FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. 
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
PERIODO ACADEMICO: I-2012
PROBABILIDAD
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INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.
Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre determinación o de libre ocurrencia.
Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.
La probabilidad de un evento A se define:
P(A) = 
ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente.
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un fenómeno.
Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral será:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.
Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los posibles resultados en que puede caer el dado serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será:
A = { 2, 4, 6 }
La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos eventos:
A U B si y solo si A o B suceden o ambos.
A  B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.
Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los conjuntos sea vacía. A B = φ ( No pueden suceder simultáneamente )
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Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número impar. C = {2, 3, 5}
A B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los eventos son mutuamente exclusivos.
Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.
P(A) = =  = 0.5 o equivalente a un 50%
P(B) =  = = 0.5 o equivalente a un 50%
P(A) =  = = 0.5 o equivalente a un 50%
P(S) =  =  = 1 o equivalente a un 100%
P(C) = = = 0.5 o equivalente a un 50%
Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos anteriores A, B y C:
A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}
A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }
B C = { 3, 5 }
CC = { 1, 4, 6 }
Las probabilidades de los nuevos eventos serán:
P(AUB) =  = = 1 o equivalente a un 100%
P(AUC) =  =  = 0.83 o equivalente a un 83%
P(BC) = =  = 0.33 o equivalente a un 33%
P(Cc) =  = = 0.5 o equivalente a un 50%
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AXIOMAS DE PROBABILIDAD.
Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(Cc) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes axiomas:
P1 Para todo evento A, se cumple que 0  P(A) 1
P2 P(S) = 1
P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que P(AUB) = P(A) + P(B) .
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Para el ejemplo No 1, observamos que:
0 P(A) 1. Observamos que el valor de cada una de las probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.
P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.
P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5 P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0
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TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.
Estos teoremas se deducen de los axiomas:
T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P( ) = 0
T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(Ac) = 1 - P(A)
T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B)
T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(AB)
T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(AB)
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EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.
La grafica del conjunto será: U
A B
0
1 3
6 2
4 5
8 7
9
Calculado:
A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }
A B = { 1, 2, 4 }
Ac = { 3, 5, 7, 9 }
Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }
A – B = { 0, 6, 8 }
B – A = { 3, 5 }
Los cardinales de cada uno de los conjuntos:
#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(AB) = 3, #(Ac) = 4, #(Bc) = 5
#(A-B) = 3 #(B-A) = 2.
Calculando las probabilidades.
P(A) = =  =  = 0.6 equivalente en porcentaje 60%
P(B) = =  =  = 0.5 equivalente en porcentaje 50%
P(AUB) = =  =  = 0.8 equivalente en porcentaje 80%
P(AB) =  =  = 0.30 equivalente en porcentaje 30%
P(A-B) =  = = 0.30 equivalente en porcentaje 30%
P(B-A) =  =  = 0.20 equivalente en porcentaje 20%
P(AC) =  =  = 0.40 equivalente en porcentaje 40%
P( ) =  = = 0.50 equivalente en porcentaje 50%
Si aplicamos los teoremas obtenemos:
T2. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40
T2. P(BC) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50
T4. P(A-B) = P(A) - P(AB) = 0.60 - 0.30 = 0.30
T5. P(B-A) = P(B) - P(BA) = 0.50 - 0.30 = 0.20
T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(AB) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80
T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(AB) = 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.80
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ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.
Sea un espacio muestral finito tal que S = { a1, a2, a3, ……. an }la probabilidad del espacio muestral será la suma de las probabilidades parciales e igual a 1.
P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1
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EJEMPLO No 3. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos los números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.
El espacio muestral sería así:
Que no salga ningún sello. 0S
CCCC
Que salga un sello y tres caras. 1S
SCCC, CSCC, CCSC, CCCS.
Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.
SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.
Que salgan tres sellos y 1 cara. 3S
SSSC, CSSS, SCSS, SSCS.
Que salgan cuatro sellos y o caras. 4S
SSSS.
El conjunto S = { 0, 1, 2, 3, 4 } de los posibles resultados de caer las monedas.
Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.
Si calculamos las siguientes probabilidades.
La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.
P(0) =  = 0.0625
La probabilidad de que salga un sello.
P(1) =  = 0.25
La probabilidad de que salgan dos sellos.
P(2) =  =  = 0.375
Probabilidad de que salgan 3 sellos.
P(3) = =  = 0.25
Probabilidad de que salgan 4 sellos.
P(4) = = 0.0625
P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0)
= + + + + = 1
La probabilidad de que por lo menos salga un sello.
Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }
P(C) = P(1S) + P(2S) + P(3S) + P(4S)
= + + + = 
Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.
Los resultados de D = { 4S, 4C }
P(D) = P(4C) + P(4S)
= + =  = 
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EJEMPLO No 4. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera. Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar que Q. Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno de los caballos.
Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.
Q = p
S = 2Q = 2p
P = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4p
A = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8p
Como el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe ser uno, entonces.
P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1
8p + 4p + 2p + p = 1
15p = 1
P = | |
