Medidas de tendencia central generales




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Regla 1: La sumatoria de los valores de dos variables es igual a la suma de los valores de cada variable sumada.

En nuestro ejemplo:

Regla 2: La sumatoria de una diferencia entre los valores de dos variables es igual a la diferencia entre los valores sumados de las variables.

Por consiguiente, en nuestro ejemplo,


Regla 3: La sumatoria de una constante por una variable es igual a la constante que multiplica a la sumatoria de los valores de la variable.

En la que c es una constante.

Por tanto, en nuestro ejemplo, c =2

Regla 4: Una constante sumada n veces será igual a n veces al valor de la constante.

En la que c es una constante. Así pues, si la constante c =2 se suma cinco veces tendremos:


E
n el caso de que i  1 entonces n = (valor final - valor inicial)+ 1

Para ilustrar cómo se utilizan las reglas de la sumatoria, podemos mostrar una de las propiedades matemáticas pertenecientes al promedio o media aritmética .



Esta propiedad establece que la sumatoria de las diferencias entre cada observación y la media aritmética es cero. Esto se puede probar matemáticamente de la siguiente manera:

1.- De la ecuación (4.1),

Así pues, utilizando la regla 2 de la sumatoria, tenemos:

2.- Puesto que, para cualquier conjunto fijo de datos, Puede ser considerada como una constante, de la regla 4 de la sumatoria tenemos:


Por consiguiente,

3.- Sin embargo, de la ecuación (4.1), puesto que
después n
Por consiguiente,

De esta manera se ha demostrado que:



PROBLEMA

Suponiendo que se tienen seis observaciones de las variables X y Y tales que Calcule cada una de las siguientes sumatorias.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)


INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
La Estadística es una ciencia que nos proporciona un método importante para la toma de decisiones y resolver problemas en forma sistemática y reproducible, a diferencia de otros métodos que difícilmente pueden ser explicados o reproducidos hasta por la misma persona que lo ejecuta. Por lo anterior es importante analizar detenidamente cada uno de los conceptos en los que se fundamenta ésta para lograr acercarnos profundamente a su conocimiento.
La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones

Dado que la estadística nace con la idea de resolver problemas comenzaremos diciendo que un problema es la diferencia entre lo real y lo deseado, es decir, que nosotros normalmente al tener injerencia en la toma de decisiones podamos escenificar perfectamente la realidad que nos rodea y con ello empatar nuestras necesidades o deseos. De tal forma, que la estadística, entonces juegue el papel de agente caracterizador de una población. Entendiendo a esta (Población) como una realidad concreta que comprende todos los elementos que permiten bosquejar a un problema.
Por lo tanto una muestra será aquel subconjunto propio obtenido de la población, es decir, cuenta con algunos elementos y no todos los de la población.
Las medidas que se obtienen en una población son llamadas parámetros y las obtenidas en una muestra reciben el nombre de estadísticos. Es importante aclarar que las poblaciones y las muestras están determinadas por el problema ya que en diferentes situaciones una muestra puede jugar el papel de población dependiendo del problema y viceversa.
Por ejemplo una gota de sangre es una muestra si el problema es estudiar la salud de una persona, pero es una población si me interesa determinar el volumen de eritrocitos y leucocitos que hay en ella. Así en los negocios también es importante delimitar el problema ya que las ventas de un día resultan ser una muestra cuando estemos interesados en analizar las ventas promedio anuales, y por otro lado resulta ser la población cuando analizamos las ventas por empleado en ese día.
RAMAS DE LA ESTADÍSTICA
La estadística se separa, solamente en forma didáctica, en dos partes; la estadística descriptiva y la inferencial, ya que en la realidad se utilizan ambas sin distinciones. La descriptiva nos permite caracterizar una realidad mediante la medición de una población, es decir, que cuando el tamaño de la población y las medidas que se deben obtener no la afectan entonces se realiza la investigación sobre toda la población. La inferencial será aquella realizada en una muestra para obtener información, de forma inductiva, de la población, es decir, que existen situaciones en las que el estudio de la población es imposible ya sea por el tamaño de la misma o por que al obtener alguna medida destruyamos a sus elementos, como en el caso de querer estimar la calidad de un producto que producimos continuamente no se puede detener esta producción y mucho menos estudiar toda la producción, de ahí que nos vemos en la necesidad de estudiar una pequeña parte de esta población (muestra) y las medidas que obtenemos las consideramos como representativas de esta.
Sería muy recomendable que investigaras otras definiciones de la estadística en cualquier libro de Estadística y comentaras con tus compañeros y tu profesor las diferencias que encuentres. Además sería muy bueno que analizaras cualquier problema que hayas tenido para revisar si en realidad hubo un deseo y una realidad diferentes.
TIPOS DE VARIABLES
Para poder realizar una estadística también es necesario identificar la naturaleza de los datos que conforman a la población, con el objeto de establecer las variables que se deben manejar, pudiendo encontrarnos con datos cuantitativos y datos cualitativos. Los datos cuantitativos son aquellos que resultan de una medida o de un conteo por lo que los podemos diferenciar en continuos y en discretos respectivamente, es decir, que se pueden obtener datos cuantitativos que debido a un instrumento podemos especificar valores enteros y decimales de tal forma que sus diferencias serán establecidas dependiendo de la exactitud del instrumento al medir distancias, volúmenes, superficies, etc. y otros datos que solo se puedan contar, como es el caso del número de automóviles en circulación en cierta ciudad, número de empleados en una empresa, etc. Los datos cualitativos resultan de aquellas poblaciones en las que sus elementos no pueden ser medidos debido a su naturaleza y que por lo tanto solo se les pueden observar atributos y diferencias.
Aquí será bueno recordar cuantas veces has requerido de este tipo de información, ya sea, al preparar un pastel o una bebida, al describir a un amigo o al querer explicar las características de una ciudad a la que visitaste.
ESCALAS DE MEDICIÓN
En cuanto a las escalas de medición la estadística cuenta con las siguientes:


  • Nominal; la cuál se utiliza principalmente en los datos cualitativos y nos permite manejar la información por su nombre, como en los casos de marcas de diferentes productos, enfermedades, preferencias, etc.




