Ante un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspon-dientes a la materia. El examen se realiza extrayendo al azar 2 temas y dejando que el alumno escoja 1 de los Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados




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títuloAnte un examen, un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas correspon-dientes a la materia. El examen se realiza extrayendo al azar 2 temas y dejando que el alumno escoja 1 de los Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados
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fecha de publicación06.02.2016
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tipoExamen
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Una caja contiene 4 bombillas, una de las cuales es defectuosa.

a) Describir el espacio muestral del experimento que consiste en probar las bombillas hasta encontrar la defectuosa. b) Si las bombillas se eligen al azar, asignar probabalidades a los sucesos elementales del apartado a.
El espacio muestral estará formado por 4 sucesos, según donde aparezca la bombilla defectuosa.
E= { (1ªD), (1ªA y 2ªD), (1ªB, 2ªB y 3ªD), (1ªB, 2ªB, 3ªB y 4ªD) }
Para calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos elementales
1 3 1 1

P(D) = ─ ; P (B ∩ D ) = P(B) ∙ P(D/B ) = ── ∙ ── = ──

4 4 3 4
3 2 1 1

P(B ∩ B ∩ D ) = P(B) ∙ P(B/B) ∙ P(D/B∩B) = ── ∙ ── ∙ ── = ──

4 3 2 4

3 2 1

P(B ∩ B ∩ B ∩ D ) = P(B) ∙ .P(B/B) ∙ P(B/B∩B) ∙ P(B/B∩B∩B) = ── ∙ ── ∙ ── ∙ 1 =

4 3 2
1

= ──

4


Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen tres bolas al azar, de una en una. Se pide :

1º ) Espacio muestral

2º ) Probabilidad de los sucesos elementales

RRR AAA VVV

RR RRA AA AAR VV VVR

RRV AAV VVA

RAR ARA VRV

R RA RAA A AR ARR V VR VRR

RAV ARV VRA

RVR AVA VAV

RV RVA AV AVR VA VAR

RVV AVV VAA
a) El espacio muestral esta formado por 27 sucesos elementales


  1. p(las tres R) = 8/18 · 7/17 · 6/16 = 7 / 102 ;

p(2 R y 1 A) = 3 · 8/18 · 7/17 · 4/16 = 7 / 51;

p(2 R y 1 V) = 3 · 8/18 · 7/17 · 6/16 = 7 / 34;

p(1 R y 2 A) = 3 · 8/18 · 4/17 · 3/16 = 7 / 34;

p (1R,1A y 1V) = 6 · 8/18 · 4/17 · 6/16 = 4 / 17;

p(1R y 2 V) = 3 · 8/18 · 6/17 · 5 /17 = 5 / 34

p(las tres A) = 4/18 · 3/17 · 2/17 = 1 / 204;

p(2A y 1 V) = 3 · 4/18 · 3/18 · 6/16 = 3 / 68 ;

p(2 V y 1 A) = 3 · 6/18 · 5/17 · 4/16 = 5 / 68 ;

p(las tres V) = 6/18 · 5/17 · 4/16 = 5 / 204.
Hemos considerado que las extracciones se hacen sin reemplazamiento, es decir que los sucesos son dependientes,

Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlos después y de manera consecutiva) cuatro huevos.

  1. Calcular la probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado.

  2. Calcular la probabilidad de extraer entre los cuatro, exactamente un huevo roto.


R

R →

RC R

R → R →

R RC

RC

RC

2/12: R → 10/12: RC

R

RC

RC R

RC → RC → R

R RC

R → RC

RC


a) P(RC ∩ RC ∩ RC ∩ RC) = P(RC)· P(RC/ RC)· P(RC/ RC ∩RC)· P(RC/ RC ∩RC∩RC)

10 9 8 7 14

= --- · --- · --- · --- = ----

12 11 10 9 33

b) P(RC ∩ RC ∩ RC ∩ R) + P(RC ∩ RC ∩ R ∩RC) + P(RC ∩ R∩ RC ∩ RC) +
+ P(R ∩ RC ∩ RC ∩ RC) =
10 9 8 2 4 16

4· ( --- · --- · --- · --- ) = 4· --- = ----

12 11 10 9 33 33
Una persona cuida de su jardín pero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es 2/3. El jardín no esta en buenas condiciones, así que si se le riega tiene la mis-ma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0,25. Si el jardín se ha estropeado, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo?
E

P (RC)= 2/3

R

EC

P (EC/RC)= 0,25

E
RC

EC
P(RC) · P(E/RC)

P(RC/E)= --------------------

P(E)
P(E) = P(R) · P(E/R) + P(RC) · P(B/RC)= 1/3 · 1/2 + 2/3 · 3/4 = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3
P(RC/E) = 3/6 ÷ 2/3 = 3/4

Una urna contiene 7 bolas blancas, 3 bolas rojas y 2 bolas negras. Se considera el experimento aleatorio consistente en extraer tres bolas de la urna, de forma sucesiva y sin reemplazamiento. Sean los sucesos : la primera bola es blanca, : la segunda bola es blanca y : la tercera bola es blanca. a) Exprésese con ellos el suceso : Las bolas extraídas en primer y tercer lugar son blancas, y la extraída en segundo lugar no. b) Calcúlese la probabilidad del suceso “Las tres bolas son del mismo color”.

7B 3 bolas sin reemplazamiento. = 1ª B = 2ª B = 3ª B

3R sin devolución.

