Ante un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspon-dientes a la materia. El examen se realiza extrayendo al azar 2 temas y dejando que el alumno escoja 1 de los Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados




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títuloAnte un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspon-dientes a la materia. El examen se realiza extrayendo al azar 2 temas y dejando que el alumno escoja 1 de los Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados
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fecha de publicación06.02.2016
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Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equi-librada y un dado equilibrado. Se pide:

  1. Describir el espacio muestral de este experimento.

  2. Determinar la probabilidad del suceso: Obtener una cara en la moneda y un número par en el dado



1 monedaC, X

1 dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
a)  (C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6) (X, 1) (X, 2) (X, 3) (X, 4) (X, 5) (X, 6) }
b) P(obtener una cara y un número par) = P(C  par)
Por ser sucesos independientes P(C  par) = P(C) · P(par) = ½ · 3/6 = ¼

  Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas. Sea A el suceso de que la carta seleccionada sea as. Sea B el suceso de que la carta seleccionada sea de oros. Calcular P(A), P(B), P(A ∩ B) ¿A y B son sucesos independientes?

 

                                      Casos favorables        4        1

A= (as)             P(A) = ----------------------- = ---- = -----

                                        Casos posibles        40     10

                

                                      Casos favorables         10     1

B = (oros)         P(B) = ----------------------- = --- = ----

                                         Casos posibles          40     4

 

Al ser los sucesos A y B independientes por ser una sola extracción.
                                           1      1        1

P(A ∩ B)= P(A) · P(B)= ---- · ---- = ----

                                          10     4     40

 

Para comprobar la independencia, pesemos que el suceso as de oros es único, por lo que
                  Casos favorables        1

P(A ∩ B) = ----------------------- = ----

                    Casos posibles           40

 
Se lanzan dos monedas al aire. Se pide:

1º ) Espacio muestral

2º ) Probabilidad de obtener dos caras, dos cruces o una cara y una cruz

El espacio muestral E = { (c,c) , (c,x) , (x,c) , (x,x) }
P( dos caras) = p (c,c) = 1 / 4 aplicando Laplace (casos favorables entre casos posibles)
P( dos cruces) = p (x,x) = 1 / 4
P( una cara y una cruz) = p(c,x) + p(x,c) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2


Se lanzan dos dados. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados. b) B = Se obtiene un doble ( los dados presentan la misma puntuación). c) A Ç B

2 dados A = { 5 en algún de los dados}

B = {un doble }

C = { A Ç B }
P (A) = casos favorables / casos posibles = 11/36 Hay 11 casos en que aparece el 5
P (B) = 6/36 = 1/6 Hay 6 dobles
P (C) = P ( A Ç B ) = 1/36 Hay solo un doble (el 55) que contiene algún 5

Se lanzan tres monedas al aire. Se consideran los siguientes sucesos :

S1 : obtener "al menos" una cara. S2 : obtener "exactamente" dos cruces. S3 : obtener dos o tres caras. S4 : obtener " a lo sumo " dos cruces.

S5 : obtener tres cruces.

Se pide : 1º ) Espacio muestral. 2º ) Probabilidad de los cinco sucesos anteriores
1º ) Espacio muestral
Conviene considerar el experimento como si lanzásemos las monedas de una en una, o bien una misma moneda que se lanza, se anota el resultado ( C , cara o T, cruz ) y se vueleve a tirar, etc.

Hacerlo así evita un error habitual : pensar que los sucesos posibles que son CCC, TTT, CCT y TTC, son equiprobables y no es así
Si hallamos el espacio muestral del experimento formulado como lanzamientos de una en una, podemos computar más fácilmente los diferentes sucesos porque los obtenemos de forma ordenada, aunque luego no nos importe el orden ya que en el experimento inicial se lanzan las tres monedas de forma simultánea
Una estrategia muy interesante es hacer un diagrama en árbol

Aquí observamos que si influyese el orden y los lanzamientos fuesen de una en una, entonces cada una de esas ternas serían los sucesos del espacio muestral y serían los sucesos elementales del experimento, y serían "equiprobables" :
Por ejemplo, obtener CCC tiene una probabilidad de 1 / 8 , la misma que tiene CTT o TTC o TTT
Pero si volvemos al experimento del enunciado, el espacio muestral es :
E = {CCC, CCT, CTT, TTT} sin importar el orden: CTT = TCT = TTC : 1 cara y 2 cruces Es decir, el suceso " 1 cara y 2 cruces " podría parecer en 3 formas diferentes al hacer el lanzamiento una a una. Ello nos indica que este suceso es triplemente probable que el CCC que sólo parece una vez
Por tanto , p(CCC)1 / 8 , p(CCT)3 / 8 , p(CTT)3 / 8 , p(TTT)1 / 8

Se lanzan 2 dados equilibrados de seis caras tres veces consecutivas:
a) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga el seis doble.
b) Calcular la probabilidad de que en los 3 lanzamientos salga un doble distinto del seis doble.