  • Ordinal; aquella que utilizamos cuando necesitamos establecer orden entre las diferencias de la población y sus datos son cualitativos, por ejemplo, escalas de calidad (mala, regular, buena, muy buena), escalas de gusto (muy sabrosa, sabrosa, agradable, desagradable, muy desagradable), etc.




  • Intervalo; Se utiliza principalmente en datos cuantitativos y es una escala que no cuenta con un cero absoluto o con un instrumento estandarizado, por ejemplo, la temperatura se puede medir en grados centígrados, Fahrenheit y kelvin dentro de las cuales los grados centígrados no cuentan con un cero absoluto debido a que se basan en el punto de ebullición del agua, el cuál es variable en diferentes altitudes, los Fahrenheit que tampoco cuentan con un cero absoluto, ya que este también cambia con las altitudes con respecto al nivel del mar, debido a que se sustenta en el punto de congelación del agua y los kelvin que si cuentan con un cero absoluto ya que queda establecido al vacío fuera de las diferencias provocadas por la altitud, otro ejemplo sería el utilizar una cuerda con nudos para determinar una Distancia o un volumen con vasija de barro, ya que al intentar comprobar esta distancia o este volumen debemos contar con la misma cuerda o con la misma vasija.




  • Razón; Básicamente utilizada en datos cuantitativos que pueden ser medidos con instrumentos estandarizados o con un cero absoluto como por ejemplo una distancia medida en kilómetros, un volumen medido en centímetros cúbicos, ventas medidas en pesos, etc.


Cuando ya se han identificado el problema que deseamos resolver, la población, el tipo de datos y las variables con las que nos acercaremos a la información entonces será necesario especificar si es necesario trabajar solo con la población o con una muestra así como la forma en la que obtendremos los datos.
Por lo anterior se describirán las diferentes formas de obtener una muestra:
Dentro de la estadística se pueden obtener muestras que resultan probabilísticas y las no probabilísticas, diferenciándose en el método de su consecución, es decir, cuando utilizamos un método que nos garantice que todos los elementos de una población tienen la misma probabilidad de ser elegidos estamos trabajando con un muestreo probabilístico y cuando la obtención de una muestra resulte de criterios, juicios, preferencias o cualquier elemento subjetivo (o en otras palabras, que no podamos garantizar que contemos con elementos equiprobables) entonces estaremos trabajando con un muestreo no probabilístico.
De ahí que nos enfocáremos más a los primeros; subdividiéndolos en:
Aleatorio Simple; el cual requiere del tamaño de la población “N”, el tamaño de la muestra “n”, de una tabla de números aleatorios, especificar si se realizará con reemplazo o sin él, así como, de una regla de uso (no debe ser la misma en todos los casos) y determinar el número de dígitos que se utilizarán. Por ejemplo; si me intereso en determinar el nivel socioeconómico de las personas que se encuentran trabajando dentro de una empresa y deseo que todos sus integrantes tengan la misma probabilidad de ser elegidos entonces realizo lo siguiente: determino el numero total de empleados (N=200), el número de personas que integrarán la muestra (n=10), selecciono una regla para utilizar mi tabla de números aleatorios (lanzaré mi lápiz y donde caiga leeré de 3 en 3 dígitos sobre la misma columna hacia abajo hasta terminarla y cuando esto suceda continuare leyendo en la siguiente columna hasta terminar de obtener los diez datos). Supongamos que la tabla es la siguiente

y que al arrojar el lápiz cayó en el renglón 5 columna 7, entonces, las personas que debemos seleccionar serán 097,766, 628,179, 047, 582, 478, 895, 664, 604, 772, 373, 685, 765, 553, 101, 780, 295, 191, 276, 321, 298, 797, 454, 544, 221, 458, 097,363, 158, 409, 517, 279, 458, 243, 755, 061, 212, 061, 641, 112, tomando en cuenta que es un muestreo con reemplazo.


Sistemático; Este muestreo permite obtener los elementos de cada k - ésima unidad de la población, y para ello se requiere conocer el tamaño de la población (N), el de la muestra (n) y obtener el valor de k, de tal forma que al tener estos datos escojamos al primer dato por medio de aleatorio simple y de ahí de k en k. Por ejemplo; si tenemos la necesidad de extraer una muestra de 20 artículos de 1000 unidades producidas entonces deberemos dividir 1000/20 obteniendo 50 por lo que el primer número lo seleccionamos de nuestra tabla de números aleatorios obteniendo el número 12, por lo que, los siguientes números deberán ser 12+k, 12+2k, etc., es decir, 12, 62,112, 162, 212, 262, 312, 362, 412, 462, 512, etc.


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