1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento 2




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1. Ser rectilíneo. Lo cual implica que la trayectoria que describe el móvil es una línea recta.

2. Ser uniforme y acelerado, es decir, tiene una aceleración que es constante (tanto su módulo como su dirección y su sentido).

En estas condiciones la aceleración pierde su carácter vectorial y es igual a:



5.1 Ecuaciones de movimiento del MRUA

Para describir el movimiento de un objeto que realiza un MRUA necesitamos conocer su aceleración y como varían en función del tiempo su posición y su velocidad.

  • Ecuación de la aceleración



Esta ecuación describe la variación de la aceleración respecto al tiempo. En el caso de un MRUA la aceleración es constante:



  • Ecuación de la velocidad

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en cada instante. Para obtenerla utilizamos la definición de la aceleración:



despejando obtenemos:



reordenando:



Si consideramos el instante inicial igual a cero ():



Si, finalmente, sustituimos por y por , obtenemos la ecuación de la velocidad:






La ecuación anterior se utiliza para calcular la velocidad en cualquier instante de tiempo.

También podemos deducir una expresión que relaciona la velocidad con el espacio recorrido:





Esta ecuación se utiliza para calcular la velocidad en cualquier posición.

  • Ecuación de la posición



Por último, se puede demostrar que la ecuación de la posición para un MRUA es:

La ecuación anterior se utiliza para calcular la posición en cualquier instante de tiempo.

5.2 Gráficas del MRUA

Vamos a representar gráficamente las ecuaciones de un móvil que se desplaza en línea recta desde un punto situado a 2 metros del origen con una velocidad inicial de 3 m/s y una aceleración constante de 2 m/s2. Según esto:







Si sustituimos estos valores en las ecuaciones de movimiento obtenemos:







  • Grafica aceleración-tiempo

La aceleración de un MRUA es constante y por lo tanto no varía con el tiempo.


  • Grafica velocidad-tiempo

La gráfica velocidad-tiempo en un MRUA es una línea recta. Para representarla solo necesitamos un par de puntos. El punto de corte con el eje de velocidad () nos da el primer punto que necesitamos. Identificando términos en la ecuación de la velocidad:



El otro punto lo hayamos dando valores en la ecuación:



Si representamos los valores de estos dos puntos podemos pintar la línea recta que los une y, por lo tanto, representar la gráfica de la velocidad:


  • Grafica posición-tiempo

La gráfica posición-tiempo es una parábola. Para poder representarla tenemos que dar valores a la ecuación:

t(s)

0

1

2

3

4

5

x(m)

2

6

12

20

30

42

Si representamos estos puntos en una gráfica y los unimos con una línea curva:

Vemos que se trata de una parábola que corta al eje de posición en . En este caso la aceleración es positiva y la parábola crece hacia arriba.

Si la aceleración fuera negativa la parábola crece hacia abajo. Para ilustrarlo vamos a representar la gráfica posición tiempo de un móvil que se desplaza con los siguientes parámetros:







En estas condiciones la ecuación posición-tiempo es:



Dando valores obtenemos la siguiente gráfica:


5.3 Movimiento de caída libre

Se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo que se encuentra bajo la acción exclusiva de la gravedad. Este tipo de movimiento es el que realiza un objeto cuando lo dejamos caer desde cierta altura respecto al suelo. Para analizar el movimiento de caída libre de los objetos vamos a despreciar el rozamiento del aire. En estas condiciones todos los objetos que se encuentran cerca de la superficie de la Tierra caen con la misma aceleración. A esta aceleración se la llama aceleración de la gravedad y se la denomina con la letra y tiene un valor constante de 9’8 m/s2. Según lo anterior, un movimiento de caída libre es un MRUA.
Para obtener las ecuaciones de movimiento solo tenemos que coger las de un MRUA y sustituir por , y por :






Ejemplo 13  Desde una torre de 60 m de altura se deja caer una piedra. Calcula:

a) El tiempo que tarda en caer.

b) La velocidad con la que llega al suelo.
Para resolver el problema tenemos que seguir los siguientes pasos:
1. Dibujar un diagrama del problema y elegir un sistema de referencia que sea ventajoso:
El sistema de referencia más ventajoso es siempre aquel que tiene el origen donde comienza el movimiento del objeto y la dirección positiva del eje apuntando hacia donde se produce el movimiento.




