1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento 2




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T.1 CINEMÁTICA

ÍNDICE

1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento 2

Sistema de referencia 2

Vector de posición 3

Trayectoria 4

Vector desplazamiento 4

Espacio recorrido 5
2. Concepto de velocidad. Velocidad media e instantánea 6

Velocidad media 6

Velocidad instantánea 7
3. Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU) 8
3.1 Ecuaciones de movimiento del MRU 9

Ecuación de la posición 9

Ecuación de la velocidad 9
3.2 Gráficas del MRU 10

Grafica velocidad-tiempo 10

Grafica posición-tiempo 10
3.3 Características de un MRU a partir de sus gráficas 11
3.4 Movimiento de dos móviles 12
4. Aceleración 13
4.1 Componentes de la aceleración 14
5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) 15
5.1 Ecuaciones de movimiento del MRUA 15

Ecuación de la posición 16

Ecuación de la velocidad 16

Ecuación de la aceleración 16
5.2 Gráficas del MRUA 16

Grafica aceleración-tiempo 17

Grafica velocidad-tiempo 17

Grafica posición-tiempo 18
5.3 Movimiento de caída libre 19
6. Movimiento circular uniforme (MCU) 21

Espacio recorrido 22

Velocidad 22

Aceleración 23

Carácter periódico del MCU 23
EJERCICIOS DE TEORÍA 25

PROBLEMAS 28



TEMA 1: CINEMÁTICA

Cinemática: es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin ocuparse de las causas que lo producen.

Pero ¿qué es el movimiento? ¿Cuándo sabemos que un cuerpo se mueve?

El movimiento es un concepto relativo, no absoluto. Un cuerpo estará en movimiento cuando cambie su posición respecto a otro que se toma como referencia.

Ejemplo:

  • ¿Se mueven los postes de teléfono cuando los miras desde un coche en movimiento?

  • ¿los alumnos de la clase están quietos? ¿respecto a quién? Y respecto al Sol? (Vtierra-sol=30 Km/s)

1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento

Describir un movimiento es saber dónde se encuentra el móvil en cada momento. Un cuerpo se mueve (como ya hemos dicho) siempre respecto a otro que tomamos como referencia. Los movimientos que vamos a estudiar se producen en un plano y para conocer la posición del móvil en cada instante utilizaremos un sistema de referencia de ejes cartesianos.

  • Sistema de referencia

Un sistema de referencia en una dimensión (1D) está formado por un origen y un eje en el que se especifica el sentido positivo con una flecha:

Eje X (m)

2

1

0

-1

-2

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)

Un sistema de referencia en dos dimensiones (2D) está formado por un origen y dos ejes perpendiculares:

Para poder calcular una magnitud física vectorial siempre necesitamos un sistema de referencia.

  • Vector de posición ()

Para estudiar el movimiento de los cuerpos debemos conocer su posición, que se determina siempre respecto a un sistema de referencia.

El vector de posición es un vector cuyo origen esta situado en el origen del sistema de referencia elegido y cuyo extremo coincide con la posición del móvil. Se representa por y su módulo ([]) se mide en metros.

-En una dimensión (1D) el vector de posición requiere un único número al que representamos con la letra X.

Eje X (m)

2

1

0

-1

-2

Ejemplo 1  En la siguiente figura se representa un móvil que se encuentra en X=2m. El vector de posición se indica con una flecha gris.

Eje X (m)

2

1

0

-1

-2

Ejemplo 2  Móvil que se encuentra en X=-1m.

-En dos dimensiones (2D) el vector de posición requiere dos números que representamos con las letras X e Y.

Ejemplo 3  Móvil que se encuentra en X=2m e Y=1m

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)


  • Trayectoria

inicial

final

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)

Es la línea que sigue un móvil desde que comienza a moverse hasta que se detiene. En la siguiente gráfica la trayectoria viene representada por la línea curva de color negro mientras que los vectores de posición vienen representados por las flechas que marcan la posición inicial y final.





Los movimientos según su trayectoria podrán clasificarse en rectilíneos o curvilíneos. Si el movimiento es rectilíneo la trayectoria del móvil es una línea recta. Si se trata de un movimiento curvilíneo el móvil puede describir una trayectoria regular (circunferencia, elipse, parábola, etc.) o una trayectoria irregular.

  • Vector desplazamiento ()

Vector que une dos puntos de la trayectoria de un móvil. Su orientación viene dada por la línea recta que une el punto inicial y el final de un movimiento. El vector desplazamiento viene dado por:



inicial



final

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)

Gráficamente podríamos tener una situación como la que se representa a continuación:

La trayectoria viene representada por la línea curva negra, los vectores de posición inicial y final con vectores grises y el vector desplazamiento se muestra con el vector de color negro.



