 MEDIDAS DE FORMA
Proporcionan un valor numérico para saber hacia qué lado de la distribución hay mayor acumulación de frecuencias y si la concentración central de frecuencias es mayor que en los extremos o viceversa sin tener que graficar los datos.

Momento Respecto de la Media: El r-ésimo momento respecto a la media aritmética es:
Datos No Agrupados:


Datos Agrupados:


El primer momento respecto a la media (r=1) siempre es igual a cero.

El segundo momento respecto a la media (r=2) es la varianza poblacional.


Sesgo: Es el grado de asimetría que tiene la distribución. La distribución puede ser:
- Insesgada: Si tiene forma de campana y el área acumulada del centro de la distribución a la derecha es igual a la que se acumula a la izquierda.



  • Con sesgo positivo o a la derecha: Si tiene la mayor acumulación de frecuencias a la izquierda y una cola larga a la derecha.






  • Con sesgo negativo o a la izquierda: Si la mayor acumulación está a la derecha y tiene una cola larga a la izquierda.



Coeficiente Momento de Sesgo (): se calcula dividiendo el tercer momento respecto a la media entre la desviación estándar al cubo:

Datos No Agrupados:


Datos Agrupados:


Coeficiente momento de sesgo

Sesgo

= 0

No hay sesgo. La distribución es insesgada

> 0

La distribución tiene sesgo positivo o a la derecha.

< 0

La distribución tiene sesgo negativo o a la izquierda.






Curtosis: Mide qué tan puntiaguda es una distribución, con respecto a la Normal.

La distribución puede ser:
- Mesocúrtica: solo la distribución Normal (es el término medio).
- Leptocúrticas: Las distribuciones más puntiagudas que la Normal.

- Platocúrticas: Las distribuciones menos puntiagudas que la Normal.


Coeficiente momento de curtosis (): se calcula dividiendo el cuarto momento respecto a la media entre la varianza al cuadrado (o la desviación estándar a la cuarta).

Datos No Agrupados:



Datos Agrupados:


Coeficiente momento de curtosis

Curtosis

= 3

La distribución es Mesocúrtica.

> 3

La distribución es Leptocúrtica.

< 3

La distribución es Platocúrtica.





3.1 MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN
En una distribución, ni la media ni la varianza son explicativas de la mayor o menor igualdad en el reparto; para esto usamos las medidas de concentración.
Consideremos que la variable en cuestión es el salario. Una distribución muy concentrada indica que pocos individuos reciben la mayor parte del total, mientras que poca concentración supone que todos los individuos tienen un reparto igualitario.
Indice de Gini:


donde:

k = número de clases o categorías

= la proporción acumulada de individuos = = fra x 100

= la proporción acumulada del total del producto de fi*xi


Si Ig=0, la variable está menos concentrada (mejor repartida).

Si Ig=1, la variable está más concentrada (peor repartida).

Curva de Lorenz:

Se grafican los valores de la proporción acumulada de individuos (p) y la proporción acumulada del total de la variable (q).

La función identidad representa la igualdad absoluta, es decir, a la variable cuando no está concentrada (la recta a 45 grados). La desigualdad absoluta o máxima concentración de la variable indicaría que un solo individuo tenga el total de la variable (el triángulo inferior).
Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz a la diagonal, más igualitario será el reparto (Ig = 0). Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz al triángulo inferior, mas concentrada esta la variable (Ig = 1).

El Indice de Gini calcula el área entre la diagonal y la Curva de Lorenz, como un porcentaje del área del triángulo inferior de la gráfica (mide la desigualdad relativa).
3.1- Medidas de Concentración
En una distribución, ni la media ni la varianza son explicativas de la mayor o menor igualdad en el reparto; para esto usamos las medidas de concentración.
Consideremos que la variable en cuestión es el salario. Una distribución muy concentrada indica que pocos individuos reciben la mayor parte del total, mientras que poca concentración supone que todos los individuos tienen un reparto igualitario.
Indice de Gini:


donde:
k = número de clases, renglones o categorías

= la proporción acumulada de individuos = = fra x 100

= la proporción acumulada del total del producto de fi* xi

Si Ig=0, la variable está menos concentrada (mejor repartida).

Si Ig=1, la variable está más concentrada (peor repartida).
Curva de Lorenz: Se grafican los valores de la proporción acumulada de individuos (p) y la proporción acumulada del total de la variable (q).

La función identidad representa la igualdad absoluta, es decir, a la variable cuando no está concentrada (la recta a 45 grados). La desigualdad absoluta o máxima concentración de la variable indicaría que un solo individuo tenga el total de la variable (el triángulo inferior).

Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz a la diagonal, mas igualitario será el reparto (Ig = 0). Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz al triángulo inferior, mas concentrada esta la variable (Ig = 1).

El Indice de Gini calcula el área entre la diagonal y la Curva de Lorenz, como un porcentaje del área del triángulo inferior de la gráfica (mide la desigualdad relativa).
Ejemplo:
La información que se presenta a continuación representa el salario de los 300 empleados de una empresa y nos interesa saber la concentración de los datos.


Salario

Mensual (en miles)

No. de empleados

Marca de clase

F * x

Fra = P

H

Q

P - Q

8 - 10

190

9

1710

63.33

58.163

58.16

5.17

10 - 12

100

11

1100

96.67

37.42

95.58

1.09

12 - 14

10

13

130

100.00

4.42

100.00

0






Como podemos observar el resultado refleja

que no hay mucha concentración de los datos, es decir, los datos se encuentran bien distribuídos.

Notación Suma
En la operación de adición o suma, se presenta con frecuencia en la estadística el símbolo  (sigma) para denotar “tomar la suma de”. A continuación se presenta un ejemplo donde se tiene un conjunto de valores n para alguna variable X.
, esta expresión indica que estos n valores deben sumarse. Por consiguiente:

Ejemplo Se encuentran cinco observaciones para la variable
.Por lo tanto:

En estadística nos vemos involucrados muy a menudo con la suma de los valores al cuadrado de una variable. Por lo tanto.


Y en nuestro ejemplo, tenemos:



Se debe observar, aquí que , la sumatoria de los cuadrados no es igual a , el cuadrado de la suma, esto es
En nuestro ejemplo, la sumatoria de los cuadrados es igual a 79. Esto no es igual al cuadrado de la
suma, cuyo resultado es
Otra operación que se utiliza con frecuencia implica la sumatoria del producto. Esto es, suponiendo que tenemos dos variables, X y Y, cada una con n observaciones.
Entonces,

Continuando con el ejemplo anterior, suponiendo que también se tiene una segunda variable Y cuyos valores son

Entonces,

Al calcular debemos tomar en cuenta que el primer valor de X por el primer valor de Y
más el segundo valor de X por el segundo de Y, y así sucesivamente. Estos productos cruzados luego se suman con el propósito de obtener el resultado deseado. Sin embargo, debemos observar en este punto que la sumatoria de productos cruzados no es igual al producto de las sumas individuales, es decir;


En nuestro ejemplo, de modo que
. Esto no es lo mismo que , que es igual a 45.
Antes de estudiar las cuatro reglas básicas para efectuar operaciones con notación sigma, será de ayuda presentar los valores de cada una de las cinco observaciones de X y de Y en forma de tabla:



Observación

X

Y

1

2

3

4

5


2

0

-1

5

7


1

3

-2

4

3










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