Notamos por A el suceso “sacar el 6 doble” y por B “sacar un doble distinto del 6 doble”.

Si hacemos un cuadro de doble entrada que presente el espacio muestral del expe-rimento “lanzar dos dados”:
[1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6]
[2,1] [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6]
[3,1] [3,2] [3,3] [3,4] [3,5] [3,6]
[4,1] [4,2] [4,3] [4,4] [4,5] [4,6]
[5,1] [5,2] [5,3] [5,4] [5,5] [5,6]
[6,1] [6,2] [6,3] [6,4] [6,5] [6,6]

1 5
p(A) = ---- , p(B) = ----
36’ 36

1 ³
p(A, A, A) = p(A³) = p(A) · p(A) · p(A) = ----
36
1
p(A³) = -------- , p(A³) = 0,0000214
46656

5 ³
p(B, B, B) = p(B³) = p(B) · p(B) · p(B) = ----
36

5
Como p(B) = 5 p(A) => p(B) = -------- = 0,000107 => p(B³) = 125 p(A³) = 0.003

46656

“3 por mil”
Se lanzan 7 bolas en tres cajas A, B, C, de modo que cada bola tenga la misma probabilidad de caer en cualquier caja.

¿Cuál es la probabilidad de que A quede sin bola?

¿Cuál es la probabilidad de que alguna caja quede sin bola?

¿Cuál es la probabilidad de que todas las cajas tengan bola?


a) Sea α el suceso “la caja A queda sin bolas”

Sea ß el suceso “la caja B queda sin bolas”

Sea σ el suceso “la caja C queda sin bolas”

P (1 bola en A) = P (1 bola en B) = P (1 bola en C) =






b) P (alguna caja sin bolas) = P (α U ß U σ) = P (α) + P (ß) + P (σ) – P (α ∩ ß) -
- P (α ∩ σ) – P (ß ∩ σ) + P (α ∩ ß ∩ σ) =

c) P (ninguna vacía) = 1 - P (alguna vacía) = 1 - 0,174 = 0,826

Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene 4 bolas blancas y 3 bolas negras. La caja 2 contiene 3 bolas blancas y 4 negras. Se selecciona una caja al azar y seguidamente se toma una bola de la caja seleccionada. Se pide:

  1. Probabilidad de que la bola extraída sea blanca; b) Probabilidad de que la bola extraída sea negra ; c) Si se extrae una bola y resulta ser blanca, ¿cual es la probabilidad de que sea de la caja 1?




  1. Se trata de un experimento aleatorio compuesto, formado por dos experimentos sucesivos.

Dibujemos el diagrama en árbol correspondiente







b) Para calcular la P(n) podemos pensar que si sólo hay bolas blancas y negras en las dos cajas, la probabilidad de que sea negra la bola extraída será la contraria de que sea blanca, es decir:




Se tienen dos urnas del mismo aspecto exterior. La primera contiene 6 bolas blancas y 8 bolas negras. La segunda, 4 bolas blancas y 3 negras. Una persona se aproxima al azar a una de las urnas y extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?
Llamemos B1 = ( que salga bola blanca en la 1ª urna )

B2 = ( que salga bola blanca en la 2ª urna )
1 1 1 6 4

P (B) = ─ P (B1 U B2 ) = ─ [ P (B1) + P (B2) ] = ─ ( ─ + ─ ) =

2 2 2 14 7
1 6 + 8 1 1

= — ∙ ──── = ─ ∙ 1 = ─

2 14 2 2
Multiplicamos por ½ la probabilidad de la unión, por que lo primero que hay que tener en cuenta es el elegir una de las urnas al azar entre las dos existentes.

Se tienen tres sucesos A, B, C de un experimento aleatorio, con

P(A) = O’7, P(B) = O’6, P(C) = O´1 y P(A U B ) = O’58. Se pide: a) ¿Son independientes A y B?. b) ¿Cual es el valor máximo que puede tomar

P(A ∩ C)?. Si toma ese valor máximo, calcular P(CC/AC).

a) Para ver si A y B son independientes hay que ver si P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)

(1)

P(A ∩ B) = 1 - P{(A ∩ B)C} = === = 1 - P(AC U BC) = 1 - 0’58 = 0’42
El paso (1) es por las leyes de Morgan.
P(A) ∙ P(B) = O’7 . 0’6 = O’42 Los sucesos A y B son independientes.
b) Para que el suceso A ∩ C sea máximo, será necesario que C que es mas pequeño que A según la probabilidad dada, este totalmente incluido en A.
P(A ∩ C) = P(C) = 0´1
Si C esta incluido en A, podemos decir que AC esta incluido en CC
P(CC ∩ AC) P(AC)

c) P(CC/AC) = —─────── = ───── = 1

P(AC) P(AC)

Se tiene una urna con 6 bolas blancas y 5 bolas negras, se realizan tres extracciones con reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que apa-rezcan dos bolas blancas y una negra?. Probabilidad del mismo suceso, pero suponiendo que las tres extracciones se hacen sin reemplazamiento.