-En una dimensión (1D) el vector desplazamiento viene dado por:

Ejemplo 4  Representa gráficamente y calcula el vector desplazamiento de un objeto que se mueve desde a .





Eje X (m)

2

1

0

-1

-2



Si representamos gráficamente el vector desplazamiento (vector gris) tenemos:

Para calcular el vector desplazamiento utilizamos su definición:



El resultado indica que el móvil se ha desplazado 3m en el sentido negativo del eje (signo menos en el resultado).

  • Espacio recorrido (s)



Distancia medida sobre la trayectoria entre el punto de partida y el de llegada. Se denomina con la letra s y es una magnitud escalar que se mide en metros ([s]=m). Es importante darse cuenta que en general el espacio recorrido por el móvil (s) y el módulo del vector desplazamiento () no son iguales. Estas cantidades solo coinciden cuando el móvil realiza un movimiento rectilíneo, en ese caso se cumple:

Ejemplo 5  Calcula el espacio recorrido por un objeto que se mueve desde a .

En este caso como el objeto realiza un movimiento rectilíneo podemos utilizar:



La distancia recorrida por el móvil es de 3m. El espacio recorrido siempre es una cantidad positiva, no existen distancias negativas.
2. Concepto de velocidad. Velocidad media e instantánea
La velocidad es una magnitud física vectorial que mide no solo la rapidez con la que cambia la posición de un móvil sino también la dirección y el sentido en que lo hace. Relaciona dos magnitudes: desplazamiento y tiempo. Su unidad en el SI es el m/s ([]=m/s). Vamos a distinguir entre velocidad media y velocidad instantánea.


  • Velocidad media ()

La velocidad media o velocidad promedio informa sobre la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento () por el tiempo () empleado en efectuarlo:



inicial

final

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)



Esta magnitud física da cuenta de la rapidez con la que se desplaza un móvil desde la posición inicial a la final en un intervalo de tiempo () sin tener en cuenta el espacio real recorrido. Se toma como referencia el vector desplazamiento (). Como se puede ver en la siguiente figura el vector velocidad media (vector gris oscuro) es paralelo al vector desplazamiento (vector negro).

-En una dimensión (1D) la velocidad media viene dada por la siguiente ecuación:



Con el propósito de simplificar la notación vamos a considerar los siguientes cambios en la ecuación anterior:










Sustituyendo en la ecuación de la velocidad media obtenemos la siguiente expresión:

Ejemplo 6  Calcula la velocidad media de un objeto que se mueve desde a en 3s.

Aplicando la fórmula:








Eje X (m)

2

1

0

-1

-2

La velocidad es positiva porque el objeto se mueve en el sentido positivo del eje tal y como se puede ver en la siguiente figura donde la velocidad se muestra con el vector gris:

Ejemplo 7  Calcula la velocidad media de un objeto que se mueve desde a en 3s.

Aplicando la fórmula:








Eje X (m)

2

1

0

-1

-2

La velocidad es negativa porque el objeto se mueve en el sentido negativo del eje tal y como se puede ver en la siguiente figura donde la velocidad se muestra con el vector gris:

Observamos que al calcular la velocidad se pueden obtener resultados positivos o negativos. Ese signo tendrá un sentido físico que será el siguiente: si la velocidad sale positiva será porque el cuerpo se mueve en el sentido de nuestro eje de referencia, y si sale negativa será porque el cuerpo se moverá en el sentido contrario.

  • Velocidad instantánea ()

Es la velocidad que lleva el móvil en un instante determinado. Se puede definir como la velocidad media entre dos puntos tan próximos que el intervalo de tiempo que tarda el móvil en pasar de uno a otro es prácticamente cero. Es una magnitud vectorial cuya dirección es tangente a la trayectoria del movimiento. En las figuras (a), (b) y (c) se representa la trayectoria del móvil (línea curva negra), vector desplazamiento (vector negro) y velocidad (vector gris oscuro). Si los puntos que utilizamos para calcular la velocidad están lo suficientemente separados (ver Figuras (a) y (b)), el vector velocidad representa una velocidad media. Si utilizamos dos puntos suficientemente próximos (ver Figura (c)) obtenemos la velocidad instantánea. En ese caso, tal y como se puede ver en la figura, la velocidad es tangente (ver línea discontinua en Figura (c)) a la trayectoria.

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)



Figura (c)

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)



Figura (b)

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)



Figura (a)

Si tenemos un móvil que describe una trayectoria circular en sentido horario, la velocidad instantánea para distintos puntos de la trayectoria es siempre tangente a la misma tal y como se muestra en la figura:



-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)

3. Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU)

Este tipo de movimiento tal y como su nombre indica se caracteriza por:
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