2N

a)

b) P (3 bolas del mismo color) = P ( ) + P ( ) +
P ( ) = P (. P ( ) ·P ( ) +

P ( · P ( ) · ( ) + P ( · P ( ) · P ( )
P (3 bolas del mismo color) = · · + · · = = = = =
=

Una urna contiene 10 bolas blancas y 5 negras. Se extraen 2 bolas al azar sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
10 B y 5 N 2 bolas sin reemplazamiento = sucesos dependientes

P (B ∩ B) + P (N ∩ N) = P (B) P (B/B) + P (N) P (N/N) =
10 9 5 4 2 9 1 4 18+4

---- · ---- + ---- · ---- = ---- · ---- + ---- · ---- = --------

15 14 15 14 3 14 3 14 42
22 11

P (las 2 bolas del mismo color) = ---- = ----

42 21

Un dado con sus caras numeradas del 1 al 6 está "cargado" ( prepara-do tramposamente ) y sabemos que tiene la propiedad de que la probabi-lidad de obtener cada cara es proporcional a la mitad del número que le corresponde a esa cara. Hallar la probabilidad de obtener un número par
Si una cara tiene valor k puntos , el enunciado nos dice que

p( c )donde λ es la constante de proporcionalidad citada y que hemos de hallar cuanto antes.
Como la suma de las probabilidades de todas las caras ha de sumar 1 :

6 Sum(lambda*k/2,k=1..6):"=value(");

k ) =1/2 λ ·1+ 1/2 λ ·2 + 1/2 λ ·3 + 1/2 λ ·4 + 1/2 λ· 5 + 1/2 λ· 6 = 21 / 2 λ

k1

21 / 2 · 1  := 2 / 21
p( c 1) 1 / 21 ; p( c2 )2 / 21 ; p( c3 )1 / 7 ; p( c4)4 / 21 ; p( c5 )5 / 21

y p( c6 )2 /7
Los sucesos que dan puntuación par son aquellos en que aparece la cara c2, c4 ó c6 Por tanto , p( par )
Esta probabilidad, en el caso de un dado correcto, habría sido 

Un estudiante cuenta, para un examen, con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realice el examen es de 0,9 y en caso contrario, del 0,5. a) Si va a realizar el examen, ¿Cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? b) Si no realiza el examen, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

A= (oye despertador) B= (realiza examen)
AC = (no oye despertador) BC = (no realiza examen)

0,9 B  P( A ∩ B ) = p (A) · p (B / A) = 0,8 · 0,9 = 0,72

0,8 A

0,1 BC  P ( A ∩ BC ) = 0,8 · 0,1 = 0,08

x

0,5 B  P( AC ∩ B ) = p (AC) · p (B / AC) = 0,2 · 0,5 = 0,10

0,2 AC

0,5  P( AC ∩ BC) = 0,2 · 0,5 = 0,10

BC

P( haber hecho o ralizado examen) = P (B) = P( A ∩ B ) + P( AC ∩ B ) = 0,82
Mientras que P(BC) = P ( A ∩ BC ) + P( AC ∩ BC) = 0,18 es la probabilidad de no realizar

examen.

a) P( oir despertador / sabiendo que ha hecho el examen)
P (A ∩ B) 0,72

P (A / B) = ─────── = ──── = 0,878

P (B) 0,82
b) P( no oye despertador / sabiendo que no ha hecho examen)
P (AC ∩ BC) 0,10

P (AC / BC) = ──────── = ───── = 0,556

P (BC) 0,18

Un experimento aleatorio consiste en extraer una bola de una urna que contiene una bola azul, dos blancas y tres rojas. Sea E el espacio muestral y P(E) el conjunto partes de E , formado por las partes o subconjuntos de E . Se define una función real p en P(A) de la siguiente manera : p()0, p( {a } )1/6, p( { b } )1/3, p( { r } )1/2, p( {a ó b } )1/2, p( {a ó r } )2/3, p( {b ó r } )5/6, p( {a ó b ó r } )1 , donde a representa el suceso "extraer bola azul" , b "extraer bola blanca" y r "extraer bola roja" , se pide : 1º ) Espacio muestral. 2º ) Conjunto de las partes de E. Estudiar si la función p cumple las condiciones de ser una probabilidad

El conjunto muestral es E{ a, b, r } : en el experimento podemos extraer bola azul o bola blanca o bola roja.

El conjunto P(){, {a }, {b }, { r }, { a, b }, { b, r }, { r, a }, {a, b, c}}

Comprobamos que tiene 23 elementos : 8 subconjuntos formados con los "sucesos eleven-tales " { a }, {b } y { r}
Estudio-análisis de los axiomas de probabilidad
i ) p {a } p {b }p { c } 1/2 = 1 = p(E)
ii ) Veamos si se cumple : p( {a } U { b } )p { a } p { b }
Como { a } U { b }{ a, b } => p( {a } U { b } )2 por definición de p, mientras

Que p( {a } )p( {b } )luego se cumple
Veamos si se cumple p( {a } )p( {b, r } )1
En efecto , { a } { b, r } y {a } U {b, r}{ a, b, r } = 
p {a } p({b, r } )p( { a, b, r } ) = p()1 si se cumple
Análogamente en los casos semejantes
Conclusión : p es una probabilidad que mide la que tienen los elementos de P(E)

Se dice que ( E, p ) es un espacio probabilizable


Un sistema esta formado por dos componentes A y B. El sistema funcio-na si lo hace alguna de sus componentes. La probabilidad de que funcione A es de 0’8, la probabilidad de que funcione E es de 0’7 y la probabilidad de que funcione uno y otro es de 0’6. ¿Cual es la probabilidad de que el sistema no funcione?.
Consideremos el conjunto F = A U E de que el sistema funcione. Nos piden que el sistema no funcione es decir P(FC) = 1 - P(F).

Ahora bien, corno los sucesos A y B son compatibles pues nos dicen que existe intersección, podemos decir que:
P(F) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0´8 + 0´7 - 0’6 = 0´9
P(FC) = 1 - 0’9 =0’1
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