1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento 2




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título1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento 2
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1. Es rectilíneo. Lo cual implica que la trayectoria que describe el móvil es una línea recta.

2. Es uniforme, es decir, el módulo de la velocidad es constante.

Según lo anterior, este tipo de movimiento se caracteriza porque su velocidad es constante (tanto su módulo como su dirección y su sentido). En estas condiciones la velocidad instantánea y la media coinciden (). Por lo tanto, la velocidad en un MRU es:



3.1 Ecuaciones de movimiento del MRU

Para describir el movimiento de un objeto que realiza un MRU necesitamos conocer como varía su posición y su velocidad en función del tiempo.

  • Ecuación de la velocidad



Esta ecuación describe la variación de la velocidad respecto al tiempo. En el caso de un MRU es una ecuación muy sencilla ya que la velocidad es constante:


  • Ecuación de la posición


Esta ecuación describe la variación de la posición del objeto () con respecto al tiempo. Para obtenerla utilizamos la definición de velocidad:



y despejamos:



reordenando:



Si consideramos el instante inicial igual a cero (), es decir el observador pone a contar su reloj desde cero en el momento en el que empezamos a estudiar el movimiento:



Si, finalmente, sustituimos por y por , obtenemos la ecuación de la posición:






Esta ecuación se utiliza para calcular la posición de un objeto en cualquier instante de tiempo.
Ejemplo 8  Calcula la ecuación de la posición de un móvil que inicialmente se encuentra a 2m del origen y se acerca al origen de coordenadas con una velocidad de 1m/s.





Eje X (m)

2

1

0

-1

-2

La situación que tenemos es la que se muestra en la siguiente figura:

Como la orientación de la velocidad es contraria al sentido positivo del eje, la velocidad es negativa y la ecuación de la posición quedaría así:



Ejemplo 9  Calcula la ecuación de la posición de un móvil que inicialmente se encuentra a 2m del origen y se aleja del origen de coordenadas con una velocidad de 1m/s.





Eje X (m)

2

1

0

-1

-2

La situación que tenemos es la que se muestra en la siguiente figura:

Como la orientación de la velocidad va en el mismo sentido que el eje, la velocidad es positiva y la ecuación de la posición quedaría así:


3.2 Gráficas del MRU

En este apartado vamos a representar gráficamente las ecuaciones de un MRU. Para ello nos vamos a valer de un ejemplo concreto. Un móvil que tiene las siguientes ecuaciones de movimiento:




  • Grafica velocidad-tiempo

Este tipo de gráfica nos sirve para conocer la velocidad (su módulo) de un cuerpo en cualquier instante de su movimiento. En el caso de un cuerpo que tenga un MRU su gráfica v-t será:
En un MRU la velocidad es constante y por lo tanto su gráfica es una línea recta paralela al eje del tiempo (abcisas).

  • Grafica posición-tiempo

La gráfica de la posición frente al tiempo en un MRU es una línea recta. Al ser una recta solo necesitamos un par de puntos para representarla. Teniendo en cuenta la ecuación de la posición:



Obtenemos un par de puntos dando valores en dicha ecuación:





Si representamos los valores de estos dos puntos podemos pintar la línea recta que los une y, por lo tanto, representar la gráfica de posición:

Matemáticamente se observa que la pendiente de esta recta es precisamente la velocidad del móvil (), esto quiere decir que una mayor inclinación de la recta indica una mayor velocidad del móvil. Por otra parte, la posición inicial () indica el punto de corte de la recta con el eje de posición.

3.3 Características de un MRU a partir de sus gráficas

En este apartado vamos a aprender a obtener las ecuaciones de movimiento a partir de las gráficas de un MRU. Para ello, vamos a hacer uso de la siguiente gráfica posición-tiempo:










En un MRU la ecuación de la posición viene dada por:


Tenemos que deducir dos parámetros de la gráfica:

1. La posición inicial () viene dada por el punto de corte de la recta con el eje de posición. En este caso .

2. La velocidad () que viene dada por la pendiente de la curva . En este nuestro caso:



Por lo tanto la ecuación del MRU viene dada por:


3.4 Movimiento de dos móviles

En este apartado nos vamos a dedicar a estudiar la resolución de problemas en los que intervienen dos móviles que se desplazan con un MRU.
Ejemplo 10  Dos vehículos salen al mismo tiempo y en sentido contrario de ciudades separadas por 250 km de carretera recta. Se desplazan a velocidades constantes de 90 km/h y 100 km/h respectivamente. Calcula:

a) El punto en el que se encuentran.

b) El tiempo que tardan en encontrarse.