Con reemplazamiento, se supone que las tres extracciones son independientes, pues al ir devolviendo las bolas, la siguiente extracción no depende de lo que haya salido en la anterior.
P(2b y In) = P(b∩b∩n) + P(b∩n∩b) + P(n∩b∩b) = 3∙ P(b∩b∩n) =
6 6 5

= 3. P(b).P(b).P(n) = 3 ∙ ── ∙ —─ ∙ —— = 0’4

11 11 11
Henos considerado primero las tres posibilidades según el orden de salida entre las blan-cas y la negra.

Después, como las tres probabilidades son iguales, calculo una de ellas.

Al ser los sucesos independientes, la probabilidad es el producto de las tres probabilida-des de los sucesos elementales.
Para resolver el problema sin remplazamiento, consideraremos que los sucesos son de-pendientes , por lo que existirá condicionamiento.
P(2b y ln) = P(b∩b∩n) + P(b∩n∩b) + P(n∩b∩b) = P(b) ∙ P(b/b) ∙ P(n/b∩ b) +

+ P(b) ∙ P(n/b) ∙ P(b/b∩n) + P(n) ∙ P(b/n) ∙ P(b/n∩b) =
6 5 5 6 5 5 6 5 5 6 ∙ 5 ∙ 5 5

── ∙ ── ∙ ── + ── ∙ ── ∙ ── + ── ∙ ── ∙ ── = 3 ∙ ────── = ──

11 10 9 11 10 9 11 10 9 11 ∙ 10 ∙ 9 11

Según cierto estudio, el 40% de los hogares europeos tiene contratado el acceso a Internet, el 33% tiene contratada la televisión por cable, y el 20% disponen de ambos servicios. Se selecciona un hogar europeo al azar.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga contratada la televisión por cable?

(b)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (PAU JUNIO 2007)
 

A=Internet          P (A) = 0,4

B=T.V.               P (B) = 0,33

C=ambos            P (AB) = 0,2

 

P (solo tenga TV) = P (B AC ) = P (B) – P (AB ) = 0,33 – 0,2 = 0,13

 

P ( no tenga ninguno) = P (AC  BC ) = P ( A C U BC ) = 1 – P (A U B) =
= 1- [P(A) - P(B) - P(AB)] = 1- ( 0,4 + 0,33 – 0,2) = 1 – 0,53 = 0,47

 
Siendo A y B dos sucesos incompatibles de un cierto espacio probabi-listico y tales que P(A) = 1/5 y P(B) = 2/5. Hallar P(AC ∩ BC)

Si AC es el suceso contrario de A y BC es el contrario de B, vamos a utilizar las propiedad de la probabilidad y del Algebra de Boole de los sucesos.
Según una de las leyes de Morgan (A U B)C = AC ∩ BC
(1) (2)

P(AC ∩ BC) = P{ (A U B)C } === 1 – P(A U B) === 1 -{ P(A ) + P(B) } =
1 2 3 2

= 1 - { ── + ── } = 1 - ── = ──

5 5 5 5
(1) La P(AC) = 1 – P(A) (2) Por ser A y B incompatibles ya que su intersección es el
vacío, podemos decir que la P( A U B) = P(A) + P(B)

Simultáneamente se sacan dos cartas de una baraja española y se tira un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean sotas y que el número del dado sea par?
Sea A= (2 sotas) y B= (par)
AB= (2 sotas y par) P(AB) = P(A). P(B) ya que los sucesos son independientes.

4 3

P(A) = P (s) · P (s / s) = ---- · ---- = =

  1. 39


P(B) = = =
P(AB) = . = = 0,003864

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada; de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una al azar y se lanza al aire. Hallar la pro-babilidad de que salga cara.

 

3monedas     [ una normal ] = A ;  [ con dos caras ] = B   ;   [ cargada ] = D

 

Los sucesos A, B, y D, son incompatibles porque si sale una moneda no puede salir la otra.

                               

                                            ½   Cara

                          Normal

                                         ½     Cruz

  1/3

 

Sacamos una    1/3 Con 2 caras 1   Cara

 

                   1/3                            Cara

                     1/3

   Cargada         1/3 Cruz

       

                                      1/3    Cruz

 

  P(C) = P(A) · P (C/A) + P(B) · P(C/B) + P(C) · P(C/D)

 

P(C) = [1/3 · ½ ] + [ 1/3 · 1] + [1/3 · 1/3] = 1/6 + 1/3 + 1/9 = 11/18

 
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