0rigen

2. Plantear las ecuaciones de movimiento en el sistema de referencia que hemos elegido. Como el objeto se deja caer su velocidad inicial es cero (). En el sistema de referencia que hemos cogido la posición inicial del objeto coincide con el origen () y la aceleración de la gravedad tiene el mismo sentido que el eje siendo, por lo tanto, positiva (). Las ecuaciones de movimiento quedan:




3. Resolver el problema aplicando alguna condición matemática sobre las ecuaciones de movimiento.
En este problema se nos dice que el objeto se deja caer desde una altura () de 60 m. Si introducimos este dato en la ecuación de la posición obtendremos el tiempo que tarda el objeto en caer al suelo:



Ahora operamos para despejar el tiempo:







Sustituimos los valores de h y g:



Para hallar la velocidad con la que el objeto llega al suelo lo único que tenemos que hacer es sustituir ese tiempo en la ecuación de la velocidad:


Ejemplo 14  Resolver el problema del ejemplo 13 utilizando el sistema de referencia que se muestra en la figura:

0rigen






En este caso el origen del sistema de referencia se encuentra en el suelo y el sentido positivo del eje apunta hacia arriba. En estas condiciones:





Con este sistema de referencia las ecuaciones de movimiento quedan de la siguiente forma:





Cuando el objeto se encuentra en el suelo se cumple que si sustituimos este valor en la ecuación de la posición obtenemos el tiempo que tarda el objeto en caer al suelo:



Despejando el tiempo de la ecuación obtenemos:


Sustituyendo el tiempo en la ecuación de la velocidad obtenemos la velocidad con la que llega al suelo:


Obtenemos, como es lógico, los mismos resultados que en el ejemplo 13. La única diferencia se da en el resultado de la velocidad. Con este nuevo sistema de referencia la velocidad es negativa. Este resultado no nos debería sorprender ya que en este caso la velocidad está dirigida en sentido contrario al eje del sistema de referencia que hemos utilizado para resolver el problema.


6. Movimiento circular uniforme (MCU)

Se denomina movimiento circular uniforme a aquel que tiene las siguientes características:

-Tiene una trayectoria que es una circunferencia.

-El módulo de la velocidad permanece constante mientras que su dirección y sentido varían de forma constante a lo largo de la trayectoria circular.

Según lo anterior el MCU es un movimiento acelerado ya que la orientación de la velocidad varía y siempre existe aceleración normal. Por lo tanto, cualquier movimiento que sea circular es acelerado.

Para estudiar el MCU tenemos que definir nuevas magnitudes cinemáticas que sean apropiadas para un movimiento circular.


  • Espacio recorrido (s)

Queremos determinar el espacio que recorre un móvil que se desplaza realizando un MCU entre el punto P1 y el P2 tal como se muestra en la figura:







P1

P2


Para ello tenemos que hacer uso de la siguiente relación:
longitud de un arco de circunferencia = radio ángulo
Identificando estas magnitudes con las que se muestran en la figura anterior:

Longitud del arco de circunferencia 

Radio de la circunferencia 

Ángulo 

Obtenemos la ecuación del espacio recorrido entre los dos puntos:





En esta ecuación el ángulo esta medido en radianes ([). La equivalencia entre radianes y grados sexagesimales es:



  • Velocidad

En el MCU es útil definir la velocidad angular () como la relación entre el ángulo recorrido en el movimiento () y el tiempo empleado ():



En el sistema internacional la velocidad angular se mide en rad/s (). En un MCU la velocidad angular no varía con el tiempo, es constante.

La velocidad angular y la lineal están relacionadas de la siguiente forma:

despejando de la ecuación anterior:





Como vemos en la ecuación anterior en un MCU a mayor radio de giro, mayor velocidad lineal.

Ejemplo 15  Un antiguo tocadiscos gira con una velocidad angular de 1 rad/s. Tenemos dos discos, uno de 5 cm de radio y otro de 10 cm. ¿Qué disco adquiere una mayor velocidad lineal en su borde al ponerlo en el tocadiscos?

Teniendo en cuenta que la velocidad lineal es proporcional al radio, el disco de mayor radio tendrá una velocidad lineal que será el doble que la del disco pequeño.
Para el disco grande tenemos:


Para el disco pequeño tenemos:



  • Aceleración


En un MCU el módulo de la velocidad permanece constante, sin embargo, la orientación de la velocidad varía en cada punto de la trayectoria tal y como se muestra en la figura de abajo a la derecha.

-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)





-1

1

2

Eje Y (m)

2

1

Eje X (m) ()m

-1

-2

-2

Eje X (m)

Por este motivo, un móvil con MCU no tiene aceleración tangencial (que mide la variación del módulo de la velocidad), pero si tiene aceleración normal o centrípeta (que mide lo que varía la dirección del vector velocidad; ver figura de arriba a la derecha).
Utilizando la definición de aceleración normal:



Finalmente obtenemos:




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