c) Representa en una gráfica posición-tiempo el comportamiento de ambos vehículos.
Para resolver este tipo de problemas es conveniente que sigamos los siguientes pasos:

1. Pasar todas las cantidades que nos dan al sistema internacional de unidades.







2. Dibujar un esquema del problema indicando el sistema de referencia (origen y sentido positivo del eje) que vamos a utilizar para resolverlo.
Eje X

250000 m

0







3. Plantear las ecuaciones de movimiento para cada uno de los móviles
Vehículo A  MRU 

El vehículo B tiene una velocidad negativa ya que esta orientada en sentido contrario al eje:

Vehículo B  MRU 
4. Utilizar las ecuaciones de movimiento de los móviles para hallar lo que se nos pregunta. Vamos a resolver apartado por apartado:
a) En este apartado nos piden el punto en el que se encuentran los dos vehículos (). En ese punto se cumple que la posición de ambos móviles es exactamente la misma. Por lo tanto, igualamos las ecuaciones de movimiento de los dos vehículos:









Este es el tiempo que tardan en encontrarse. Si queremos averiguar en que posición se encuentran solo tenemos que sustituir este tiempo en cualquiera de las dos ecuaciones de movimiento. Si sustituimos en la del vehículo A obtenemos:



b) El tiempo que tardan en encontrarse lo hemos hallado en el apartado anterior:


c) Finalmente representamos las ecuaciones de la posición de los dos vehículos.







4. Aceleración ()

Los móviles no siempre se mueven con una velocidad constante, por este motivo necesitamos definir una nueva magnitud llamada aceleración.

La aceleración es una magnitud física vectorial que mide lo que varía la velocidad de un móvil en el tiempo. Su unidad en el SI es el m/s2 ([]=m/s2). Al igual que en el caso de la velocidad podemos distinguir entre aceleración media y aceleración instantánea. En este curso no hará falta distinguir entre ambas magnitudes ya que todos los movimientos que se estudiarán tendrán una aceleración constante por lo que la aceleración instantánea es igual a la media (). Según esto, podemos definir la aceleración como:



Cuando tenemos un movimiento rectilíneo (1D) desaparece el carácter vectorial:



Ejemplo 11  Indicar como varía la velocidad de un móvil que tiene una velocidad inicial de 0 m/s y una aceleración constante de 3 m/s2

El móvil posee una aceleración de 3 m/s2 lo que significa que su velocidad aumenta 3 m/s por cada segundo que transcurre, esto es:

t(s)

0

1

2

3

4

V(m/s)

0

3

6

9

12


Ejemplo 12  Indicar como varía la velocidad de un móvil que tiene una velocidad inicial de 20 m/s y una aceleración constante de -3 m/s2

El móvil posee una aceleración de -3 m/s2 lo que significa que su velocidad disminuye 3 m/s por cada segundo que transcurre, esto es:

t(s)

0

1

2

3

4

V(m/s)

20

17

14

11

8


Vemos que el valor de la aceleración puede ser positivo o negativo:

  • aumento de la velocidad.

  • disminución de la velocidad.

  • velocidad constante (movimiento uniforme).



4.1 Componentes de la aceleración

La aceleración mide lo que varía la velocidad en el tiempo. Como la velocidad es un vector, puede variar en módulo, dirección y sentido. Por este motivo se dice que hay dos componentes de la aceleración:


  • La aceleración tangencial (): mide lo que varía el módulo de la velocidad por unidad de tiempo.




  • La aceleración normal o centrípeta (): mide lo que varía la orientación (dirección y sentido) de la velocidad por unidad de tiempo.



donde es el radio de curvatura de la trayectoria.
Si el cuerpo describe una trayectoria circular, es el radio de la circunferencia.
Dependiendo del tipo de movimiento que lleve un móvil tendrá un tipo de aceleración u otro. O tendrá ambos:


  • Movimiento rectilíneo: como la velocidad tiene siempre la misma dirección, sólo tendrá aceleración tangencial en el caso de que el módulo de la velocidad vaya variando.







  • Movimiento curvilíneo: como la velocidad cambia de dirección (ver figura de abajo a la izquierda) y de módulo tendrá en principio los dos tipos de aceleración: tangencial y normal (ver figura de abajo a la derecha).



-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)



-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)




Es importante resaltar que un movimiento circular siempre tendrá aceleración ya que aunque no varíe el módulo de la velocidad la dirección del vector velocidad cambia continuamente y por lo tanto, el móvil siempre tendrá, al menos, aceleración normal.

5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Este tipo de movimiento tal y como su nombre indica se caracteriza por:
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