Resolución: Tiempo (en horas) para el alcance: t
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![escudo[1]](3606_html_m790ca0b5.jpg){kind=small} INSTITUCION EDUCATIVA JORGE ROBLEDO CICLO: Básica Secundaria GRADO: _____9º__2ºP_______  APLICACIÓN DE ECUACIONES. Una aplicación de una ecuación es una representación matemática de un enunciado verbal para interpretar y solucionar un problema de la vida real, para su solución se sigue el siguiente proceso:
Para cercar un terreno rectangular con tres vueltas de alambre se utilizan 1530 metros. Determinar la superficie del terreno, si se sabe que el largo mide el doble que el ancho. Proceso de resolución: Después de hacer una lectura de comprensión del problema, es claro que la incógnita principal es la superficie o área del terreno mientras que los datos son: el triple del perímetro del terreno, o sea 1530 metros, y además de que el largo del terreno es igual al doble del ancho. Podemos visualizar o representar gráficamente la situación planteada con el siguiente dibujo o esquema:   Una vuelta de alambre equivale a un perímetro del rectángulo y resulta de sumar dos anchos (x) y dos largos (2x), o sea: Perímetro: x + x + 2x + 2x = 6x Por lo tanto tres vueltas de alambre equivalen a : (3) (6x) = 18x Y esta longitud total de alambre, 18x, equivale al dato dado en el problema, o sea:  Ecuación a solucionar Prueba: Recordemos que "x" representa el ancho del terreno, y “2x” el largo, por lo tanto las dimensiones del terreno serían "85 metros de ancho y 170 metros de largo", ya que (comprobación): (3)[(2)(85)+(2)(170)]=1530. Se concluye que el valor x = 85 es correcto. Por tanto, ya que la pregunta del problema es sobre la extensión de la superficie del terreno, con las dimensiones ya determinadas la calculamos: Superficie o área del terreno = (85 m) ( 170 m) = 14, 450 m2 Problema. Un autobús sale de una ciudad A para otra ciudad B con una velocidad promedio de 80 km/h. Una hora después sale otro autobús de la misma ciudad A y en la misma dirección y destino que el anterior, con una velocidad promedio de 90 km/h. ¿Dentro de cuánto tiempo y a qué distancia de la ciudad A alcanzará el segundo autobús al primero? Resolución: Tiempo (en horas) para el alcance: t Distancia recorrida por el primer autobús en t horas: d  = 80tDistancia recorrida por el segundo autobús en t horas: d  = 90tCuando salió el segundo autobús (una hora después), el primero le llevaba 80 km de ventaja. Por tanto el planteamiento y resolución de la ecuación es: d = 80 + d  90t = 80 + 80t 10t = 80 t = 8Comprobación: 90(8) = 720 y 80 + 80(8) = 720 Respuesta: El alcance será 8 horas después de la salida del segundo autobús, y será a una distancia de 720 km de la ciudad A. Problema El Sr. Martínez compró un automóvil de agencia en $146,000.00. Si dicho costo incluye un 14.5 % de impuesto, ¿Cuál era el precio del automóvil sin agregar el impuesto? Resolución: Sea P el precio del automóvil sin el impuesto e i el impuesto, por tanto: P + i = $ 146, 000.00 P + (P)(0.145) = 146 000 1.145P = 146 000 P = 146 000 / 1.145 = 127 510.9Respuesta: El precio del automóvil sin agregar el impuesto es $ 127,510.90. Problema Encontrar tres enteros consecutivos tales que su suma sea 72. Resolución: Sean a , b , c enteros tales que a+b+c = 72 Los designamos por: a=x , b=x+1, c=x+2 Planteamiento de la ecuación: x + (x+1) + (x+2) = 72 Solución de la ecuación: x + x + 1 + x + 2 = 72 3x = 69 x = 69/3 = 23 Luego: a = 23 b = 23 + 1 = 24 c = 23 + 2 = 25 Comprobación: 23 + 24 + 25 = 72 72 = 72 Respuesta: Los números buscados son 23 , 24 y 25. Problema. Encontrar 3 números enteros consecutivos impares tales que su suma sea 69. Resolución: Sean a , b , c enteros impares tales que: a + b + c = 69 Los designamos por: a = x , b = x + 2 , c = x + 4 Planteamiento de la ecuación: x + (x+2) + (x+4) = 69 Solución de la ecuación: x + x + 2 + x + 4 = 69 3x + 6 = 69 x = (69 -6 ) / 3 x = 21 Luego: a = x = 21 , b = 21 + 2 = 23 , c = 21 + 4 = 25 Comprobación: 21 + 23 + 25 = 69 Respuesta: Los números son 21 , 23 y 25. Problema ¿Cuál es el número que, al aumentar en 20, se triplica? Resolución: Número pedido: x El número aumentado en 20: x + 20 El triple del número pedido: 3x Planteamiento de la ecuación: x + 20 = 3x Solución de la ecuación: 20 = 2x 20 / 2 = x 10 = x x = 10 Comprobación: 10 + 20 = 3(10) 30 = 30 Respuesta: El número es 10 Problema ¿Cómo se pagaría una deuda de $700 con 52 monedas, unas de $20 y otras de $10? Resolución: Número de monedas de $20 : x Número de monedas de $10 : 52 – x Valor de las monedas de $20 : 20x Valor de las monedas de $10 : 10(52-x) Planteamiento y resolución de la ecuación: 20x + 10(52-x) = 700 20x + 520 – 10x = 700 10x = 180 x = 180/10 = 18Comprobación: 20(18) + 10(52 – 18) = 360 + 340 = 700 Respuesta: La deuda se pagaría con 18 monedas de $20 y 34 monedas de $10. Ecuaciones fraccionarias reductibles a ecuaciones lineales En este apartado se resolverán ecuaciones que contienen fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellas); a estas ecuaciones se les llaman ecuaciones fraccionarias. Se trata del caso de ecuaciones fraccionarias que conducen a ecuaciones lineales o de primer grado. Por ejemplo, la ecuación:  es fraccionaria.En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en ecuaciones enteras, para lo que es necesario eliminar los denominadores. Para eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la manera siguiente:
denominadores Ejemplo. Resolver la ecuación:  ;  Resolución: Como el mcm de los denominadores es 3x, se multiplican ambos miembros de la ecuación por 3x, de donde resulta la siguiente ecuación entera:    Ahora bien, la operación que hemos efectuado de multiplicar ambos miembros por el mcm de los denominadores, equivale a dividir el mcm de los denominadores por cada denominador y multiplicar cada cociente por el numerador respectivo. Así, en la ecuación anterior resulta:  Por tanto, multiplicando los numeradores por los factores de ampliación:   Nota: Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule algún denominador de la ecuación original. Ejemplo 2. Resuelve la ecuación siguiente:  .Resolución: Desde un inicio suponemos x 1, puesto que anula un denominador. El mcm de los denominadores es 5(x + 1). Dividiendo el mcm 5(x + 1) por cada denominador y multiplicando los numeradores por los factores de ampliación, resulta:  =  Resolviendo esta ecuación tenemos que: 5x 15 = 3x + 3 5x 3x = 15 + 3 2x = 18 x = 9 Comprobación:  |
.
= 
= 
(M.D.)
=
.
, luego el mcm es: 
. Al suprimir los denominadores resulta:
= 16
= 16
.
, luego el mcm es 
; además x 1, x 6. Al suprimir los denominadores resulta:
= 5x
= 5x
¡verifíquelo!| | Días que demoran en hacer el trabajo | Parte del trabajo que hacen en un día. |
| A | 3 | 1/3 |
| B | 5 | 1/5 |
| AyB | X | 1/X |
Puesto que la parte que hace el obrero A en un día más la parte que hace el obrero B en un día es igual a la parte del trabajo que hacen ambos en un día, resulta la ecuación:
1/3 + 1/5 = 1/x
Suprimiendo los denominadores se tiene:
5x + 3x = 15
8x = 15
x= 15/8 (días trabajando en conjunto)Comprobación: sumando las partes del trabajo que hacen en un día cada uno por separado se tiene: 1/3 + 1/5 = 8/15. Mientras que la parte del trabajo que hacen en un día conjuntamente es:
. Ya que son iguales los resultados, se concluye que el trabajo lo terminarán conjuntamente en: 1 día, más 7/8 de otro día.Ejemplo La velocidad de la corriente de un río es 3 km/h. Un bote tarda el mismo tiempo en navegar 8 km a favor de la corriente que en navegar 5 km en contra de la corriente. ¿Cuál es la velocidad del bote en agua tranquila?
Resolución: Suponiendo que el bote navega con movimiento uniforme, podemos trabajar con la relación ya conocida v = d / t. Por tanto, si designamos con x la velocidad del bote en agua tranquila, entonces cuando navega a favor de la corriente (río abajo) la velocidad es x+3 y en contra de la corriente (río arriba) es x-3. De donde:
| | Distancia | Velocidad | Tiempo. |
| Rio aba | 8 | X+3 | 1/(x+3 |
| Rio Arr | 5 | x-3 | 1/(x-3) |
Puesto que el bote tarda el mismo tiempo en navegar 8 km río abajo que en navegar 5 km río arriba, se obtiene la ecuación: 8/(x+3) = 5/(x-3)
Suprimiendo los denominadores, resulta:
8(x-3) = 5(x+3)
8x-24 = 5x + 15
8x-5x = 24 + 15
3x = 39
x = 13
Comprobación: Navegando río abajo el bote demora 8/(13+3) = 1/2 hora.
Navegando río arriba el bote demora 5/(13-3) = 1/2 hora .
Por tanto (Respuesta): La velocidad del bote en agua tranquila es de 13 km/h .
Ejemplo El denominador de una fracción es 4 unidades mayor que el numerador. Si a cada término de la fracción se le agregan 5, la fracción resultante es equivalente a 2/3 . ¿Cuál es la fracción original?
Resolución: Si representamos por x el numerador de la fracción original, el denominador se podrá representar por x+4 . Si agregamos 5 unidades a cada uno, el nuevo numerador será x+5 y el nuevo denominador, x+9 . Es decir:
| | Fracción original | Fracción Modificada |
| numerador | x | X+5 |
| Denominador | (x+4) | (x+4)+5=x+8 |
Como la fracción resultante es equivalente a 2/3, resulta la ecuación:
=
x + 5 2
x + 9 3
Suprimiendo denominadores en la ecuación fraccionaria
anterior, se obtiene: 3(x+5) = 2(x+9)
3x+15 = 2x+18
3x-2x = 18-15
x = 3
Por tanto, el numerador de la fracción original es 3 y el denominador 3+4=7.
Comprobación: sumando 5 al numerador y al denominador de la fracción 3/7 se tiene que:
. Por tanto, la fracción original es 3/7.
